Diferencia entre revisiones de «Vibra: probs c2»

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Main cap.2
Problemas capítulo 2 Vibraciones libres en la física.


2.1
Ejercicios resueltos acerca Vibraciones libres.
'''A watch ticks 5 times per second. Its balance wheel has a moment of inertia 2*10^-6kg. m^2.Calculate the torsional stiffness of the balance spring. (Assume that the period is 2 ticks)'''


Tomamos la ecuación del periodo para este caso:
Del libro ''Vibrations and waves in physics'' del autor Iain G. Main. 3ra Edición. Y algunos problemas adicionales de diversos libros.


$T=2\pi\sqrt{\frac{I}{K}}$


De la ecuacón anterior despejamos a K


$K=4\pi^{2}\frac{I}{{T}^{2}}$


Con los datos proporcionados obtenemos el valor de
== Problema 2.1 ==


$K=1.97X10^{-5}$


[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 04:16 22 ene 2014 (UTC)
'''Un reloj hace tick 5 veces por segundo . Su rueda de equilibrio tiene
---- el problema 2.1 es correcto  [[Usuario:Aura Yazmin Bejarno Olvera|Aura Yazmin Bejarno Olvera]] ([[Usuario discusión:Aura Yazmin Bejarno Olvera|discusión]])
'''un momento de inercia de $2\times10^{-6}\mathrm{kg\mathrm{m^{2}}}$.'''
'''Calcular la rigidez trosional del resorte de balance . (Suponiendo
'''que el periodo es de 2 ticks ) '''


Tenemos que la frecuencia angular para vibraciones angulares esta
dado por:


2.2
\begin{equation}
'''A grandfather clock ticks once per second. Show that it must be at least 1 m high''' .
\omega{}_{0}=\sqrt{\frac{c}{I}}=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{I}}
\end{equation}
 
 
Donde: $\omega{}_{0}$ es la frecuencia angular, $c$ es la rigidez
torcional e $I$ es el momento de inercia .
 
Sustituimos la ecuación (1) en la expresión para en periodo y despejamos
c
 
\[
T=\frac{2\pi}{\omega{}_{0}}=\frac{2\pi\sqrt{I}}{\sqrt{c}}
\]
 
 
\begin{equation}
c=\frac{4\pi^{2}I}{T^{2}}
\end{equation}
 
Por el enunciado el periodo es
 
\[
T=\frac{2}{5}s=0.4s
\]
 
Sustituimos los datos proporcionados en el ejercicio
 
\[
c=\frac{4\pi^{2}(2\times10^{-6}\mathrm{kg\mathrm{m^{2}}})}{(0.4\mathrm{s})^{2}}=4.935\times10^{-4}\mathrm{kgm^{2}s^{-2}}
\]
 
 
\[
c=4.935\times10^{-4}\mathrm{kgm^{2}s^{-2}}
\]
 
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Aportación por usuarios: [[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]]  ([[Usuario discusión:Rosario Maya]]) 17:02 17 feb 2015 (MVR),
[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]]  ([[Usuario discusión:Luis Velázquez]]) 11:37 17 feb 2015 (CST),
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 04:16 22 ene 2014 (UTC).
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Corregido por [[Usuario: Manuel Rodríguez |Manuel Rodríguez]]
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== Problema 2.2 ==
 
===Solución #1===
'''Un reloj de pared hace tick una vez por segundo . Muestre que la longitud
'''del péndulo debe ser de al menos de $1m$ de altura'''
 
El periodo de un péndulo vibracional se define como:
 
 
\begin{eqnarray*}
T=\frac{2\pi}{\omega{}_{0}} ...(1)
\end{eqnarray*}
 
 
 
despejando $\omega_{0}$ de (1), tenemos
 
 
\begin{eqnarray*}
\omega_{0}=\frac{2\pi}{T} ... (2)
\end{eqnarray*}
 
 
 
donde la frecuencia angular para el péndulo vibracional está dada
por:
 
 
\begin{eqnarray*}
\omega_{0}=\sqrt{\frac{g}{l}} ... (3)
\end{eqnarray*}
 
 
 
Substituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)
 
\[
\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{l}}=\frac{2\pi}{T}
\]
 
 
Despejando $\sqrt{l}$, tenemos:
 
\[
\sqrt{l}=\frac{T\sqrt{g}}{2\pi}
\]
 
 
\[
l=\frac{gT{}^{2}}{4\pi^{2}}
\]
 
 
Substituyendo los siguientes valores: $g=9.81\mathrm{ms^{-2}}$y $T=2s$,
el periodo es de 2s ya que la frecuencia de oscilación es de $0.5s^{-1}$ y ya que
el periodo es el inverso de la frecuencia de oscilación, tenemos que:
 
\[
l=\frac{(9.81\mathrm{ms^{-2}})(4s^{2})}{4\pi^{2}}=0.9939\mathrm{m}
\]
 
 
\[
l\eqsim1\mathrm{m}
\]
 
 
 
 
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Aportación por usuarios: [[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]]  ([[Usuario discusión:Rosario Maya]]) 19:10 17 feb 2015 (MVR), [[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 17:46 26 feb 2015 (CST)
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===Solución #2===


Si hace tic tac una vez por segundo quiere decir que tarda la mitad en pasar por el punto de equilibrio, es decir .5s y esta es su frecuencia('''LA FRECUENCIA ES <math>f=\frac{1}{2}HERTZ</math>'''--[[Usuario:Ernesto|Ernesto]] ([[Usuario discusión:Ernesto|discusión]]) 11:25 14 may 2013 (CDT))
'''Otra forma de resolver el problema es la siguiente:'''


sabemos que el periodo se define como:
El problema nos habla de un reloj que hace tictac una vez por segundo
y nos pide demostrar que el reloj es de 1m de altura.


$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{.5}=2$
El hecho de que haga tictac una vez por segundo nos dice que tiene
una frecuencia de medio segundo.


Consideramos la ecuación del periodo en un péndulo simple
Entonces con este dato podemos obtener la frecuencia angular del reloj despejando
la siguiente ecuación:


$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$  ec(1)
\[
\nu=\frac{\omega}{2\pi}
\]


despejamos la longitud L de (1)


$L=g\left(\frac{T}{2\left(\pi\right)}\right)^{2}$
De esta relación podemos despejar $\omega$
 
\[
\omega=2\pi\nu....(1)
\]
 
La ecuación para un péndulo simple es:


sustituyendo ahora los valores de g=9.8 y T=2 Tenemos:
\[
\omega=\left[\frac{g}{L}\right]^{\frac{1}{2}}
\]


$L=9.8\left(\frac{2}{2\left(\pi\right)}\right)^{2}$
De aquí se puede despejar la longitud $L$ para obtener:
L= .9929m = 1m
\[
L=\frac{g}{\omega^{2}}....(2)
\]
Entonces al substituir $w$ de la ecuación (1) en la ecuación (2), queda:
\[
L=\frac{g}{(2\pi\nu)^{2}}
\]
Ya que conocemos todos los datos de la ecuación podemos substituir
todo y obtendremos:


--[[Usuario:David Hernandez Leon|David Hernandez Leon]] ([[Usuario discusión:David Hernandez Leon|discusión]]) 22:44 13 may 2013 (CDT)
\[
L=\frac{(9.81\mathrm{ms^{-2}})}{4\pi^{2}(0.5^{2})}=0.9939\mathrm{m}\eqsim1\mathrm{m}
\]


La solución es correcta, pero debes tener cuidado con las unidades de la frecuencia. Deberías resolver problemas más complicados en los siguientes capítulos. --[[Usuario:Ernesto|Ernesto]] ([[Usuario discusión:Ernesto|discusión]]) 11:25 14 may 2013 (CDT)
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'''2.3 Show that the isotermal compressibility <math>k_{t}</math> is equal to <math>\frac{1}{p}</math> for a perfect gas. Estimate the percentage difference which the use of <math>k_{t}</math> instead <math>k_{s}</math> would make to the calculated value of <math>\omega_{0}</math> for a flask containing air.'''
Aportación por usuarios: [[Usuario:Daniel Olvera Moreno|Daniel Olvera Moreno]] - 22:17 20 de feb 2014, [[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:49 19 feb 2015 (CST) , [[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 18:02 22 feb 2015 (CST).
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== Problema 2.3 ==


'''Muestra que la compresibilidad isotérmica <math>k_{t}</math> es igual a <math>\frac{1}{p}</math> para un gas perfecto. Estima la diferencia porcentual que el uso de <math>k_{t}</math> en lugar de <math>k_{s}</math> haría al calculo del valor de <math>\omega_{0}</math> para un frasco que contiene aire.'''
'''Muestra que la compresibilidad isotérmica <math>k_{t}</math> es igual a <math>\frac{1}{p}</math> para un gas perfecto. Estima la diferencia porcentual que el uso de <math>k_{t}</math> en lugar de <math>k_{s}</math> haría al calculo del valor de <math>\omega_{0}</math> para un frasco que contiene aire.'''


'''Solución'''


Usamos la ecuación de gas perfecto <math> P V= n R T</math> para obtener una expresión para la compresibilidad isotérmica usando su definición termodinámica
Usamos la ecuación de gas perfecto <math> P V= n R T</math> para obtener una expresión para la compresibilidad isotérmica usando su definición termodinámica
Línea 84: Línea 225:
:<math>\frac{\omega_{0}(k_{t})}{\omega_{0}(k_{s})}= (P \gamma)^{1/2} </math>
:<math>\frac{\omega_{0}(k_{t})}{\omega_{0}(k_{s})}= (P \gamma)^{1/2} </math>


Finalemente la diferencia porcentual se obtiene multiplicando por 100 el resultado anterior.
Finalmente la diferencia porcentual se obtiene multiplicando por 100 el resultado anterior.
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 23:15 16 feb 2014 (UTC)
 
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Aportación por usuarios: [[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 23:15 16 feb 2014 (UTC) , [[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 09:23 12 feb 2014 (UTC)
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== Problema 2.4 ==
 
'''Estima el cambio aproximado en el tono del órgano si la temperatura en la iglesia cae a 20ºC (el tono de un vibrador se eleva a un semitono cada vez que su frecuencia aumenta en un 5,9 por ciento).'''
 
'''Solución'''
 
Para resolver este problema, se considera el aire del ambiente bajo
condiciones normales de temperatura y presión, comportándose como
un gas ideal y obedeciendo la relación de los gases ideales:
 
\[
pV=RT
\]
 
 
Para cambios adiabáticos en un gas ideal, se toma a $pV^{\gamma}$como
una constante en donde $\gamma=\frac{Cp}{Cv}$ con $Cp:$ constante de
presión y $Cv:$ constante de volumen.
 
Se sabe que la compresibilidad del aire (k), se calcula utilizando
la siguiente relación:
 
\begin{equation}
K=-\frac{1}{V}(\frac{dV}{dp})
\end{equation}
 
 
Donde d representa una derivada parcial.
 
De la relación anterior, se obtiene $ks$ para la expresión $\frac{1}{\gamma p}.$
 
Al ocupar la siguiente relación: $\omega_{0}\thickapprox(a/lvpk)^{1/2}$
y escribir la ecuación del gas ideal de la masa molar, el volumen
y la constante R, se obtienen las siguientes relaciones:
 
\[
\rho=\frac{M}{V}=\frac{Mp}{RT}
\]
 
 
\[
\rho KS=\frac{M}{\gamma RT}
\]
 
 
En donde$\rho ks$ representa la presión adiabática; al sustituir
las relaciones anteriores en la definición que se dio de $\omega_{0},$se
obtiene:
 
\[
\omega_{0}\thickapprox\left[\left(\frac{a}{lv}\right)\left(\frac{\gamma RT}{M}\right)\right]^{1/2}
\]
 
 
En donde $a=10^{-4}m^{2},v=10^{-3}m^{3},,l=5x10^{-2}m$ son datos
atmosféricos y valores típicos para las dimensiones de un cilindro.
 
 
 
Lo siguiente es calcular la frecuencia al ocupar la siguiente relación:
$\nu=\frac{\omega}{2\Pi}$
 
Se calcula la frecuencia para dos casos, el de la temperatura inicial
y el de la temperatura final, y se obtienen los siguientes resultados:
 
$\omega_{0i}=\left[\left(\frac{10^{-4}}{10^{-3}(5x10^{-2})}\right)\left(\frac{1.4(8.3)(300)}{0.029}\right)\right]^{1/2}=490.3$
rad/s $\nu_{i}=\frac{490.3}{2\Pi}$=78 Hz
 
$\omega_{0f}=\left[\left(\frac{10^{-4}}{10^{-3}(5x10^{-2})}\right)\left(\frac{1.4(8.3)(6.85)}{0.029}\right)\right]^{1/2}$=74.09rad/s
$\nu_{f}=\frac{74.09}{2\Pi}=11.8$ Hz
 
Ahora se calcula la diferencia entre ambas frecuencias:
 
$ $$\Delta\nu=-66.2$
 
Que resulta negativo porque decrece.
 
 


[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 09:23 12 feb 2014 (UTC)
Para calcular el número de semitons, se divide la diferencia de frecuencias
entre 0.59, y el número de semitonos es igual a -39.058.


