Vibra: probs c2

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Main cap.2

2.1 A watch ticks 5 times per second. Its balance wheel has a moment of inertia 2*10^-6kg. m^2.Calculate the torsional stiffness of the balance spring. (Assume that the period is 2 ticks)

Tomamos la ecuación del periodo para este caso:

$T=2\pi\sqrt{\frac{I}{K}}$

De la ecuacón anterior despejamos a K

$K=4\pi^{2}\frac{I}{{T}^{2}}$

Con los datos proporcionados obtenemos el valor de

$K=1.97X10^{-5}$

Mario Moranchel (discusión) 04:16 22 ene 2014 (UTC)


el problema 2.1 es correcto Aura Yazmin Bejarno Olvera (discusión)


2.2 A grandfather clock ticks once per second. Show that it must be at least 1 m high .

Si hace tic tac una vez por segundo quiere decir que tarda la mitad en pasar por el punto de equilibrio, es decir .5s y esta es su frecuencia(LA FRECUENCIA ES \(f=\frac{1}{2}HERTZ\)--Ernesto (discusión) 11:25 14 may 2013 (CDT))

sabemos que el periodo se define como:

$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{.5}=2$

Consideramos la ecuación del periodo en un péndulo simple

$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ ec(1)

despejamos la longitud L de (1)

$L=g\left(\frac{T}{2\left(\pi\right)}\right)^{2}$

sustituyendo ahora los valores de g=9.8 y T=2 Tenemos:

$L=9.8\left(\frac{2}{2\left(\pi\right)}\right)^{2}$ L= .9929m = 1m

--David Hernandez Leon (discusión) 22:44 13 may 2013 (CDT)

La solución es correcta, pero debes tener cuidado con las unidades de la frecuencia. Deberías resolver problemas más complicados en los siguientes capítulos. --Ernesto (discusión) 11:25 14 may 2013 (CDT)


2.3 Show that the isotermal compressibility \(k_{t}\) is equal to \(\frac{1}{p}\) for a perfect gas. Estimate the percentage difference which the use of \(k_{t}\) instead \(k_{s}\) would make to the calculated value of \(\omega_{0}\) for a flask containing air.

Muestra que la compresibilidad isotérmica \(k_{t}\) es igual a \(\frac{1}{p}\) para un gas perfecto. Estima la diferencia porcentual que el uso de \(k_{t}\) en lugar de \(k_{s}\) haría al calculo del valor de \(\omega_{0}\) para un frasco que contiene aire.


Usamos la ecuación de gas perfecto \( P V= n R T\) para obtener una expresión para la compresibilidad isotérmica usando su definición termodinámica \(k_{t}=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial P})\). Primero despejamos \(V\) de la ecuación de gas perfecto y derivamos\[\frac{\partial V}{\partial P}=\frac{\partial V}{\partial P}(\frac{n R T}{P})=-\frac{n R T}{P^2} \]

Usando la ecuación de gas perfecto se reduce a\[\frac{\partial V}{\partial P}=-\frac{1}{P} (\frac{n R T}{P})=-\frac{1}{P} V \]

Ahora sustituimos en la definición de \(k_{t}\)

\[k_{t}=-\frac{1}{V}(-\frac{1}{P} V ) = \frac{1}{P} \]

Entonces la expresión para la frecuencia angular, usando \(k_{t}\) queda\[\omega_{0}(k_{t})=(\frac{a}{l v \rho k_{s}})^{1/2}= (\frac{P a}{l v \rho})^{1/2} \]

Por otro lado, la expresión de la frecuencia angular usando \(k_{s}\) es\[\omega_{0}(k_{s})=[(\frac{a}{l v})(\frac{\gamma R T}{M})]^{1/2} \]

Donde \(\gamma\) es la razón de las capacidades caloríficas y se uso la ecuación de gas perfecto en términos de la masa molar \(M\), \(\rho=\frac{M}{\gamma R T}\).