[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 22:23 9 feb 2014 (UTC)
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----
2.6
Aportación por usuarios: [[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]]  ([[Usuario discusión:Luis Velázquez]]) 11:41 17 feb 2015 (CST), [[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 01:05 22 feb 2014 (UTC)
'''Two masses <math> m_{1}
----
 
== Problema 2.5 ==
 
Una unidad de altavoz en miniatura tiene un cono de 80 mm de diámetro montado en un agujero del mismo diámetro en un gabinete cerrado de dimensiones interiores 150 mm X 150 mm X 300 mm. La masa del cono es 5.0 g, y el montaje es tal que la rigidez de la suspensión puede ser despreciada. Estimar la frecuencia de vibración libre del cono.
 
 
 
 
Tenemos los siguientes datos:
 
Diámetro de la base = $0.80[m]$;
 
radio de la base del cono = $0.04 [m]$;
 
masa del cono = $0.005 [kg]$;
 
dimensiones de la suspensión= $0.15 [m] X 0.15 [m] X 0.3[m]$;
 
suponiendo que $l=0.3 [m]$, es decir, la misma altura de la suspensión.
 
 
Se utilizan las siguientes ecuaciones base para determinar vibraciones acústicas:
 
\begin{eqnarray*}
\kappa=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial p}) ......(1)
\end{eqnarray*}
 
 
donde $\kappa$ constante de compresibilidad del aire, $V$ es el volumen del cono, $p$ presión ejercida por el aire dentro del cono, $l$ altura del cono.
 
\begin{eqnarray*}
\omega_{0}=(\frac{a}{lV\rho\kappa})^{\frac{1}{2}} ......(2)
\end{eqnarray*}
 
donde $\omega_{0}$ la frecuencia libre, $a$ superficie transversal del cono (base circular), $\rho$ densidad del cono, $\kappa$ constante de compresibilidad del aire, $l$ altura del cono.
 
[[Archivo:bocina.png|250px|thumb|Cono]]
 
De acuerdo al problema, se nos pide encontrar la frecuencia libre del cono, entonces primeramente determinamos  el volumen de nuestro objetivo y enseguida su densidad:
 
 
\begin{eqnarray*}
V=\frac{1}{3}*\pi*r^2*l ......(3)
\end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
V=(\frac{1}{3})(\pi)(0.04)^2(0.3)
\end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
V=5.02*10^{-4}[m^3]
\end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
\rho=\frac{m}{V}......(4)
\end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
\rho=\frac{0.005}{5.02*10^{-4}}
\end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
\rho=9.96 [\frac{kg}{m^3}]
\end{eqnarray*}
 
 
Considerando que alguna partícula está dentro del altavoz posicionada en la fuente (origen), en reposo y con masa despreciable (como se indica en la figura) efectuará un movimiento uniforme cuando el impulso de sonido, originado en la fuente, produzca un frente de onda que lleve a la partícula perpendicularmente sobre la sección transversal denotada por $a$, entonces podemos determinar la aceleración del sonido en el cuerpo cónico:
 
Sabemos que la rapidez del sonido en el aire a 20[°C] es $v=343 [\frac{m}{s}]$
 
\begin{eqnarray*}
(v_{f})^2=(v_{i})^22a(x_{f}-x_{i});    v_{i}=0,  x_{i}=0
\end{eqnarray*}
 
Despejando a
\begin{eqnarray*}
a=\frac{(v_{f})^2}{2x_{f}}
\end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
a=\frac{(343)^2}{2(0.3)}
\end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
a=196.08*10^3 [\frac{m}{s^2}]
\end{eqnarray*}
 
 
La fuerza se determina a través de la segunda ley de Newton: $F=m*a$, tenemos la aceleración del sonido, sin embargo también necesitamos la masa del medio, es decir del aire, para ello utilizaremos la expresión de densidad, pues conocemos el volumen del recipiente que contiene al gas y la densidad del mismo:
 
Densidad del aire
 
\begin{eqnarray*}
\rho= 1 [\frac{kg}{m^3}]
\end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
\rho= \frac{m}{V}
\end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
m=\rho*V
\end{eqnarray*}
 
 
\begin{eqnarray*}
m=(1)(5.02*10^{-4})
\end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
m=5.02*10^{-4}[kg]
\end{eqnarray*}
 
Ahora sustituyendo en la segunda ley de Newton $F=m*a$:
 
\begin{eqnarray*}
F=(5.02*10^{-4})(196.08*10^3 )
\end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
F=98.432 [N]
\end{eqnarray*}
 
Ahora encontramos la presión que se ejerce sobre la superficie transversal $a$:
 
\begin{eqnarray*}
p=\frac{F}{A}
\end{eqnarray*}
 
Conocemos el radio de la base del cono, así podemos determinar el área de la sección transversal: $a=A=\pi*r^2$ entonces $A=5.026*10^{-3}$:
 
\begin{eqnarray*}
p=\frac{98.432}{5.026*10^{-3}}
\end{eqnarray*}
 
 
\begin{eqnarray*}
p=19584.592 [Pa]
\end{eqnarray*}
 
Utilizando las expresiones de densidad, fuerza y presión podremos encontrar $\kappa$ indicada con (1), $\kappa$ representa la propiedad relevante del aire: su compresibilidad.
 
\begin{eqnarray*}
\kappa=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial p})
\end{eqnarray*}
 
Para sustituir correctamente los datos en (1), es necesario poner el volumen en función de la presión debida al aire.
 
\begin{eqnarray*}
p=\frac{F}{A}=\frac{F}{\pi*r^2}
\end{eqnarray*}
Despejando $r^2$
 
\begin{eqnarray*}
r^2=\frac{F}{\pi*p}
\end{eqnarray*}
 
Sustituyendo $r^2$ en el volumen
 
 
\begin{eqnarray*}
V=\frac{1}{3}*\pi*r^2*l
\end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
V=\frac{1}{3}Flp^{-1}
\end{eqnarray*}
 
 
 
Aplicando derivada parcial respecto de la presión:
 
 
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial V}{\partial p}=-\frac{1}{3}Flp^{-2}
\end{eqnarray*}
 
 
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial V}{\partial p}=-\frac{Fl}{3p^{2}}
\end{eqnarray*}
 
Ahora sólo sustituimos en (1)
 
\begin{eqnarray*}
\kappa=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial p})
\end{eqnarray*}
 
 
 
\begin{eqnarray*}
\kappa=-(\frac{1}{V})(-\frac{Fl}{3p^{2}})
\end{eqnarray*}
 
Evaluando
 
\begin{eqnarray*}
\kappa=\frac{1}{5.02*10^{-4}}(\frac{(98.432)(0.3)}{3(19584.592)^{2}})
\end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
\kappa= 5.112*10^{-5} [\frac{ms^{2}}{kg}]
\end{eqnarray*}
 
Finalmente sustituimos todos los valores en (2)
 
\begin{eqnarray*}
\omega_{0}=(\frac{a}{lV\rho\kappa})^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
\omega_{0}=(\frac{5.026*10^{-3}}{(0.39)(5.02*10^{-4})(9.96)})^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}
 
El resultado es:
 
\begin{eqnarray*}
\omega_{0}=255.867 [s^{-1}]
\end{eqnarray*}
 
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Aportación por usuarios: [[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]]  ([[Usuario discusión:Luis Velázquez]]) 11:50 17 feb 2015 (CST), [[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 08:10 21 feb 2014 (UTC), [[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 20:54 22 feb 2015 (CST)
----
 
== Problema 2.6 ==
Dos masas  <math> m_{1}
  </math> and <math> m_{2}
  </math> and <math> m_{2}
  </math> are joined by a spring of stiftness <math>s</math>. They can vibrate along the line of their centres,moving alternately towards and away from each other. For this vibration, show that <math>w_{o}^{2}=s/\mu</math> where <math>\mu=m_{1}m_{2}/\left(m_{1}+m_{_{2}}\right)\thickapprox m_{1}
  </math> están unidas por un resorte de rigidez <math>s</math>. Pueden vibrar a lo largo de la línea de sus centros, acercándose y alejándose alternativamente uno del otro. Para esta vibración, demuestre que <math>w_{o}^{2}=s/\mu</math> donde <math>\mu=m_{1}m_{2}/\left(m_{1}+m_{_{2}}\right)\thickapprox m_{1}
   if  m_{1}\lll m_{2}
   if  m_{1}\lll m_{2}
  </math>'''
  </math>'''


solucion:
[[Imagen:Vibra2.6.png|sinmarco|centro|Considerando la siguiente figura]]


consideremos la siguiente figura


<math>\ldots\ldots{}_{m_{1}}\blacksquare\leftrightsquigarrow_{S}\leftrightsquigarrow\blacksquare_{m_{2}}
</math>


<math>_{F_{1}}\rightarrow\leftrightsquigarrow\leftrightsquigarrow\leftarrow_{F_{2}}
'''Solución:'''
</math>
 


en la figura dos cuerpos de masa mencionada estan unidos a un resorte de constante S y consideremos <math>x_{1}</math> y <math> x_{2}
En la figura dos cuerpos de masa mencionada están unidos a un resorte de constante S y consideremos <math>x_{1}</math> y <math> x_{2}
  </math> las coordenadas de posicion de los cuerpos respecto a un sistema fijo de coordenadas.En este caso <math>x_{1}
  </math> las coordenadas de posición de los cuerpos respecto a un sistema fijo de coordenadas.En este caso <math>x_{1}
  </math> es la distancia desde los puntos hasta el bloque de masa <math>m_{1}</math> y <math>x_{2}
  </math> es la distancia desde los puntos hasta el bloque de masa <math>m_{1}</math> y <math>x_{2}
  </math> va de los puntos hasta <math>m_{2}
  </math> va de los puntos hasta <math>m_{2}
  </math>, entonces la longitud del resorte sera <math>x_{2}-x_{1}
  </math>, entonces la longitud del resorte sera <math>x_{2}-x_{1}
  </math> y si su longitud para la deformacion nula es <math>d
  </math> y si su longitud para la deformación nula es <math>d
  </math>, el alargamiento del resorte es <math>x=x_{2}-x_{1}-d
  </math>, el alargamiento del resorte es <math>x=x_{2}-x_{1}-d
   </math>.
   </math>.
Línea 121: Línea 567:
caso elegimos la dirección $\hat{i}$ y entonces el problema a tratar
caso elegimos la dirección $\hat{i}$ y entonces el problema a tratar
es unidimensional
es unidimensional
Aplicando la segunda ley de Newton
:<math>-F=m\ddot{x}:</math>


:<math>-kx=m\ddot{x}:</math>
Dividiendo entre “m” e igualando la expresión a cero, se tiene :
:<math>\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0:</math>
La fuerza que se ejerce sobre $m_{2}$es :
La fuerza que se ejerce sobre $m_{2}$es :


Línea 138: Línea 592:
así las ecuaciones de movimiento para cada bloque es:
así las ecuaciones de movimiento para cada bloque es:


\begin{equation}
\begin{eqnarray*}
\ddot{m_{1}x}_{1}=kx
\ddot{m_{1}x}_{1}=kx \qquad\qquad              (1)
\end{equation}
\end{eqnarray*}




\begin{equation}
\begin{eqnarray*}
m_{2}\ddot{x}_{2}=-kx
m_{2}\ddot{x}_{2}=-kx \qquad\qquad              (2)
\end{equation}
\end{eqnarray*}




para resolver las ecuaciones diferenciales miltiplicamos a $(1)$
para resolver las ecuaciones diferenciales multiplicamos a $(1)$
por $m_{2}$ y a $(2)$ por $m_{1}$y así obtenemos:
por $m_{2}$ y a $(2)$ por $m_{1}$y así obtenemos:


Línea 164: Línea 618:


pero sabemos que $x=x_{2}-x_{1}-d\qquad entonces\qquad\ddot{x}=\ddot{x}_{2}-\ddot{x}_{1}$
pero sabemos que $x=x_{2}-x_{1}-d\qquad entonces\qquad\ddot{x}=\ddot{x}_{2}-\ddot{x}_{1}$
por lo tanto la ecuacion diferencial queda como
por lo tanto la ecuación diferencial queda como


\[
\[
Línea 171: Línea 625:




\begin{equation}
\begin{eqnarray*}
\ddot{x}+\mu kx=0
\ddot{x}+\mu kx=0
\end{equation}
\end{eqnarray*}




Línea 180: Línea 634:




[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 01:59 26 ene 2014 (UTC)
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Aportación por usuarios: [[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 01:59 26 ene 2014 (UTC), Realizando cambios al problema 2.6, en la parte teórica de la aplicación de la segunda ley de Newton[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:21 23 feb 2015 (CST)
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== Problema 2.7 ==
2.7. '''Shows an arrangement wich could be used to set an LC circuit into oscilation. The capacitor


is first chaarged to a voltage V be means of the battery. At time t=0 the switch is thrown to connect
===Solución #1===


the charged capacitor across the coil. Derive a) the amplitude, and b) the phase constant of the resulting
'''2.7. Muestra un arreglo que podría ser usado para establecer un circuito LC en oscilación. El condensador está primero cargado a una voltaje $V$ con la batería. En el tiempo $t = 0$ el interruptor se cambia para conectar el condensador cargado a través de la bobina. Calcular: '''


oscilation'''
'''a) La amplitud.'''
'''b) La constante de fase de la oscilación resultante.'''


-El voltaje total en el circuito LC está dado por:
-El voltaje total en el circuito LC está dado por:


<math>V_{T}=V_{C}+V_{L}....(1.1)</math>
:<math>V_{T}=V_{C}+V_{L}....(1.1)</math>
   
   


Línea 200: Línea 656:
donde,  
donde,  


<math>V_{L}=L\frac{dI}{dt}</math>
:<math>V_{L}=L\frac{dI}{dt}</math>
   
   


entonces.<math>V_{T}=\frac{q}{C}+L\frac{dI}{dt}.....(1.1')</math>
entonces,


Sea <math>\text{ψ}=q</math>
:<math>V_{T}=\frac{q}{C}+L\frac{dI}{dt}.....(1.1')</math>
   
   


De la ec. (1.1'), al desconectar el circuito:
Sea <math>\text{ψ}=q</math> por lo que de la ec. (1.1'), al desconectar el circuito tendremos:


<math>\text{ψ}''L+\text{ψ}\frac{1}{c}=0</math>
:<math>\text{ψ}''L+\text{ψ}\frac{1}{c}=0</math>
   
   


<math>\frac{1}{L}(\text{ψ}''L+\text{ψ}\frac{1}{c})=0...(1.2)</math>
:<math>\frac{1}{L}(\text{ψ}''L+\text{ψ}\frac{1}{c})=0...(1.2)</math>
   
   


La solucion general de la ec. (1.2) es,
La solución general de la ec. (1.2) es,


<math>\psi_{(t)}=Acos(\omega t+\phi)....(1.3)</math>
:<math>\psi_{(t)}=Acos(\omega t+\phi)....(1.3)</math>
   
   


su derivada, la corriente I
su derivada, la corriente $I$:


<math>\psi'_{(t)}=-\omega Asen(\omega t+\phi)....(1.4)</math>
:<math>\psi'_{(t)}=-\omega Asen(\omega t+\phi)....(1.4)</math>
   
   


Ahora, cuando el circuito se haya conectado, esto es, en t=0
Ahora, cuando el circuito se haya conectado, esto es, en $t=0$


<math>\psi'_{(0)}=-\omega Asen(\phi)....(1.4')</math>
:<math>\psi'_{(0)}=-\omega Asen(\phi)....(1.4')</math>
   
   


la igualdad de la ec. (1.4') se satisface  
la igualdad de la ecuación (1.4') se satisface:


<math>\Longleftrightarrow sen(\phi)=0</math>
:<math>\Longleftrightarrow sen(\phi)=0</math>
   
   


<math>\Longrightarrow\phi=0</math>
:<math>\Longrightarrow\phi=0</math>
   
   


Y, por ultimo de la ec. (1.3) en t= 0
Y, por último la ecuación (1.3) en $t=0$ es:


<math>\psi_{(0)}=Acos(\phi)....(1.3')</math>
:<math>\psi_{(0)}=Acos(\phi)....(1.3')</math>
   
   


como <math>\phi=0</math> y <math>\psi=q</math>
como <math>\phi=0</math> y <math>\psi=q</math> tenemos, entonces:
   
   


<math>\Longrightarrow A=V_{C}C</math>
:<math>\Longrightarrow A=V_{C}C</math>
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 17:06 29 may 2013 (CDT)  
 
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Resuelto por usuarios: [[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 17:06 29 may 2013 (CDT) ,[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 16:45 22 feb 2015 (CST)
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===Solución #2===


La solucion a este problema la realice de la siguiente manera:
'''La figura 2.8 muestra un arreglo que puede ser usado para poner
'''un circuito LC en oscilacion. El capacitor esta cargado inicialmente
'''con un voltaje $V_{1}$en la batería. En el tiempo $t=0$ el switch
'''se cambia para conectar el capacitor cargado a lo largo del circuito.
'''Derive (a) la amplitud y (b) la constante de fase de la oscilación
'''resultante.'''


Tenemos que la ecuacion diferencial de este sistema esta dada por:
[[Imagen:Circuito_LC_resonante.png‎|400px|thumb|center|Circuito del Problema 2.7]]
 
La solución a este problema la realice de la siguiente manera:
 
Tenemos que la ecuación diferencial de este sistema está dada por:


\[
\[
Línea 270: Línea 739:




Del polinomio caracteristico de la ecuacion y sabiendo que $\omega_{0}^{2}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$,
Del polinomio característico de la ecuación y sabiendo que $\omega_{0}^{2}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$,
tenemos que una solucion para esta dada por:
tenemos que una solución para esta dada por:


\[
\[
Línea 278: Línea 747:




Notemos que en nuestro caso, $\psi(t)=q(t)$ y $\frac{dq(t)}{dt}=i(t)$,
Notemos que, en nuestro caso, $\psi(t)=q(t)$ y $\frac{dq(t)}{dt}=i(t)$,
las cuales son la carga y la corriente respectivamente, luego, para
las cuales son la carga y la corriente respectivamente, luego, para
hallar (a) tenemos que:
hallar (a) tenemos que:
Línea 286: Línea 755:
\]
\]


Ademas en nuestro problema en t=0 nuestro capacitor esta completamente cargado y es en ese instante que empezamos a "observar" el circuito; siendo asi <math>\phi=0</math>
por lo que la ecuación queda
<math>A=q(0)</math>
es decir la amplitud es la carga inicial en el capacitor


Para hallar (b), realicemos lo siguiente:
Para hallar (b), realicemos lo siguiente:
Línea 299: Línea 772:




Diviendo ambas ecuaciones entre si tenemos que:
Dividiendo ambas ecuaciones entre tenemos que:


\[
<math>\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}=-\frac{\omega_{0}\sin\left(\omega_{0}t+\phi\right)}{\cos\left(\omega_{0}t+\phi\right)}\Rightarrow\frac{\psi'(t)}{\omega_{0}\psi(t)}=-\tan(\omega_{0}t+\phi)</math>
\frac{\psi(t)}{\psi(t)}=-\frac{sen(\omega_{0}t+\phi)\omega_{0}}{cos(\omega_{0}t+\phi)}\Rightarrow\frac{\psi(t)}{\omega_{0}\psi(t)}=-tan(\omega_{0}t+\phi)
\]




Línea 315: Línea 786:
\]
\]


--[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23:49 19 Feb 2014 (CDT)
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'''2.8 Show that vertical vibrations of a mass m suspended on a spring of stiffness s whose other end is fixed have angular frequency (s/m)^1/2 .(Hint: measure displacements from the equilibrium position of the mass, where its weight is balanced by the spring force.)'''
Aportación por usuarios: [[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] Traducción:[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]]  23:49 19 Feb 2014 (CDT), [[Usuario:Uziel Sanchez Gutierrez|Uziel Sanchez Gutierrez]] ([[Usuario discusión:Uziel Sanchez Gutierrez|discusión]]) 00:01 23 feb 2015 (CST)
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== Problema 2.8 ==


'''Muestra que las vibraciones verticales de una masa m suspendida de un resorte de rigidez s, cuyo otro extremo está fijo, tienen una frecuencia angular de <math>(\frac{s}{m})^{1/2}</math>. (Consejo: Mide los desplazamientos de la posición de equilibrio de la masa, donde su peso está balanceado por la fuerza del resorte.)'''
'''Muestra que las vibraciones verticales de una masa m suspendida de un resorte de rigidez s, cuyo otro extremo está fijo, tienen una frecuencia angular de <math>(\frac{s}{m})^{1/2}</math>. (Consejo: Mide los desplazamientos de la posición de equilibrio de la masa, donde su peso está balanceado por la fuerza del resorte.)'''
Línea 355: Línea 826:
<math> \omega^{2}=\frac{s}{m}  \Rightarrow \omega=(\frac{s}{m})^{1/2} </math>
<math> \omega^{2}=\frac{s}{m}  \Rightarrow \omega=(\frac{s}{m})^{1/2} </math>
   
   
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 20:42 9 feb 2014 (UTC)




Línea 365: Línea 834:
Cuando se cuelga una masa $m$ al resorte, ésta alcanza la posición de equilibrio  $y_0$.  En esta posición tenemos que la segunda ley de Newton es
Cuando se cuelga una masa $m$ al resorte, ésta alcanza la posición de equilibrio  $y_0$.  En esta posición tenemos que la segunda ley de Newton es


\begin{equation}
 
\begin{eqnarray*}
mg-sy_0=0.\qquad\qquad              (1)
mg-sy_0=0.\qquad\qquad              (1)
\end{equation}  
\end{eqnarray*}


Ahora, si desplazamos la masa una cantidad $y$ desde la posición de equilibrio $y_0$, la segunda ley de Newton es
Ahora, si desplazamos la masa una cantidad $y$ desde la posición de equilibrio $y_0$, la segunda ley de Newton es
\begin{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
m\frac{d^2 y}{dt^2}&=& mg-s(y_0+y)\\
m\frac{d^2 y}{dt^2}&=& mg-s(y_0+y)\\
Línea 377: Línea 848:
donde utilizamos $(1)$. La ec.de movimiento $(2)$ es igual a la ec. de movimiento en la dirección $x$, por tanto se tiene que $\omega^2=\frac{s}{m}$.   
donde utilizamos $(1)$. La ec.de movimiento $(2)$ es igual a la ec. de movimiento en la dirección $x$, por tanto se tiene que $\omega^2=\frac{s}{m}$.   


--[[Usuario:Ernesto|Ernesto]] ([[Usuario discusión:Ernesto|discusión]]) 14:11 14 may 2013 (CDT)
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--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 15:09 2 may 2013 (CDT)
Aportaciones por usuarios: [[Usuario:Ernesto|Ernesto]] ([[Usuario discusión:Ernesto|discusión]]) 14:11 14 may 2013 (CDT),
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 20:42 9 feb 2014 (UTC)


[[categoría:Vibra]]
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2.9''' An astronaut on the surface of the moon weignts rock samples using light spring balance, wich was calibrated on earth, has a scale 100 mm long wich reads from 0 to 1.0 kg.He observes that certain rock gives a stady reading of 0.40 kg and, when disturbed, vibrates with a period of 1.0 s. What is the acceleration due to gravity on the moon?'''
== Problema 2.9 ==


2.9''' Un astronauta sobre la superficie de la luna pesa muestras de roca utilizando un ligero dinamómetro. Ésta báscula, que fue calibrada en la tierra, tiene una escala de 100 mm de largo que lee de 0 a 1 kg. Él observa que cierta roca da una lectura estable de 0.40 kg y, cuando se le perturba, vibra con un periodo de 1.0 s. ¿ Cuál es la aceleración debido a la gravedad en la luna?'''
===Solución #1===
 
''' Un astronauta sobre la superficie de la luna pesa muestras de roca utilizando un ligero dinamómetro. Ésta báscula, que fue calibrada en la tierra, tiene una escala de 100 mm de largo que lee de 0 a 1 kg. Él observa que cierta roca da una lectura estable de 0.40 kg y, cuando se le perturba, vibra con un periodo de 1.0 s. ¿ Cuál es la aceleración debido a la gravedad en la luna?'''


Sabemos por la redacción del problema que el dinamómetro utiliza en su interior un resorte ligero , así que tenemos:
Sabemos por la redacción del problema que el dinamómetro utiliza en su interior un resorte ligero , así que tenemos:
Línea 394: Línea 865:
<math>m\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}=-kx ...(1)</math>  
<math>m\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}=-kx ...(1)</math>  


La ecuación 1 también puede expresarse de la siguiente forma:
La ecuación (1) también puede expresarse de la siguiente forma:




<math>\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\frac{k}{m}s=0 ...(2)</math>  
<math>\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\frac{k}{m}s=0 ...(2)</math>  


En la ecuación 2 el primer término corresponde a la fuerza de gravedad lunar, mientras que el segundo corresponde a la fuerza del resorte. La suma de ambas fuerzas da como resultado cero porque las fuerzas están en equilibrio.
En la ecuación (2) el primer término corresponde a la fuerza de gravedad lunar, mientras que el segundo corresponde a la fuerza del resorte. La suma de ambas fuerzas da como resultado cero porque las fuerzas están en equilibrio.