Así la diferencia porcentual puede ser calculada con la razón de ambas frecuencias\[\frac{\omega_{0}(k_{t})}{\omega_{0}(k_{s})}=\frac{(\frac{P a}{l v \rho})^{1/2}}{[(\frac{a}{l v})(\frac{\gamma R T}{M})]^{1/2} } \]

\[\frac{\omega_{0}(k_{t})}{\omega_{0}(k_{s})}=(\frac{P M}{\rho R T})^{1/2}\]

Y si usamos de nuevo la ecuación del gas perfecto, donde \(\rho=\frac{M}{\gamma R T}\) se tiene

\[\frac{\omega_{0}(k_{t})}{\omega_{0}(k_{s})}= (P \gamma)^{1/2} \]

Finalemente la diferencia porcentual se obtiene multiplicando por 100 el resultado anterior.

Brenda Pérez Vidal (discusión) 23:15 16 feb 2014 (UTC)

Edgar Ortega Roano (discusión) 09:23 12 feb 2014 (UTC)

Brenda Pérez Vidal (discusión) 22:23 9 feb 2014 (UTC)


2.6 Two masses \( m_{1} \) and \( m_{2} \) are joined by a spring of stiftness \(s\). They can vibrate along the line of their centres,moving alternately towards and away from each other. For this vibration, show that \(w_{o}^{2}=s/\mu\) where \(\mu=m_{1}m_{2}/\left(m_{1}+m_{_{2}}\right)\thickapprox m_{1} if m_{1}\lll m_{2} \)

solucion:

consideremos la siguiente figura

\(\ldots\ldots{}_{m_{1}}\blacksquare\leftrightsquigarrow_{S}\leftrightsquigarrow\blacksquare_{m_{2}} \)

\(_{F_{1}}\rightarrow\leftrightsquigarrow\leftrightsquigarrow\leftarrow_{F_{2}} \)

en la figura dos cuerpos de masa mencionada estan unidos a un resorte de constante S y consideremos \(x_{1}\) y \( x_{2} \) las coordenadas de posicion de los cuerpos respecto a un sistema fijo de coordenadas.En este caso \(x_{1} \) es la distancia desde los puntos hasta el bloque de masa \(m_{1}\) y \(x_{2} \) va de los puntos hasta \(m_{2} \), entonces la longitud del resorte sera \(x_{2}-x_{1} \) y si su longitud para la deformacion nula es \(d \), el alargamiento del resorte es \(x=x_{2}-x_{1}-d \).


El movimiento de los bloques solo esta dado en una dirección en este caso elegimos la dirección $\hat{i}$ y entonces el problema a tratar es unidimensional

La fuerza que se ejerce sobre $m_{2}$es :

\[ F_{2}=-kx \]


y la fuerza sobre $m_{1}$es:

\[ F_{1}=-(-kx) \]


así las ecuaciones de movimiento para cada bloque es:

\begin{equation} \ddot{m_{1}x}_{1}=kx \end{equation}


\begin{equation} m_{2}\ddot{x}_{2}=-kx \end{equation}


para resolver las ecuaciones diferenciales miltiplicamos a $(1)$ por $m_{2}$ y a $(2)$ por $m_{1}$y así obtenemos:

\[ m_{1}m_{2}\ddot{x}_{1}=m_{2}kx\qquad,\qquad m_{1}m_{2}\ddot{x}_{2}=-m_{1}kx \]


y al restarlas llegamos a:

\[ m_{1}m_{2}(\ddot{x}_{2}-\ddot{x}_{1})=-kx(m_{1}+m_{2}) \]


pero sabemos que $x=x_{2}-x_{1}-d\qquad entonces\qquad\ddot{x}=\ddot{x}_{2}-\ddot{x}_{1}$ por lo tanto la ecuacion diferencial queda como

\[ \ddot{x}+(\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}})kx=0\qquad haciendo\qquad\mu=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}} \]


\begin{equation} \ddot{x}+\mu kx=0 \end{equation}


ahora, sí $m_{1}\ll m_{2}$encontramos que $\mu\approx m_{1}$y entonces la ecuación diferencial sería la de un solo bloque.


Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 01:59 26 ene 2014 (UTC)


2.7. Shows an arrangement wich could be used to set an LC circuit into oscilation. The capacitor

is first chaarged to a voltage V be means of the battery. At time t=0 the switch is thrown to connect

the charged capacitor across the coil. Derive a) the amplitude, and b) the phase constant of the resulting

oscilation

-El voltaje total en el circuito LC está dado por\[V_{T}=V_{C}+V_{L}....(1.1)\]



donde,

\(V_{L}=L\frac{dI}{dt}\)


entonces.\(V_{T}=\frac{q}{C}+L\frac{dI}{dt}.....(1.1')\)


Sea \(\text{ψ}=q\)


De la ec. (1.1'), al desconectar el circuito\[\text{ψ}''L+\text{ψ}\frac{1}{c}=0\]


\(\frac{1}{L}(\text{ψ}''L+\text{ψ}\frac{1}{c})=0...(1.2)\)


La solucion general de la ec. (1.2) es,

\(\psi_{(t)}=Acos(\omega t+\phi)....(1.3)\)


su derivada, la corriente I

\(\psi'_{(t)}=-\omega Asen(\omega t+\phi)....(1.4)\)


Ahora, cuando el circuito se haya conectado, esto es, en t=0

\(\psi'_{(0)}=-\omega Asen(\phi)....(1.4')\)


la igualdad de la ec. (1.4') se satisface

\(\Longleftrightarrow sen(\phi)=0\)


\(\Longrightarrow\phi=0\)


Y, por ultimo de la ec. (1.3) en t= 0

\(\psi_{(0)}=Acos(\phi)....(1.3')\)


como \(\phi=0\) y \(\psi=q\)


\(\Longrightarrow A=V_{C}C\) --Daniela López Martínez (discusión) 17:06 29 may 2013 (CDT)

La solucion a este problema la realice de la siguiente manera:

Tenemos que la ecuacion diferencial de este sistema esta dada por:

\[ V_{1}+\varepsilon_{L}=0 \]


\[ L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0 \]


\[ L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{q}{C}=0 \]


Del polinomio caracteristico de la ecuacion y sabiendo que $\omega_{0}^{2}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$, tenemos que una solucion para esta dada por:

\[ \psi(t)=Acos(\omega_{0}+\phi) \]


Notemos que en nuestro caso, $\psi(t)=q(t)$ y $\frac{dq(t)}{dt}=i(t)$, las cuales son la carga y la corriente respectivamente, luego, para hallar (a) tenemos que:

\[ A=\frac{\psi(t)}{cos(\omega_{0}t+\phi)}=\frac{q(t)}{cos(\omega_{0}t+\phi)} \]


Para hallar (b), realicemos lo siguiente:

\[ \psi(t)=Acos(\omega_{0}t+\phi) \]


\[ \frac{d\psi(t)}{dt}=-A\omega_{0}sen(\omega_{0}t+\phi) \]


Diviendo ambas ecuaciones entre si tenemos que:

\[ \frac{\psi(t)}{\psi(t)}=-\frac{sen(\omega_{0}t+\phi)\omega_{0}}{cos(\omega_{0}t+\phi)}\Rightarrow\frac{\psi(t)}{\omega_{0}\psi(t)}=-tan(\omega_{0}t+\phi) \]


\[ \omega_{0}t+\phi=arctan\left(\frac{-i(t)}{\omega_{0}q(t)}\right) \]


\[ \Rightarrow\phi=arctan\left(\frac{-i(t)}{\omega_{0}q(t)}\right)-\omega_{0}t \]

--Cesar Ivan Avila Vasquez 23:49 19 Feb 2014 (CDT)


2.8 Show that vertical vibrations of a mass m suspended on a spring of stiffness s whose other end is fixed have angular frequency (s/m)^1/2 .(Hint: measure displacements from the equilibrium position of the mass, where its weight is balanced by the spring force.)


Muestra que las vibraciones verticales de una masa m suspendida de un resorte de rigidez s, cuyo otro extremo está fijo, tienen una frecuencia angular de \((\frac{s}{m})^{1/2}\). (Consejo: Mide los desplazamientos de la posición de equilibrio de la masa, donde su peso está balanceado por la fuerza del resorte.)