Para resolver el problema necesitamos encontrar el valor de la la constante de proporcionalidad <math>k</math>, y lo hacemos de la siguiente manera. Como sabemos que la roca al ser perturbada oscila armonicamente podemo utilizar la siguiente ecuación para la frecuencia angular (la frecuencia angular de un movimiento armónico simple).
Para resolver el problema necesitamos encontrar el valor de la la constante de proporcionalidad <math>k</math>, y lo hacemos de la siguiente manera. Como sabemos que la roca al ser perturbada oscila armónicamente podemos utilizar la siguiente ecuación para la frecuencia angular (la frecuencia angular de un movimiento armónico simple).






\begin{equation}\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} ...(3)\end{equation}
\begin{eqnarray*}
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} ...(3)
\end{eqnarray*}


De la ecuación 3 despejamos k elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación y obtenemos:
De la ecuación (3) despejamos k elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación y obtenemos:


\begin{equation}k=m\omega^{2} ...(4)\end{equation}
\begin{equation}k=m\omega^{2} ...(4)\end{equation}
Línea 418: Línea 891:




Por último par resolver el problema usamos la ecuación 1 y el hecho de que  la segunda derivada de <math>\psi</math>  respespecto del tiempo es la aceleración de la gravedad lunar. Tendremos ahora una nueva ecuación, muy parecida a la ecuación 1:
Por último par resolver el problema usamos la ecuación 1 y el hecho de que  la segunda derivada de <math>\psi</math>  respecto del tiempo es la aceleración de la gravedad lunar. Tendremos ahora una nueva ecuación, muy parecida a la ecuación 1:


\begin{equation}mg=kx...(6)\end{equation}
\begin{equation}mg=kx...(6)\end{equation}
Línea 430: Línea 903:




\begin{equation}mg=m\omega^{2}x </math>\end{equation}
\begin{equation}mg=m\omega^{2}x \end{equation}




Línea 438: Línea 911:
\begin{equation}g=\omega^{2}x=(\frac{2\pi}{T})^{2}x=1.57m/s^{2}\end{equation}
\begin{equation}g=\omega^{2}x=(\frac{2\pi}{T})^{2}x=1.57m/s^{2}\end{equation}


[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 21:48 16 feb 2014 (UTC)




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Aportación por usuario: [[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 21:48 16 feb 2014 (UTC)
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===Forma adicional ===
'''2.9 Un astronauta sobre la superficie de la luna pesa muestras de roca utilizando un ligero dinamómetro. Ésta báscula, que fue calibrada en la tierra, tiene una escala de 100 mm de largo que lee de 0 a 1 kg. Él observa que cierta roca da una lectura estable de 0.40 kg y, cuando se le perturba, vibra con un periodo de 1.0 s. ¿ Cuál es la aceleración debido a la gravedad en la luna? '''
Solución
El problema plantea una báscula, esta tiene un dinamómetro y que a su vez contiene un resorte que se estira, para soportar cierta carga de rocas; como se ha visto en el capítulo 1, ejercicio1, sabemos que la ecuación de un movimiento armónico simple es:
$ \ddot{\varPsi}+\frac{s}{m}\varPsi=0 $
Esta ecuación diferencial se puede expresar también de la forma:
$ \ddot{\varPsi}+w^{2}\varPsi=0...(1) $
 
donde:
$w^{2}=\frac{s}{m}$
y entonces, despejando <math>s</math> se tiene:
:<math>s=mw^{2}...(2) </math>
Por otro lado la fuerza del resorte esta dado por:
$F=s\varPsi...(3) $
pero sabemos por el problema, que el astronauta esta posando en la superficie lunar , lo que nos habla de una fuerza gravitatoria que es:
$F=mg...(4) $
Igualando ecuación $(3)$ y $(4)$ se tiene:
$s\varPsi=mg...(5) $
despejando “g” , y sustituyendo $(2)$ en ecuación $(5)$ , y reduciendo se tiene:
$g=w^{2}\varPsi$
sustituyendo los datos del problema y recordando que la frecuencia angular se puede escribir como <math>w =\frac{2\pi}{T}</math>, se tiene:
$g=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}\varPsi $
$g=1.57\frac{m}{s^{2}} $
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Aportación por usuarios: Ricardo García Hernández[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:53 23 feb 2015 (CST),[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 20:37 22 feb 2015 (CST)
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=== Forma adicional 2===
El problema plantea una báscula, esta tiene un dinamómetro y que a su vez contiene un resorte que se estira, para soportar cierta carga de rocas; como se ha visto en el capítulo 1, ejercicio1, sabemos que la ecuación de un movimiento armónico simple es:
$ \ddot{\varPsi}+\frac{s}{m}\varPsi=0 $
Esta ecuación diferencial se puede expresar también de la forma:
$ \ddot{\varPsi}+w^{2}\varPsi=0...(1) $
 
donde:
$w^{2}=\frac{s}{m}$
y entonces, despejando $s$ se tiene:
$s=mw^{2}...(2) $
Por otro lado la fuerza del resorte esta dado por:
$F=s\varPsi...(3) $
pero sabemos por el problema, que el astronauta esta posando en la superficie lunar , lo que nos habla de una fuerza gravitatoria que es:
$F=mg...(4) $
Igualando ecuación $(3)$ y $(4)$ se tiene:
$s\varPsi=mg...(5) $
despejando “g” , y sustituyendo $(2)$ en ecuación $(5)$ , y reduciendo se tiene:
$g=w^{2}\varPsi$
sustituyendo los datos del problema y recordando que la frecuencia angular se puede escribir como <math>w =\frac{2\pi}{T}</math>, se tiene:
$g=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}\varPsi $
$g=1.57\frac{m}{s^{2}} $
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Aportación por usuario: [[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 17:45 30 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez
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== Problema 2.10 ==
'''Una butaca está montada sobre un resorte. Cuando se sienta una persona de 75 kg, oscila con una frecuencia de 1 Hz. Si sobre ella se sienta ahora otra persona de 50 kg,'''
'''a) ¿Cuál será la nueva frecuencia de vibración?'''
'''b) ¿Cuánto descenderá la butaca cuando alcance el equilibrio?''''
Solución:
'''a)''' En el movimiento vertical, la fuerza resultante entre la fuerza recuperadora elástica y el peso es una fuerza recuperadora del tipo:
:<math>F=-k\cdot y\ldots(1)</math>
Y donde la frecuencia angular del sistema responde a la siguiente
relación:
\[
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}\ldots(2)
\]
Nos piden encontrar el valor de la nueva frecuencia y sabemos que:
\[
\upsilon_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}\ldots(3)
\]
Definimos $M$ como la masa total $M=m_{1}+m_{2}=75kg+50kg=125kg$
y podemos entonces escribir la frecuencia resultante combinando las
ecuaciones (3) y (2) como:
\[
\upsilon_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}}\ldots(4)
\]
pero no tenemos el valor de la constante del resorte $k$ la cual
podemos determinar si tomamos los valores de la frecuencia y masa
iniciales. Así que tomamos la ecuación (2) y despejando $k$ nos
queda de la forma:
\[
k=\omega_{0}^{2}\cdot m_{1}
\]
Pero $\omega_{0}=2\pi\cdot\upsilon_{0}=(2\pi)(1Hz)=6.2831\frac{rad}{seg}$
por lo que:
\[
k=(6.2831\frac{rad}{seg})^{2}(75kg)=2,960.88\frac{N}{m}
\]
Entonces ya podemos substituir todos nuestros valores en la ecuación
(4)...
\[
\upsilon_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2,960.88\frac{N}{m}}{125kg}}=.7745Hz
\]
'''b)'''Tomamos como posición de equilibrio la posición de resorte
cuando está encima la primera persona. Cuando se pone encima de ella
la segunda, al alcanzar el equilibrio la fuerza resultante será nula.
Por lo tanto, el peso sumado con la fuerza contraria al peso que imprime
el resorte se puede escribir como:
\[
\bar{P}_{eso}+\bar{F}_{el\acute{a}stica}=0
\]
Sabemos que el peso corresponde a la ecuación de la segunda ley de
newton donde $\bar{P}=-mg$
Al combinar esta ecuación con la ecuación (1) tenemos:
\[
\bigtriangleup m\cdot g=\bigtriangleup y\cdot k
\]
entonces despejando $\bigtriangleup y$ nos queda:
\[
\bigtriangleup y=\frac{\bigtriangleup m\cdot g}{k}=\frac{(50kg)(9.8\frac{m}{s^{2}})}{2960\frac{N}{m}}=.1655m
\]
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Aportación por usuarios: [[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 16:16 22 feb 2015 (CST),Entendible y bien planteado----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:25 23 feb 2015 (CST)
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== Problema 2.11 ==
===Solución #1===
'''Una masa se  mueve bajo un potencial <math>V_{(x)}=V_{0}cosh(\frac{x}{x_{0}})</math>, donde <math>V_{0}</math> y <math>x_{0}</math> son constantes.
a) Encuentre la posición de equilibrio
b)Muestra que la frecuencia a amplitudes pequeñas al rededor de este punto es la misma que si se tratara de la misma masa cuando vibra en un resorte  con constante <math>\frac{V_{0}}{x_{0}^{2}}</math>.'''
a) De la ecuación 2.12 del libro se tiene que:
<center><math>F(r)=-\displaystyle{\frac{dV}{dr}}</math></center>
Entonces:
<center><math>F(x)=-\displaystyle{\frac{V_{0}}{x_{0}}\sinh\left(\frac{x}{x_0}\right)}</math></center>
Dado que buscamos el punto de equilibrio se tiene cuando <math>F(x)=0</math>
<center><math>-\displaystyle{\frac{V_{0}}{x_{0}}\sinh\left(\frac{x}{x_0}\right)}=0</math></center>
luego:
<center><math>\displaystyle{\sinh\left(\frac{x}{x_0}\right)}=0</math></center>
para lo cual necesariamente:
<center><math>x=0</math></center>
Por lo tanto, el punto de equilibrio es:
<center><math>x=0</math></center>
b) De la ecuación 2.14 del libro se tiene que:
<center><math>\omega^2=\displaystyle{\frac{1}{m}\left(\frac{d^2V}{dr^2}\right)}</math></center>
es decir
<center><math>\omega^2=\displaystyle{\frac{\frac{V_{0}}{x_{0}}\cosh(\frac{x}{x_{0}})}{m}}</math></center>
Por otra parte sabemos que:
<center><math>\omega^2=\displaystyle{\frac{k}{m}}</math></center>
por lo que:
<center><math>k=\displaystyle{\frac{V_{0}}{x_{0}}\cosh\left(\frac{x}{x_{0}}\right)}</math></center>
para oscilaciones pequeñas
<center><math>|\frac{x}{x_{0}}|<<1</math></center>
Entonces:
<center><math>\displaystyle{\cosh\left(\frac{x}{x_{0}}\right)\approx1}</math></center>
Finalmente:


<center><math>k=\frac{V_{0}}{x_{0}}</math></center>


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Aportación por usuarios: [[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 02:10 21 feb 2014 (UTC) [[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] ([[Usuario discusión:Cesar Ivan Avila Vasquez|discusión]]) 17:30 25 Febrero 2014
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===Solución #2===
'''2.11. A mass moves under a potential $V(x)=V_{0}\cosh(\frac{x}{x_0})$, where $V_0$ y $x_0$ are constants.(a) Find the position of stable equilibruim. (b) Show that the frecuency of small vibrations about this point is the same as it would be if the same mass was vibrating on a spring of stiffness $V_0/x_0^2$'''


2.11 '''A mass moves under a potential <math>V_{(x)}=V_{0}cosh(\frac{x}{x_{0}})</math>, where <math>V_{0}</math> and <math>x_{0}</math> are constants.(a)Find the position of stable equilibruim. (b)Show that the frecuency of small vibrations about this point is the same as it woudl be if the same mass was vibrating on a spring of stiffness <math>\frac{V_{0}}{x_{0}^{2}}</math>.'''
'''(a)''' La posición de equilibrio es el punto en el que el potencial tiene un valor mínimo, es decir en el que su derivada es nula.


Una masa se  mueve bajo un potencial <math>V_{(x)}=V_{0}cosh(\frac{x}{x_{0}})</math>, donde <math>V_{0}</math> y <math>x_{0}</math> son constantes.
a) Encuentre la posision de qquilibrio
b)Muestra que la frecuencia a amplitudes pequeñas al rededor de este punto es la misma que si se tratara de la misma masa cuando vibra en un resorte  con constante <math>\frac{V_{0}}{x_{0}^{2}}</math>.


a) De la ecuación 2.12 del libro se tiene que
\begin{eqnarray*}
\frac{ \mathrm{d}V(x)}{ \mathrm{d}x} = \frac{V_0}{x_0} \sinh \left(\frac{x}{x_0}\right)=0 \; \Leftrightarrow \; x=0 \, , \, x\in \R
\end{eqnarray*}


<math>F(r)=-\displaystyle{\frac{dV}{dr}}</math> entonces
Por lo que $x=0$ es la posición de equilibrio estable del sistema.


<math>F(x)=-\displaystyle{\frac{V_{0}}{x_{0}}senh(\frac{x}{x_0})}</math>


Dado que buscamos el punto de equilibrio se tiene cuando <math>F(x)=0</math>, es decir <math>-\displaystyle{\frac{V_{0}}{x_{0}}senh(\frac{x}{x_0})}=0</math>, luego <math>\displaystyle{senh(\frac{x}{x_0})}=0</math>, para lo cual necesariamente <math>x=0</math>
'''(b)''' Primero considérese un sistema masa-resorte con  $s=V_0/x_0^2$, entonces $\omega_0^2=s/m$, y la frecuencia de tal sistema es


Por lo tanto, el punto de equilibrio es <math>x=0</math>


b) De la ecuación 2.14 del libro <math>\omega^2=\displaystyle{\frac{1}{m}(\frac{d^2V}{dr^2})}</math>, es decir
\begin{eqnarray*}
\label{1}
\nu=\frac{\omega_0}{2 \, \pi}=\frac{1}{2 \, \pi} \sqrt{\frac{s}{m}}=\frac{1}{2 \, \pi} \sqrt{\frac{V_0}{m \, x_0^2}} \qquad\qquad              (1)
\end{eqnarray*}
 
Por otra parte, de acuerdo a la ecuación '''(2.14)''' de libro (Main, Ian G.,''Vibrations and Waves in Physics'',1993),para un potencial $V(r)$,  $ s \approx \left.\frac{d^2\,V(r)}{d\,r^2}\right|_{x=R}$ válido solo para oscilaciones $|\, \psi (t)\,|$ muy pequeñas, donde $R$ es la posición de equilibrio. Para nuestro potencial $V(x)$ en una dimensión tenemos que:


<math>\omega^2=\displaystyle{\frac{\frac{V_{0}}{x_{0}}cosh(\frac{x}{x_{0}})}{m}}</math>


Por otra parte sabemos que <math>\omega^2=\displaystyle{\frac{k}{m}}</math>
\begin{eqnarray*}
\label{2}
s= \left[ \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}x^2}\,V_0 \cosh \left(\frac{x}{x_0} \right) \right]_{x=0}= \left. \frac{V_0}{x_0^2} \cosh \left(\frac{x}{x_0} \right) \right|_{x=0}= \frac{V_0}{x_0^2} \qquad\qquad              (2)
\end{eqnarray*}


por lo que <math>k=\displaystyle{\frac{V_{0}}{x_{0}}cosh(\frac{x}{x_{0}})}</math>, para oscilaxiones pequeñas,<math>|\frac{x}{x_{0}}|<<1</math>, por lo que <math>\displaystyle{cosh(\frac{x}{x_{0}})\approx1}</math>
Como $\omega_0=\sqrt{s/m} $ y $\nu=\omega_0 / (2 \, \pi)$ y con $(2)$ obtenemos


Finalmente
\begin{eqnarray*}
\label{3}
\nu=\frac{\sqrt{s/m}}{2 \, \pi}=\frac{1}{2 \, \pi} \sqrt{\frac{V_0}{m \, x_0^2}}\qquad\qquad              (3)
\end{eqnarray*}


<math>k=\frac{V_{0}}{x_{0}}</math>


[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 00:25 20 feb 2014 (UTC)
La ec. $(1)$ muestra la frecuencia de ''vibración'' de una masa $m$ debida a un resorte con constante $s=V_0/x_0^2$, mientras que la $(3)$ es la frecuencia de ''oscilación'' de una masa debido a un potencial $V(x)$ alrededor de su punto mínimo o punto de equilibrio. Por lo tanto, como las frecuencias $(1)$ y $(3)$ son iguales, el potencial $V(x)=V_{0}\cosh(\frac{x}{x_0})$ es determinado o es equivalente a un sistema de una masa que realiza una vibración mediante $s=V_0/x_0^2$.


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2.12 '''Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t=0 se libera la masa desde un punto que esta 8 pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 4/3 pie/seg. Determine la ecuación de movimiento'''.
Aportación por usuario [[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 18:33 17 feb 2015 (CST) --
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== Problema 2.12 ==
'''2.12. Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t=0 se libera la masa desde un punto que esta 8 pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 4/3 pie/seg. Determine la ecuación de movimiento'''.




Línea 482: Línea 1228:




<math>6pulg=\frac{1}{2}pie</math>  
:<math>6pulg=\frac{1}{2}pie</math>
 
 
:<math>8pulg=\frac{2}{3}pie</math>
 
 
:<math>m=\frac{W}{g}=\frac{2}{32}=\frac{1}{16}slug</math>
 
 
:<math>2=k(\frac{1}{2})</math>
 
 
:<math>k=4lb/pie</math>
 
 
obtenemos esta ecuación <math>\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+64x=0</math>
 
 
En el desplazamiento inicial y la velocidad se tiene que, <math>x(0)=\frac{2}{3}</math> y <math>x'(0)=-\frac{4}{3}</math>
 
 
donde <math>\omega^{2}=64</math>
se tiene que <math>\omega=8</math>
 
 
Por lo que la solución general de la ecuación diferencial es
 
 
:<math>x(t)=C_{1}\cos8t+C_{2}\sin8t</math>
 
 
Aplicando las condiciones iniciales x(t) y x'(t) obtenemos que <math>C_{1}=\frac{2}{3}</math> y <math>C_{2}=-\frac{1}{6}</math>
 
por lo tanto la ecuación de movimiento es:
 
:<math>x(t)=\frac{2}{3}\cos8t-\frac{1}{6}\sin8t</math>
 
 
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Aportación por usuarios: [[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 04:10 6 jul 2013 (CDT), [[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 18:12 22 feb 2015 (CST)
----
 
== Problema II.I ==
'''When the electron in a hydrogen atom bound to the nucleus moves a small distance from its equilibrium position, a restoring force per unit distance is given by''':
 
<math>s=\frac{\texttt{e}^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^{3}}</math>
 
'''where $r=0.05nm$ may be taken as the radius of the atom. Show that the electron can oscillate with a simple harmonic motion with''':
 
<math>\omega_{0}\approx4.5\times10^{16}rad\,s^{-1}</math>
 
'''If the electron is forced to vibrate at this frequency, in which region of the electromagnetic spectrum would its radiation be found?''':
 
<math>e=1.6\times10^{-19}C\,\,\,electron\,\,\, mass\,\,\,m_{e}=9.1\times10^{-31}kg</math>
 
:<math>\epsilon_{0}=8.85\times10^{-12}N^{-1}m^{-2}C^{2}</math>
 
'''Traducción'''
 
'''Cuando el electrón en un átomo de hidrógeno ligado al núcleo se mueve una pequeña distancia de su posición de equilibrio, una fuerza restauradora por unidad de distancia está dada por''':
 
<math>s=\frac{\texttt{e}^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^{3}}</math>
 
'''donde $r=0.05nm$ puede tomarse como el radio del átomo. Muestre que el electrón puede oscilar en un movimiento armónico simple con''':
 
<math>\omega_{0}\approx4.5\times10^{16}rad\,s^{-1}</math>
 
'''Si el electrón es forzado a vibrar con ésta frecuencia, ¿en qué región del espectro electromagnético irradia?''':
 
<math>e=1.6\times10^{-19}C\,\,\,electron\,\,\, mass\,\,\,m_{e}=9.1\times10^{-31}kg</math>
 
:<math>\epsilon_{0}=8.85\times10^{-12}N^{-1}m^{-2}C^{2}</math>
 
----
 
Al ser $s$ la fuerza restauradora por unidad de distancia, tenemos que la ecuación diferencial del oscilador puede escribirse como:
 
<math>
m_e \ddot{\psi} = - s \psi
</math>
 
y proponiendo una solución del tipo:
 
<math>
\psi = A \cos(\omega t + \phi)
</math>
 
tenemos que:
 
<math>
\dot{\psi} = -\omega_0 A \sin(\omega t + \phi)
</math>
 
además:
 
<math>
\ddot{\psi} = -\omega_0^2 A \cos(\omega t + \phi) = -\omega_0^2 \psi
</math>
 
y sustituyendo en la ecuación diferencial obtenemos:
 
<math>
-m_e \omega_0^2 \psi = - s \psi \Rightarrow -m_e \omega_0^2 = s \Rightarrow w_0^2 = \dfrac{s}{m_e}
</math>


de donde:


<math>8pulg=\frac{2}{3}pie</math>
<math>
\omega_0 = \sqrt{ \dfrac{s}{m_e} }
</math>


Luego, para obtener el valor de $\omega_0$, sustituimos a $s$:


<math>m=\frac{W}{g}=\frac{2}{32}=\frac{1}{16}slug</math>
<math>
\omega_0 = \sqrt{ \dfrac{\dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_{0}r^3}}{m_e} } = \sqrt{ \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_{0} r^3 m_e} }
</math>


y si aproximamos:


<math>2=k(\frac{1}{2})</math>
<math>
\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9.0x10^9 \dfrac{Nm^2}{C^{-2}}
</math>


y lo sustituímos en la ecuación para $\omega_0$:


<math>k=4lb/pie</math>  
<math>
\omega_0 = \sqrt{\dfrac{(1.6x10^{-19}C)^2 \cdot (9.0x10^9 Nm^2C^{-2})}{(5.0x10^{-11}m)^3 \cdot (9.1x10^{-31}kg)}}
= \sqrt{\dfrac{2.304x10^{-28}Nm^2}{1.1375x10^{-61}m^3kg}} = \sqrt{2.025494505x10^{33}\dfrac{N}{m \cdot kg}}
</math>


Por lo que podemos concluír que:


obtenemos esta ecuación
<math>
\omega_0 \approx 4.5x10^{16} s^{-1}
</math>


<math>\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+64x=0</math>
Ahora, obtenemos la frecuencia:


<math>
\nu = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{4.5x10^{16} s^{-1}}{2\pi} \approx 7.1619x10^{15} Hz
</math>


El desplazamiento inicial y la velocidad son
Y como:


<math>x(0)=\frac{2}{3}</math>  y  <math>x'(0)=-\frac{4}{3}</math>
<math>
1.5x10^{15}Hz < 7.1619x10^{15} Hz < 30.0x10^{15}Hz
</math>


Entonces, basados en la [https://es.wikipedia.org/wiki/Espectro_electromagn%C3%A9tico#Bandas_del_espectro_electromagn.C3.A9tico clasificación del espectro electromagnético], podemos concluir que el átomo irradia en el ultravioleta extremo.


donde
<math>\omega^{2}=64</math>


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Resuelto por usuario: [[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 15:50 14 feb 2015 (CST)
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Comentario por : [[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:30 23 feb 2015 (CST) Es pura sustitución numérica y formulas, creo que falta mas teoría y planteamiento
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<math>\omega=8</math>
== Problema II.II ==


'''Un circuito $L-C$, que contiene un conductor de $80mH$ y un capacitor de $1.25nF$, oscila con una corriente máxima de $0.75A$.'''


Por lo que la solución general de la ecuación diferencial es
'''a) Calcule la carga máxima en el capacitor.'''
'''b) Calcule la frecuencia de oscilación del circuito.'''
 
 
 
De la segunda ley de Kirchhoff es posible deducir la ecuación diferencial
 
 
:<math>L\left(\frac{d\overset{\centerdot}{\psi}}{dt}\right)+\left(\frac{1}{C}\right)\psi=0
....(1)</math>
Donde <math>\psi
  </math> representa la carga.
 
Esta ecuación es de la misma forma que la ecuación “común” de el movimiento armónico
 
:<math>\ddot{\psi}+\omega_{0}^{2}\psi=0
....(2)</math>
 
reescribiendo la ecuación (1) tenemos
 
:<math>\ddot{\psi}+\left(\frac{1}{LC}\right)\psi=0....(3)</math>
 
, de donde se tiene ahora que
 
:<math>\omega_{0}=\sqrt{\frac{1}{LC}}
....(4)</math>
 
análogo a lo hecho cuando se trabajo
 
con la ecuación (2). De lo anterior se encuentra la solución de la ecuación (3)
 
:<math>\psi(t)=\psi_{max}\cos(\omega t+\phi)
....(5)</math>
 
Ahora considerando que,
 
:<math>I=\frac{dQ}{dt}=-\omega Q_{max}\sin(\omega t+\phi)
....(6)</math>
 
Así que la corriente varía en el tiempo y sera máxima cuando el coeficiente trigonométrico sea 1 y con el valor absoluto queda
 
:<math>I_{max}=\omega Q_{max}
</math>
 
:<math>Q_{max}=\frac{I_{max}}{\omega}
</math>
 
de (4) entonces
:<math>\omega_{0}=\sqrt{\frac{1}{\left(80\times10^{-3}H\right)\left(1.25\times10^{-9}F\right)}}=100,000s^{-1}
</math>
 
:<math>Q_{max}=\frac{.75A}{100,000s^{-1}}=7.5\times10^{-6}C
</math>
 
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Resuelto por usuario : [[Usuario:Uziel Sanchez Gutierrez|Uziel Sanchez Gutierrez]] ([[Usuario discusión:Uziel Sanchez Gutierrez|discusión]]) 01:05 20 feb 2015 (CST)
 
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Comentario por usuario: [[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:28 23 feb 2015 (CST)entendible
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==Problema 1.1 del Serwey==
 
Una bola gira en contra de las manecillas del reloj en un circulo de <math>3m</math>de radio con una rapidez angular constante de <math>\frac{8rad}{s}</math> en <math>t=0</math> su sombra tiene una coordenada  x de <math>2m</math> y de mueve hacia la derecha.
 
La bola sobre la tornamesa es una partícula en movimiento circular uniforme su sombra  se modela como una partícula en movimiento armónico simple por medio de la ecuación :<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math>
 
a)  Determine la coordenada <math>x</math> como función del tiempo
 
Para hallar la ecuación de movimiento tenemos que encontrar la face con las condiciones iniciales dadas
<math>t=0</math>
 
Tenemos :<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math>
 
:<math>x=A \cos (\phi)\,</math>
despejando <math>\phi</math> nos queda
:<math>\phi=0.841</math>
como se mueve de izquierda a derecha en contra del eje polar la fase es negativa nos queda de la siguiente manera
:<math>\phi=-0.841</math>
obteniendo la fase la ecuación de movimiento es la siguiente
:<math>x(0) = 3 \cos(-0.841)\,</math>
 
b)  Encuentre las componentes de las velocidades  y aceleración de la sombra en cualquier <math>tiempo=t</math>
como solo hay movimiento en el eje x solo tenemos componentes en  <math>v_{x} </math> y <math>a_{x} </math>
 
derivando la posición con respecto al tiempo obtenemos la velocidad
:<math>v(t) = -A \omega sen(\omega t + \phi)\,</math>
:<math>v(t) = -24 sen(8 t - 0.841)\,</math>
 
sacando la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo tenemos
:<math>a(t) = -A \omega^{2} cos(\omega t + \phi)\,</math>
:<math>a(t) = -192 cos(8 t - 0.841)\,</math>
 
Este problema se aplica para un sistema de una maquina de coser con pedales.
El operador pone su pie al pedal lo acciona de atrás hacia adelante esto se toma como un movimiento oscilatorio hace que una rueda grande ala derecha experimente un movimiento circular una banda transfiere el movimiento al mecanismo de la maquina de coser y causa un movimiento oscilatorio ala aguja de coser
 
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Resuelto por usuario: [[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 19:46 25 feb 2015 (CST)jose de jesus Arizpe flores
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== Problema propuesto de aplicación de circuito RL ==
 
 
Considera el circiito <math>RLC</math> impulsado por una fuerza electromotriz <math>E_{0}\sin{\omega}t</math>. Encuentra la corriente, el voltaje <math>V_{L}</math> y la frecuencia angular <math>\omega</math> para la cual <math>V_{L}</math> es un máximo.
 