Cuando la masa se cuelga del resorte y el sistema está en equilibrio, el resorte adquiere una longitud \(y=y_{0}\) y ejerce una fuerza de restauración de la forma\[ F_{1}=s y_{0} \]

Usando la segunda ley de Newton, la suma de fuerzas en el equilibrio debe ser cero\[ m\frac{d^2 y}{dt^2}=F_{1}-m g= s y_{0}-m =0 \]

\[ s y_{0}=m g \]

El momento en que el sistema oscila verticalmente la masa se desplaza una distancia \(y\) de la posición de equilibrio y se ejerce una fuerza de restauración\[F_{2}=s(y_{0}+y)\]

En este caso la segunda ley de Newton queda\[ m\frac{d^2 y}{dt^2}= F_{2}-m g=s(y_{0}-y)-m g \]

Pero del equilibrio sabemos que \(m g=s y_{0}\), entonces la segunda ley de Newton queda\[ m\frac{d^2 y}{dt^2}=s y_{0}+s y-s y_{0}= s y\]

\[ m\frac{d^2 y}{dt^2}-s y=0 \]

Al dividir la ecuación entre \(m\) se tiene\[ \frac{d^2 y}{dt^2}- \frac{s}{m} y=0 \]

Que es la forma de la ecuación de oscilación armónica simple \( \frac{d^2 y}{dt^2}-\omega^{2} y =0\), de ahí concluimos que la frecuencia angular del sistema es\[ \omega^{2}=\frac{s}{m} \Rightarrow \omega=(\frac{s}{m})^{1/2} \]


Brenda Pérez Vidal (discusión) 20:42 9 feb 2014 (UTC)



La forma en que resolvería el problema es:

Cuando se cuelga una masa $m$ al resorte, ésta alcanza la posición de equilibrio $y_0$. En esta posición tenemos que la segunda ley de Newton es

\begin{equation} mg-sy_0=0.\qquad\qquad (1) \end{equation}

Ahora, si desplazamos la masa una cantidad $y$ desde la posición de equilibrio $y_0$, la segunda ley de Newton es \begin{eqnarray*} m\frac{d^2 y}{dt^2}&=& mg-s(y_0+y)\\ m\frac{d^2 y}{dt^2}&=&-sy,\qquad\qquad (2) \end{eqnarray*}

donde utilizamos $(1)$. La ec.de movimiento $(2)$ es igual a la ec. de movimiento en la dirección $x$, por tanto se tiene que $\omega^2=\frac{s}{m}$.

--Ernesto (discusión) 14:11 14 may 2013 (CDT)


--mfg-wiki (discusión) 15:09 2 may 2013 (CDT)


2.9 An astronaut on the surface of the moon weignts rock samples using light spring balance, wich was calibrated on earth, has a scale 100 mm long wich reads from 0 to 1.0 kg.He observes that certain rock gives a stady reading of 0.40 kg and, when disturbed, vibrates with a period of 1.0 s. What is the acceleration due to gravity on the moon?

2.9 Un astronauta sobre la superficie de la luna pesa muestras de roca utilizando un ligero dinamómetro. Ésta báscula, que fue calibrada en la tierra, tiene una escala de 100 mm de largo que lee de 0 a 1 kg. Él observa que cierta roca da una lectura estable de 0.40 kg y, cuando se le perturba, vibra con un periodo de 1.0 s. ¿ Cuál es la aceleración debido a la gravedad en la luna?

Sabemos por la redacción del problema que el dinamómetro utiliza en su interior un resorte ligero , así que tenemos\[m\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}=-kx ...(1)\]

La ecuación 1 también puede expresarse de la siguiente forma\[\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\frac{k}{m}s=0 ...(2)\]

En la ecuación 2 el primer término corresponde a la fuerza de gravedad lunar, mientras que el segundo corresponde a la fuerza del resorte. La suma de ambas fuerzas da como resultado cero porque las fuerzas están en equilibrio.


Para resolver el problema necesitamos encontrar el valor de la la constante de proporcionalidad \(k\), y lo hacemos de la siguiente manera. Como sabemos que la roca al ser perturbada oscila armonicamente podemo utilizar la siguiente ecuación para la frecuencia angular (la frecuencia angular de un movimiento armónico simple).


\begin{equation}\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} ...(3)\end{equation}