 
 
'''Solución:'''
 
El voltaje a través de cada elemento del circuito es:
 
 
<math>V_{L}=L\frac{dI}{dt}=L\ddot{q}</math>
 
<math>V_{R}=LI=L\frac{dq}{dt}=L\dot{q}</math>
 
<math>V_{C}=\frac{q}{c}</math>
 
 
Asi, el voltaje disminuye alrededor del circuito y tenemos
 
<math>L\ddot{q}+R\dot{q}+\frac{q}{c}=E_{0}\sin{\omega}t</math> esta ecuación es similar a
 
<math>\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=A\cos{\omega}t</math>
 
 
la cual <math>\gamma=b/2m\gtrdot{R/2L}</math>
 
 
<math>\omega=\sqrt{k/m}\gtrdot{1/\sqrt{LC}}</math>
 
 
 
y <math>A=F_{0}/m\gtrdot{E_{0}/L}</math>
 
 
 
La solución para la carga esta dada por
 
 
<math>I=\frac{-E_{0}\sin{\omega}t}{\sqrt{R^2}+(\frac{1}{\omega}c-\omega)^2}</math>
 
 
y el voltaje a través del inductor es
 
 
<math>V_{L}=L\frac{dI}{dt}=-\frac{\omega IE_{0}\cos{\omega}t}{\sqrt{R^2}+(\frac{1}{\omega}c-\omega)^2}</math>
 
 
 
por tanto <math>V_{L}=V(\omega)\cos{\omega}t</math>




<math>x(t)=C_{1}\cos8t+C_{2}\sin8t</math>
Ahora para encontrar la fracuencia <math>\omega_{max}</math> la cual toma <math>V_{L}</math> maximo, podríamos tomar la derivada con respecto de <math>\omega</math> e igualar el resultado a cero.




Aplicando las condiciones iniciales x(t) y x'(t) obtenemos que
Asi se tiene que..




<math>C_{1}=\frac{2}{3}</math>      y      <math>C_{2}=-\frac{1}{6}</math>
<math>\frac{dV_{\omega}}{d\omega}=\frac{LE_{0}[R^2-\frac{2L}{c}+\frac{2}{\omega}^2c^2]}{\sqrt{R^2}+(\frac{1}{\omega}c-\omega)^2}</math>




por lo tanto la ecuación de movimiento es
De aquí encontramos que resolviendo para <math>\omega_{max}</math>




<math>x(t)=\frac{2}{3}\cos8t-\frac{1}{6}\sin8t</math>
<math>\omega_{max}=\frac{1}{\sqrt{LC-\frac{R^2 C^2}{2}}}</math> es la frecuencia buscada.




--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 04:10 6 jul 2013 (CDT)
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Resuelto por Hector Resendiz [[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 22:27 25 mar 2015 (CDT) Libro Jerry B. Marion ejercicio 3.19
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Revisión actual - 08:55 9 oct 2023

Problemas capítulo 2 Vibraciones libres en la física.

Ejercicios resueltos acerca Vibraciones libres.

Del libro Vibrations and waves in physics del autor Iain G. Main. 3ra Edición. Y algunos problemas adicionales de diversos libros.



Problema 2.1

Un reloj hace tick 5 veces por segundo . Su rueda de equilibrio tiene un momento de inercia de $2\times10^{-6}\mathrm{kg\mathrm{m^{2}}}$. Calcular la rigidez trosional del resorte de balance . (Suponiendo que el periodo es de 2 ticks )

Tenemos que la frecuencia angular para vibraciones angulares esta dado por:

\begin{equation} \omega{}_{0}=\sqrt{\frac{c}{I}}=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{I}} \end{equation}


Donde: $\omega{}_{0}$ es la frecuencia angular, $c$ es la rigidez torcional e $I$ es el momento de inercia .

Sustituimos la ecuación (1) en la expresión para en periodo y despejamos c

\[ T=\frac{2\pi}{\omega{}_{0}}=\frac{2\pi\sqrt{I}}{\sqrt{c}} \]


\begin{equation} c=\frac{4\pi^{2}I}{T^{2}} \end{equation}

Por el enunciado el periodo es

\[ T=\frac{2}{5}s=0.4s \]

Sustituimos los datos proporcionados en el ejercicio

\[ c=\frac{4\pi^{2}(2\times10^{-6}\mathrm{kg\mathrm{m^{2}}})}{(0.4\mathrm{s})^{2}}=4.935\times10^{-4}\mathrm{kgm^{2}s^{-2}} \]


\[ c=4.935\times10^{-4}\mathrm{kgm^{2}s^{-2}} \]


Aportación por usuarios: Rosario Maya (Usuario discusión:Rosario Maya) 17:02 17 feb 2015 (MVR), Luis Velázquez (Usuario discusión:Luis Velázquez) 11:37 17 feb 2015 (CST), Mario Moranchel (discusión) 04:16 22 ene 2014 (UTC).


Corregido por Manuel Rodríguez


Problema 2.2

Solución #1

Un reloj de pared hace tick una vez por segundo . Muestre que la longitud del péndulo debe ser de al menos de $1m$ de altura

El periodo de un péndulo vibracional se define como:


\begin{eqnarray*} T=\frac{2\pi}{\omega{}_{0}} ...(1) \end{eqnarray*}


despejando $\omega_{0}$ de (1), tenemos


\begin{eqnarray*} \omega_{0}=\frac{2\pi}{T} ... (2) \end{eqnarray*}


donde la frecuencia angular para el péndulo vibracional está dada por:


\begin{eqnarray*} \omega_{0}=\sqrt{\frac{g}{l}} ... (3) \end{eqnarray*}


Substituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)

\[ \frac{\sqrt{g}}{\sqrt{l}}=\frac{2\pi}{T} \]


Despejando $\sqrt{l}$, tenemos:

\[ \sqrt{l}=\frac{T\sqrt{g}}{2\pi} \]


\[ l=\frac{gT{}^{2}}{4\pi^{2}} \]


Substituyendo los siguientes valores: $g=9.81\mathrm{ms^{-2}}$y $T=2s$, el periodo es de 2s ya que la frecuencia de oscilación es de $0.5s^{-1}$ y ya que el periodo es el inverso de la frecuencia de oscilación, tenemos que:

\[ l=\frac{(9.81\mathrm{ms^{-2}})(4s^{2})}{4\pi^{2}}=0.9939\mathrm{m} \]


\[ l\eqsim1\mathrm{m} \]




Aportación por usuarios: Rosario Maya (Usuario discusión:Rosario Maya) 19:10 17 feb 2015 (MVR), Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 17:46 26 feb 2015 (CST)


Solución #2

Otra forma de resolver el problema es la siguiente:

El problema nos habla de un reloj que hace tictac una vez por segundo y nos pide demostrar que el reloj es de 1m de altura.

El hecho de que haga tictac una vez por segundo nos dice que tiene una frecuencia de medio segundo.

Entonces con este dato podemos obtener la frecuencia angular del reloj despejando la siguiente ecuación:

\[ \nu=\frac{\omega}{2\pi} \]


De esta relación podemos despejar $\omega$

\[ \omega=2\pi\nu....(1) \]

La ecuación para un péndulo simple es:

\[ \omega=\left[\frac{g}{L}\right]^{\frac{1}{2}} \]

De aquí se puede despejar la longitud $L$ para obtener: \[ L=\frac{g}{\omega^{2}}....(2) \] Entonces al substituir $w$ de la ecuación (1) en la ecuación (2), queda: \[ L=\frac{g}{(2\pi\nu)^{2}} \] Ya que conocemos todos los datos de la ecuación podemos substituir todo y obtendremos:

\[ L=\frac{(9.81\mathrm{ms^{-2}})}{4\pi^{2}(0.5^{2})}=0.9939\mathrm{m}\eqsim1\mathrm{m} \]


Aportación por usuarios: Daniel Olvera Moreno - 22:17 20 de feb 2014, Pablo (discusión) 22:49 19 feb 2015 (CST) , A. Martín R. Rabelo (discusión) 18:02 22 feb 2015 (CST).


Problema 2.3

Muestra que la compresibilidad isotérmica es igual a para un gas perfecto. Estima la diferencia porcentual que el uso de en lugar de haría al calculo del valor de para un frasco que contiene aire.

Solución

Usamos la ecuación de gas perfecto para obtener una expresión para la compresibilidad isotérmica usando su definición termodinámica . Primero despejamos de la ecuación de gas perfecto y derivamos:

Usando la ecuación de gas perfecto se reduce a:

Ahora sustituimos en la definición de

Entonces la expresión para la frecuencia angular, usando queda:

Por otro lado, la expresión de la frecuencia angular usando es:

Donde es la razón de las capacidades caloríficas y se uso la ecuación de gas perfecto en términos de la masa molar , .

Así la diferencia porcentual puede ser calculada con la razón de ambas frecuencias:

Y si usamos de nuevo la ecuación del gas perfecto, donde se tiene

Finalmente la diferencia porcentual se obtiene multiplicando por 100 el resultado anterior.


Aportación por usuarios: Brenda Pérez Vidal (discusión) 23:15 16 feb 2014 (UTC) , Edgar Ortega Roano (discusión) 09:23 12 feb 2014 (UTC)


Problema 2.4

Estima el cambio aproximado en el tono del órgano si la temperatura en la iglesia cae a 20ºC (el tono de un vibrador se eleva a un semitono cada vez que su frecuencia aumenta en un 5,9 por ciento).

Solución 

Para resolver este problema, se considera el aire del ambiente bajo condiciones normales de temperatura y presión, comportándose como un gas ideal y obedeciendo la relación de los gases ideales:

\[ pV=RT \]


Para cambios adiabáticos en un gas ideal, se toma a $pV^{\gamma}$como una constante en donde $\gamma=\frac{Cp}{Cv}$ con $Cp:$ constante de presión y $Cv:$ constante de volumen.

Se sabe que la compresibilidad del aire (k), se calcula utilizando la siguiente relación:

\begin{equation} K=-\frac{1}{V}(\frac{dV}{dp}) \end{equation}


Donde d representa una derivada parcial.

De la relación anterior, se obtiene $ks$ para la expresión $\frac{1}{\gamma p}.$

Al ocupar la siguiente relación: $\omega_{0}\thickapprox(a/lvpk)^{1/2}$ y escribir la ecuación del gas ideal de la masa molar, el volumen y la constante R, se obtienen las siguientes relaciones:

\[ \rho=\frac{M}{V}=\frac{Mp}{RT} \]


\[ \rho KS=\frac{M}{\gamma RT} \]


En donde$\rho ks$ representa la presión adiabática; al sustituir las relaciones anteriores en la definición que se dio de $\omega_{0},$se obtiene:

\[ \omega_{0}\thickapprox\left[\left(\frac{a}{lv}\right)\left(\frac{\gamma RT}{M}\right)\right]^{1/2} \]


En donde $a=10^{-4}m^{2},v=10^{-3}m^{3},,l=5x10^{-2}m$ son datos atmosféricos y valores típicos para las dimensiones de un cilindro.


Lo siguiente es calcular la frecuencia al ocupar la siguiente relación: $\nu=\frac{\omega}{2\Pi}$

Se calcula la frecuencia para dos casos, el de la temperatura inicial y el de la temperatura final, y se obtienen los siguientes resultados:

$\omega_{0i}=\left[\left(\frac{10^{-4}}{10^{-3}(5x10^{-2})}\right)\left(\frac{1.4(8.3)(300)}{0.029}\right)\right]^{1/2}=490.3$ rad/s $\nu_{i}=\frac{490.3}{2\Pi}$=78 Hz

$\omega_{0f}=\left[\left(\frac{10^{-4}}{10^{-3}(5x10^{-2})}\right)\left(\frac{1.4(8.3)(6.85)}{0.029}\right)\right]^{1/2}$=74.09rad/s $\nu_{f}=\frac{74.09}{2\Pi}=11.8$ Hz

Ahora se calcula la diferencia entre ambas frecuencias:

$ $$\Delta\nu=-66.2$

Que resulta negativo porque decrece.


Para calcular el número de semitons, se divide la diferencia de frecuencias entre 0.59, y el número de semitonos es igual a -39.058.


Aportación por usuarios: Luis Velázquez (Usuario discusión:Luis Velázquez) 11:41 17 feb 2015 (CST), Ana Alarid (discusión) 01:05 22 feb 2014 (UTC)


Problema 2.5

Una unidad de altavoz en miniatura tiene un cono de 80 mm de diámetro montado en un agujero del mismo diámetro en un gabinete cerrado de dimensiones interiores 150 mm X 150 mm X 300 mm. La masa del cono es 5.0 g, y el montaje es tal que la rigidez de la suspensión puede ser despreciada. Estimar la frecuencia de vibración libre del cono.



Tenemos los siguientes datos:

Diámetro de la base = $0.80[m]$;

radio de la base del cono = $0.04 [m]$;

masa del cono = $0.005 [kg]$;

dimensiones de la suspensión= $0.15 [m] X 0.15 [m] X 0.3[m]$;

suponiendo que $l=0.3 [m]$, es decir, la misma altura de la suspensión.


Se utilizan las siguientes ecuaciones base para determinar vibraciones acústicas:

\begin{eqnarray*} \kappa=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial p}) ......(1) \end{eqnarray*}


donde $\kappa$ constante de compresibilidad del aire, $V$ es el volumen del cono, $p$ presión ejercida por el aire dentro del cono, $l$ altura del cono.

\begin{eqnarray*} \omega_{0}=(\frac{a}{lV\rho\kappa})^{\frac{1}{2}} ......(2) \end{eqnarray*}

donde $\omega_{0}$ la frecuencia libre, $a$ superficie transversal del cono (base circular), $\rho$ densidad del cono, $\kappa$ constante de compresibilidad del aire, $l$ altura del cono.

Cono

De acuerdo al problema, se nos pide encontrar la frecuencia libre del cono, entonces primeramente determinamos el volumen de nuestro objetivo y enseguida su densidad:


\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3}*\pi*r^2*l ......(3) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} V=(\frac{1}{3})(\pi)(0.04)^2(0.3) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} V=5.02*10^{-4}[m^3] \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \rho=\frac{m}{V}......(4) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \rho=\frac{0.005}{5.02*10^{-4}} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \rho=9.96 [\frac{kg}{m^3}] \end{eqnarray*}


Considerando que alguna partícula está dentro del altavoz posicionada en la fuente (origen), en reposo y con masa despreciable (como se indica en la figura) efectuará un movimiento uniforme cuando el impulso de sonido, originado en la fuente, produzca un frente de onda que lleve a la partícula perpendicularmente sobre la sección transversal denotada por $a$, entonces podemos determinar la aceleración del sonido en el cuerpo cónico:

Sabemos que la rapidez del sonido en el aire a 20[°C] es $v=343 [\frac{m}{s}]$

\begin{eqnarray*} (v_{f})^2=(v_{i})^22a(x_{f}-x_{i}); v_{i}=0, x_{i}=0 \end{eqnarray*}

Despejando a \begin{eqnarray*} a=\frac{(v_{f})^2}{2x_{f}} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} a=\frac{(343)^2}{2(0.3)} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} a=196.08*10^3 [\frac{m}{s^2}] \end{eqnarray*}


La fuerza se determina a través de la segunda ley de Newton: $F=m*a$, tenemos la aceleración del sonido, sin embargo también necesitamos la masa del medio, es decir del aire, para ello utilizaremos la expresión de densidad, pues conocemos el volumen del recipiente que contiene al gas y la densidad del mismo:

Densidad del aire

\begin{eqnarray*} \rho= 1 [\frac{kg}{m^3}] \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \rho= \frac{m}{V} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} m=\rho*V \end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*} m=(1)(5.02*10^{-4}) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} m=5.02*10^{-4}[kg] \end{eqnarray*}

Ahora sustituyendo en la segunda ley de Newton $F=m*a$:

\begin{eqnarray*} F=(5.02*10^{-4})(196.08*10^3 ) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} F=98.432 [N] \end{eqnarray*}

Ahora encontramos la presión que se ejerce sobre la superficie transversal $a$:

\begin{eqnarray*} p=\frac{F}{A} \end{eqnarray*}

Conocemos el radio de la base del cono, así podemos determinar el área de la sección transversal: $a=A=\pi*r^2$ entonces $A=5.026*10^{-3}$:

\begin{eqnarray*} p=\frac{98.432}{5.026*10^{-3}} \end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*} p=19584.592 [Pa] \end{eqnarray*}

Utilizando las expresiones de densidad, fuerza y presión podremos encontrar $\kappa$ indicada con (1), $\kappa$ representa la propiedad relevante del aire: su compresibilidad.

\begin{eqnarray*} \kappa=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial p}) \end{eqnarray*}

Para sustituir correctamente los datos en (1), es necesario poner el volumen en función de la presión debida al aire.

\begin{eqnarray*} p=\frac{F}{A}=\frac{F}{\pi*r^2} \end{eqnarray*} Despejando $r^2$

\begin{eqnarray*} r^2=\frac{F}{\pi*p} \end{eqnarray*}

Sustituyendo $r^2$ en el volumen


\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3}*\pi*r^2*l \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3}Flp^{-1} \end{eqnarray*}


Aplicando derivada parcial respecto de la presión:


\begin{eqnarray*} \frac{\partial V}{\partial p}=-\frac{1}{3}Flp^{-2} \end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*} \frac{\partial V}{\partial p}=-\frac{Fl}{3p^{2}} \end{eqnarray*}

Ahora sólo sustituimos en (1)

\begin{eqnarray*} \kappa=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial p}) \end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*} \kappa=-(\frac{1}{V})(-\frac{Fl}{3p^{2}}) \end{eqnarray*}

Evaluando

\begin{eqnarray*} \kappa=\frac{1}{5.02*10^{-4}}(\frac{(98.432)(0.3)}{3(19584.592)^{2}}) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \kappa= 5.112*10^{-5} [\frac{ms^{2}}{kg}] \end{eqnarray*}

Finalmente sustituimos todos los valores en (2)

\begin{eqnarray*} \omega_{0}=(\frac{a}{lV\rho\kappa})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \omega_{0}=(\frac{5.026*10^{-3}}{(0.39)(5.02*10^{-4})(9.96)})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}

El resultado es:

\begin{eqnarray*} \omega_{0}=255.867 [s^{-1}] \end{eqnarray*}


Aportación por usuarios: Luis Velázquez (Usuario discusión:Luis Velázquez) 11:50 17 feb 2015 (CST), Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 08:10 21 feb 2014 (UTC), Pablo (discusión) 20:54 22 feb 2015 (CST)


Problema 2.6

Dos masas and están unidas por un resorte de rigidez . Pueden vibrar a lo largo de la línea de sus centros, acercándose y alejándose alternativamente uno del otro. Para esta vibración, demuestre que donde

Considerando la siguiente figura


Solución:


En la figura dos cuerpos de masa mencionada están unidos a un resorte de constante S y consideremos y las coordenadas de posición de los cuerpos respecto a un sistema fijo de coordenadas.En este caso es la distancia desde los puntos hasta el bloque de masa y va de los puntos hasta , entonces la longitud del resorte sera y si su longitud para la deformación nula es , el alargamiento del resorte es .


El movimiento de los bloques solo esta dado en una dirección en este caso elegimos la dirección $\hat{i}$ y entonces el problema a tratar es unidimensional Aplicando la segunda ley de Newton

Dividiendo entre “m” e igualando la expresión a cero, se tiene :

La fuerza que se ejerce sobre $m_{2}$es :

\[ F_{2}=-kx \]


y la fuerza sobre $m_{1}$es:

\[ F_{1}=-(-kx) \]


así las ecuaciones de movimiento para cada bloque es:

\begin{eqnarray*} \ddot{m_{1}x}_{1}=kx \qquad\qquad (1) \end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*} m_{2}\ddot{x}_{2}=-kx \qquad\qquad (2) \end{eqnarray*}


para resolver las ecuaciones diferenciales multiplicamos a $(1)$ por $m_{2}$ y a $(2)$ por $m_{1}$y así obtenemos:

\[ m_{1}m_{2}\ddot{x}_{1}=m_{2}kx\qquad,\qquad m_{1}m_{2}\ddot{x}_{2}=-m_{1}kx \]


y al restarlas llegamos a:

\[ m_{1}m_{2}(\ddot{x}_{2}-\ddot{x}_{1})=-kx(m_{1}+m_{2}) \]


pero sabemos que $x=x_{2}-x_{1}-d\qquad entonces\qquad\ddot{x}=\ddot{x}_{2}-\ddot{x}_{1}$ por lo tanto la ecuación diferencial queda como

\[ \ddot{x}+(\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}})kx=0\qquad haciendo\qquad\mu=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}} \]


\begin{eqnarray*} \ddot{x}+\mu kx=0 \end{eqnarray*}


ahora, sí $m_{1}\ll m_{2}$encontramos que $\mu\approx m_{1}$y entonces la ecuación diferencial sería la de un solo bloque.



Aportación por usuarios: Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 01:59 26 ene 2014 (UTC), Realizando cambios al problema 2.6, en la parte teórica de la aplicación de la segunda ley de NewtonRicardo Garcia Hernandez (discusión) 00:21 23 feb 2015 (CST)


Problema 2.7

Solución #1

2.7. Muestra un arreglo que podría ser usado para establecer un circuito LC en oscilación. El condensador está primero cargado a una voltaje $V$ con la batería. En el tiempo $t = 0$ el interruptor se cambia para conectar el condensador cargado a través de la bobina. Calcular:

a) La amplitud. b) La constante de fase de la oscilación resultante.

-El voltaje total en el circuito LC está dado por:



donde,


entonces,


Sea por lo que de la ec. (1.1'), al desconectar el circuito tendremos:



La solución general de la ec. (1.2) es,


su derivada, la corriente $I$:


Ahora, cuando el circuito se haya conectado, esto es, en $t=0$


la igualdad de la ecuación (1.4') se satisface:



Y, por último la ecuación (1.3) en $t=0$ es:


como y tenemos, entonces:



Resuelto por usuarios: Daniela López Martínez (discusión) 17:06 29 may 2013 (CDT) ,A. Martín R. Rabelo (discusión) 16:45 22 feb 2015 (CST)


Solución #2

La figura 2.8 muestra un arreglo que puede ser usado para poner un circuito LC en oscilacion. El capacitor esta cargado inicialmente con un voltaje $V_{1}$en la batería. En el tiempo $t=0$ el switch se cambia para conectar el capacitor cargado a lo largo del circuito. Derive (a) la amplitud y (b) la constante de fase de la oscilación resultante.

Circuito del Problema 2.7

La solución a este problema la realice de la siguiente manera:

Tenemos que la ecuación diferencial de este sistema está dada por:

\[ V_{1}+\varepsilon_{L}=0 \]


\[ L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0 \]


\[ L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{q}{C}=0 \]


Del polinomio característico de la ecuación y sabiendo que $\omega_{0}^{2}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$, tenemos que una solución para esta dada por:

\[ \psi(t)=Acos(\omega_{0}+\phi) \]


Notemos que, en nuestro caso, $\psi(t)=q(t)$ y $\frac{dq(t)}{dt}=i(t)$, las cuales son la carga y la corriente respectivamente, luego, para hallar (a) tenemos que:

\[ A=\frac{\psi(t)}{cos(\omega_{0}t+\phi)}=\frac{q(t)}{cos(\omega_{0}t+\phi)} \]

Ademas en nuestro problema en t=0 nuestro capacitor esta completamente cargado y es en ese instante que empezamos a "observar" el circuito; siendo asi por lo que la ecuación queda es decir la amplitud es la carga inicial en el capacitor

Para hallar (b), realicemos lo siguiente:

\[ \psi(t)=Acos(\omega_{0}t+\phi) \]


\[ \frac{d\psi(t)}{dt}=-A\omega_{0}sen(\omega_{0}t+\phi) \]


Dividiendo ambas ecuaciones entre sí tenemos que:


\[ \omega_{0}t+\phi=arctan\left(\frac{-i(t)}{\omega_{0}q(t)}\right) \]


\[ \Rightarrow\phi=arctan\left(\frac{-i(t)}{\omega_{0}q(t)}\right)-\omega_{0}t \]


Aportación por usuarios: Cesar Ivan Avila Vasquez Traducción:Cesar Ivan Avila Vasquez 23:49 19 Feb 2014 (CDT), Uziel Sanchez Gutierrez (discusión) 00:01 23 feb 2015 (CST)


Problema 2.8

Muestra que las vibraciones verticales de una masa m suspendida de un resorte de rigidez s, cuyo otro extremo está fijo, tienen una frecuencia angular de . (Consejo: Mide los desplazamientos de la posición de equilibrio de la masa, donde su peso está balanceado por la fuerza del resorte.)


Cuando la masa se cuelga del resorte y el sistema está en equilibrio, el resorte adquiere una longitud y ejerce una fuerza de restauración de la forma:

Usando la segunda ley de Newton, la suma de fuerzas en el equilibrio debe ser cero:

El momento en que el sistema oscila verticalmente la masa se desplaza una distancia de la posición de equilibrio y se ejerce una fuerza de restauración:

En este caso la segunda ley de Newton queda:

Pero del equilibrio sabemos que , entonces la segunda ley de Newton queda:

Al dividir la ecuación entre se tiene:

Que es la forma de la ecuación de oscilación armónica simple , de ahí concluimos que la frecuencia angular del sistema es:



La forma en que resolvería el problema es:

Cuando se cuelga una masa $m$ al resorte, ésta alcanza la posición de equilibrio $y_0$. En esta posición tenemos que la segunda ley de Newton es


\begin{eqnarray*} mg-sy_0=0.\qquad\qquad (1) \end{eqnarray*}

Ahora, si desplazamos la masa una cantidad $y$ desde la posición de equilibrio $y_0$, la segunda ley de Newton es

\begin{eqnarray*} m\frac{d^2 y}{dt^2}&=& mg-s(y_0+y)\\ m\frac{d^2 y}{dt^2}&=&-sy,\qquad\qquad (2) \end{eqnarray*}

donde utilizamos $(1)$. La ec.de movimiento $(2)$ es igual a la ec. de movimiento en la dirección $x$, por tanto se tiene que $\omega^2=\frac{s}{m}$.


Aportaciones por usuarios: Ernesto (discusión) 14:11 14 may 2013 (CDT), Brenda Pérez Vidal (discusión) 20:42 9 feb 2014 (UTC)


Problema 2.9

Solución #1

Un astronauta sobre la superficie de la luna pesa muestras de roca utilizando un ligero dinamómetro. Ésta báscula, que fue calibrada en la tierra, tiene una escala de 100 mm de largo que lee de 0 a 1 kg. Él observa que cierta roca da una lectura estable de 0.40 kg y, cuando se le perturba, vibra con un periodo de 1.0 s. ¿ Cuál es la aceleración debido a la gravedad en la luna?