De la ecuación 3 despejamos k elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación y obtenemos:

\begin{equation}k=m\omega^{2} ...(4)\end{equation}


El valor de la masa (de la roca) es un dato que nos proporciona el problema y como sabemos que la frecuencia angular para un movimiento armónico simple es:

\begin{equation}\omega = \frac{2\pi}{T} ...(5)\end{equation}


Por último par resolver el problema usamos la ecuación 1 y el hecho de que la segunda derivada de \(\psi\) respespecto del tiempo es la aceleración de la gravedad lunar. Tendremos ahora una nueva ecuación, muy parecida a la ecuación 1:

\begin{equation}mg=kx...(6)\end{equation}


Despejamos g:

\begin{equation}g=\frac{kx}{m}...(7)\end{equation}

La solución queda:


\begin{equation}mg=m\omega^{2}x </math>\end{equation}


\begin{equation}g=\frac{kx}{m}=\frac{(10kg/s^{2})(0.4m)}{(0.2533kg)}=1.57m/s^{2}\end{equation}


\begin{equation}g=\omega^{2}x=(\frac{2\pi}{T})^{2}x=1.57m/s^{2}\end{equation}

Pedro Pablo Ramírez Martínez (discusión) 21:48 16 feb 2014 (UTC)




2.11 A mass moves under a potential \(V_{(x)}=V_{0}cosh(\frac{x}{x_{0}})\), where \(V_{0}\) and \(x_{0}\) are constants.(a)Find the position of stable equilibruim. (b)Show that the frecuency of small vibrations about this point is the same as it woudl be if the same mass was vibrating on a spring of stiffness \(\frac{V_{0}}{x_{0}^{2}}\).

Una masa se mueve bajo un potencial \(V_{(x)}=V_{0}cosh(\frac{x}{x_{0}})\), donde \(V_{0}\) y \(x_{0}\) son constantes. a) Encuentre la posision de qquilibrio b)Muestra que la frecuencia a amplitudes pequeñas al rededor de este punto es la misma que si se tratara de la misma masa cuando vibra en un resorte con constante \(\frac{V_{0}}{x_{0}^{2}}\).

a) De la ecuación 2.12 del libro se tiene que

\(F(r)=-\displaystyle{\frac{dV}{dr}}\) entonces

\(F(x)=-\displaystyle{\frac{V_{0}}{x_{0}}senh(\frac{x}{x_0})}\)

Dado que buscamos el punto de equilibrio se tiene cuando \(F(x)=0\), es decir \(-\displaystyle{\frac{V_{0}}{x_{0}}senh(\frac{x}{x_0})}=0\), luego \(\displaystyle{senh(\frac{x}{x_0})}=0\), para lo cual necesariamente \(x=0\)

Por lo tanto, el punto de equilibrio es \(x=0\)

b) De la ecuación 2.14 del libro \(\omega^2=\displaystyle{\frac{1}{m}(\frac{d^2V}{dr^2})}\), es decir

\(\omega^2=\displaystyle{\frac{\frac{V_{0}}{x_{0}}cosh(\frac{x}{x_{0}})}{m}}\)

Por otra parte sabemos que \(\omega^2=\displaystyle{\frac{k}{m}}\)

por lo que \(k=\displaystyle{\frac{V_{0}}{x_{0}}cosh(\frac{x}{x_{0}})}\), para oscilaxiones pequeñas,\(|\frac{x}{x_{0}}|<<1\), por lo que \(\displaystyle{cosh(\frac{x}{x_{0}})\approx1}\)

Finalmente

\(k=\frac{V_{0}}{x_{0}}\)

Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:25 20 feb 2014 (UTC)


2.12 Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t=0 se libera la masa desde un punto que esta 8 pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 4/3 pie/seg. Determine la ecuación de movimiento.


Transformaremos las unidades


\(6pulg=\frac{1}{2}pie\)


\(8pulg=\frac{2}{3}pie\)


\(m=\frac{W}{g}=\frac{2}{32}=\frac{1}{16}slug\)


\(2=k(\frac{1}{2})\)


\(k=4lb/pie\)


obtenemos esta ecuación

\(\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+64x=0\)


El desplazamiento inicial y la velocidad son

\(x(0)=\frac{2}{3}\) y \(x'(0)=-\frac{4}{3}\)


donde \(\omega^{2}=64\)


\(\omega=8\)


Por lo que la solución general de la ecuación diferencial es


\(x(t)=C_{1}\cos8t+C_{2}\sin8t\)


Aplicando las condiciones iniciales x(t) y x'(t) obtenemos que


\(C_{1}=\frac{2}{3}\) y \(C_{2}=-\frac{1}{6}\)


por lo tanto la ecuación de movimiento es


\(x(t)=\frac{2}{3}\cos8t-\frac{1}{6}\sin8t\)


--David Alberto Rojas Solis (discusión) 04:10 6 jul 2013 (CDT)