Sabemos por la redacción del problema que el dinamómetro utiliza en su interior un resorte ligero , así que tenemos:


La ecuación (1) también puede expresarse de la siguiente forma:


En la ecuación (2) el primer término corresponde a la fuerza de gravedad lunar, mientras que el segundo corresponde a la fuerza del resorte. La suma de ambas fuerzas da como resultado cero porque las fuerzas están en equilibrio.


Para resolver el problema necesitamos encontrar el valor de la la constante de proporcionalidad , y lo hacemos de la siguiente manera. Como sabemos que la roca al ser perturbada oscila armónicamente podemos utilizar la siguiente ecuación para la frecuencia angular (la frecuencia angular de un movimiento armónico simple).


\begin{eqnarray*} \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} ...(3) \end{eqnarray*}

De la ecuación (3) despejamos k elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación y obtenemos:

\begin{equation}k=m\omega^{2} ...(4)\end{equation}


El valor de la masa (de la roca) es un dato que nos proporciona el problema y como sabemos que la frecuencia angular para un movimiento armónico simple es:

\begin{equation}\omega = \frac{2\pi}{T} ...(5)\end{equation}


Por último par resolver el problema usamos la ecuación 1 y el hecho de que la segunda derivada de respecto del tiempo es la aceleración de la gravedad lunar. Tendremos ahora una nueva ecuación, muy parecida a la ecuación 1:

\begin{equation}mg=kx...(6)\end{equation}


Despejamos g:

\begin{equation}g=\frac{kx}{m}...(7)\end{equation}

La solución queda:


\begin{equation}mg=m\omega^{2}x \end{equation}


\begin{equation}g=\frac{kx}{m}=\frac{(10kg/s^{2})(0.4m)}{(0.2533kg)}=1.57m/s^{2}\end{equation}


\begin{equation}g=\omega^{2}x=(\frac{2\pi}{T})^{2}x=1.57m/s^{2}\end{equation}



Aportación por usuario: Pedro Pablo Ramírez Martínez (discusión) 21:48 16 feb 2014 (UTC)


Forma adicional

2.9 Un astronauta sobre la superficie de la luna pesa muestras de roca utilizando un ligero dinamómetro. Ésta báscula, que fue calibrada en la tierra, tiene una escala de 100 mm de largo que lee de 0 a 1 kg. Él observa que cierta roca da una lectura estable de 0.40 kg y, cuando se le perturba, vibra con un periodo de 1.0 s. ¿ Cuál es la aceleración debido a la gravedad en la luna?

Solución

El problema plantea una báscula, esta tiene un dinamómetro y que a su vez contiene un resorte que se estira, para soportar cierta carga de rocas; como se ha visto en el capítulo 1, ejercicio1, sabemos que la ecuación de un movimiento armónico simple es:

$ \ddot{\varPsi}+\frac{s}{m}\varPsi=0 $


Esta ecuación diferencial se puede expresar también de la forma:

$ \ddot{\varPsi}+w^{2}\varPsi=0...(1) $

donde:

$w^{2}=\frac{s}{m}$

y entonces, despejando se tiene:


Por otro lado la fuerza del resorte esta dado por:

$F=s\varPsi...(3) $


pero sabemos por el problema, que el astronauta esta posando en la superficie lunar , lo que nos habla de una fuerza gravitatoria que es:

$F=mg...(4) $


Igualando ecuación $(3)$ y $(4)$ se tiene:

$s\varPsi=mg...(5) $


despejando “g” , y sustituyendo $(2)$ en ecuación $(5)$ , y reduciendo se tiene:

$g=w^{2}\varPsi$


sustituyendo los datos del problema y recordando que la frecuencia angular se puede escribir como , se tiene:

$g=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}\varPsi $


$g=1.57\frac{m}{s^{2}} $


Aportación por usuarios: Ricardo García HernándezRicardo Garcia Hernandez (discusión) 00:53 23 feb 2015 (CST),Pablo (discusión) 20:37 22 feb 2015 (CST)


Forma adicional 2

El problema plantea una báscula, esta tiene un dinamómetro y que a su vez contiene un resorte que se estira, para soportar cierta carga de rocas; como se ha visto en el capítulo 1, ejercicio1, sabemos que la ecuación de un movimiento armónico simple es:

$ \ddot{\varPsi}+\frac{s}{m}\varPsi=0 $


Esta ecuación diferencial se puede expresar también de la forma:

$ \ddot{\varPsi}+w^{2}\varPsi=0...(1) $

donde:

$w^{2}=\frac{s}{m}$

y entonces, despejando $s$ se tiene:

$s=mw^{2}...(2) $


Por otro lado la fuerza del resorte esta dado por:

$F=s\varPsi...(3) $


pero sabemos por el problema, que el astronauta esta posando en la superficie lunar , lo que nos habla de una fuerza gravitatoria que es:

$F=mg...(4) $


Igualando ecuación $(3)$ y $(4)$ se tiene:

$s\varPsi=mg...(5) $


despejando “g” , y sustituyendo $(2)$ en ecuación $(5)$ , y reduciendo se tiene:

$g=w^{2}\varPsi$


sustituyendo los datos del problema y recordando que la frecuencia angular se puede escribir como , se tiene:

$g=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}\varPsi $


$g=1.57\frac{m}{s^{2}} $



Aportación por usuario: Luisa Alejandra Vega Sanchez (discusión) 17:45 30 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez


Problema 2.10

Una butaca está montada sobre un resorte. Cuando se sienta una persona de 75 kg, oscila con una frecuencia de 1 Hz. Si sobre ella se sienta ahora otra persona de 50 kg,

a) ¿Cuál será la nueva frecuencia de vibración?

b) ¿Cuánto descenderá la butaca cuando alcance el equilibrio?'

Solución:

a) En el movimiento vertical, la fuerza resultante entre la fuerza recuperadora elástica y el peso es una fuerza recuperadora del tipo:

Y donde la frecuencia angular del sistema responde a la siguiente relación:

\[ \omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}\ldots(2) \]


Nos piden encontrar el valor de la nueva frecuencia y sabemos que:

\[ \upsilon_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}\ldots(3) \]

Definimos $M$ como la masa total $M=m_{1}+m_{2}=75kg+50kg=125kg$ y podemos entonces escribir la frecuencia resultante combinando las ecuaciones (3) y (2) como:

\[ \upsilon_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}}\ldots(4) \]


pero no tenemos el valor de la constante del resorte $k$ la cual podemos determinar si tomamos los valores de la frecuencia y masa iniciales. Así que tomamos la ecuación (2) y despejando $k$ nos queda de la forma:

\[ k=\omega_{0}^{2}\cdot m_{1} \]


Pero $\omega_{0}=2\pi\cdot\upsilon_{0}=(2\pi)(1Hz)=6.2831\frac{rad}{seg}$ por lo que:

\[ k=(6.2831\frac{rad}{seg})^{2}(75kg)=2,960.88\frac{N}{m} \]


Entonces ya podemos substituir todos nuestros valores en la ecuación (4)...

\[ \upsilon_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2,960.88\frac{N}{m}}{125kg}}=.7745Hz \]


b)Tomamos como posición de equilibrio la posición de resorte cuando está encima la primera persona. Cuando se pone encima de ella la segunda, al alcanzar el equilibrio la fuerza resultante será nula.

Por lo tanto, el peso sumado con la fuerza contraria al peso que imprime el resorte se puede escribir como:

\[ \bar{P}_{eso}+\bar{F}_{el\acute{a}stica}=0 \]


Sabemos que el peso corresponde a la ecuación de la segunda ley de newton donde $\bar{P}=-mg$

Al combinar esta ecuación con la ecuación (1) tenemos:

\[ \bigtriangleup m\cdot g=\bigtriangleup y\cdot k \]


entonces despejando $\bigtriangleup y$ nos queda:

\[ \bigtriangleup y=\frac{\bigtriangleup m\cdot g}{k}=\frac{(50kg)(9.8\frac{m}{s^{2}})}{2960\frac{N}{m}}=.1655m \]



Aportación por usuarios: A. Martín R. Rabelo (discusión) 16:16 22 feb 2015 (CST),Entendible y bien planteado----Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 00:25 23 feb 2015 (CST)


Problema 2.11

Solución #1

Una masa se mueve bajo un potencial , donde y son constantes.

a) Encuentre la posición de equilibrio

b)Muestra que la frecuencia a amplitudes pequeñas al rededor de este punto es la misma que si se tratara de la misma masa cuando vibra en un resorte con constante .

a) De la ecuación 2.12 del libro se tiene que:

Entonces:

Dado que buscamos el punto de equilibrio se tiene cuando

luego:

para lo cual necesariamente:

Por lo tanto, el punto de equilibrio es:

b) De la ecuación 2.14 del libro se tiene que:

es decir

Por otra parte sabemos que:

por lo que:

para oscilaciones pequeñas

Entonces:

Finalmente:


Aportación por usuarios: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 02:10 21 feb 2014 (UTC) Cesar Ivan Avila Vasquez (discusión) 17:30 25 Febrero 2014



Solución #2

2.11. A mass moves under a potential $V(x)=V_{0}\cosh(\frac{x}{x_0})$, where $V_0$ y $x_0$ are constants.(a) Find the position of stable equilibruim. (b) Show that the frecuency of small vibrations about this point is the same as it would be if the same mass was vibrating on a spring of stiffness $V_0/x_0^2$


(a) La posición de equilibrio es el punto en el que el potencial tiene un valor mínimo, es decir en el que su derivada es nula.


\begin{eqnarray*} \frac{ \mathrm{d}V(x)}{ \mathrm{d}x} = \frac{V_0}{x_0} \sinh \left(\frac{x}{x_0}\right)=0 \; \Leftrightarrow \; x=0 \, , \, x\in \R \end{eqnarray*}

Por lo que $x=0$ es la posición de equilibrio estable del sistema.


(b) Primero considérese un sistema masa-resorte con $s=V_0/x_0^2$, entonces $\omega_0^2=s/m$, y la frecuencia de tal sistema es


\begin{eqnarray*} \label{1} \nu=\frac{\omega_0}{2 \, \pi}=\frac{1}{2 \, \pi} \sqrt{\frac{s}{m}}=\frac{1}{2 \, \pi} \sqrt{\frac{V_0}{m \, x_0^2}} \qquad\qquad (1) \end{eqnarray*}

Por otra parte, de acuerdo a la ecuación (2.14) de libro (Main, Ian G.,Vibrations and Waves in Physics,1993),para un potencial $V(r)$, $ s \approx \left.\frac{d^2\,V(r)}{d\,r^2}\right|_{x=R}$ válido solo para oscilaciones $|\, \psi (t)\,|$ muy pequeñas, donde $R$ es la posición de equilibrio. Para nuestro potencial $V(x)$ en una dimensión tenemos que:


\begin{eqnarray*} \label{2} s= \left[ \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}x^2}\,V_0 \cosh \left(\frac{x}{x_0} \right) \right]_{x=0}= \left. \frac{V_0}{x_0^2} \cosh \left(\frac{x}{x_0} \right) \right|_{x=0}= \frac{V_0}{x_0^2} \qquad\qquad (2) \end{eqnarray*}

Como $\omega_0=\sqrt{s/m} $ y $\nu=\omega_0 / (2 \, \pi)$ y con $(2)$ obtenemos

\begin{eqnarray*} \label{3} \nu=\frac{\sqrt{s/m}}{2 \, \pi}=\frac{1}{2 \, \pi} \sqrt{\frac{V_0}{m \, x_0^2}}\qquad\qquad (3) \end{eqnarray*}


La ec. $(1)$ muestra la frecuencia de vibración de una masa $m$ debida a un resorte con constante $s=V_0/x_0^2$, mientras que la $(3)$ es la frecuencia de oscilación de una masa debido a un potencial $V(x)$ alrededor de su punto mínimo o punto de equilibrio. Por lo tanto, como las frecuencias $(1)$ y $(3)$ son iguales, el potencial $V(x)=V_{0}\cosh(\frac{x}{x_0})$ es determinado o es equivalente a un sistema de una masa que realiza una vibración mediante $s=V_0/x_0^2$.


Aportación por usuario Adolfo Calderón Alcaraz (discusión) 18:33 17 feb 2015 (CST) --


Problema 2.12

2.12. Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t=0 se libera la masa desde un punto que esta 8 pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 4/3 pie/seg. Determine la ecuación de movimiento.


Transformaremos las unidades







obtenemos esta ecuación


En el desplazamiento inicial y la velocidad se tiene que, y


donde se tiene que


Por lo que la solución general de la ecuación diferencial es



Aplicando las condiciones iniciales x(t) y x'(t) obtenemos que y

por lo tanto la ecuación de movimiento es:



Aportación por usuarios: David Alberto Rojas Solis (discusión) 04:10 6 jul 2013 (CDT), A. Martín R. Rabelo (discusión) 18:12 22 feb 2015 (CST)


Problema II.I

When the electron in a hydrogen atom bound to the nucleus moves a small distance from its equilibrium position, a restoring force per unit distance is given by:

where $r=0.05nm$ may be taken as the radius of the atom. Show that the electron can oscillate with a simple harmonic motion with:

If the electron is forced to vibrate at this frequency, in which region of the electromagnetic spectrum would its radiation be found?:

Traducción

Cuando el electrón en un átomo de hidrógeno ligado al núcleo se mueve una pequeña distancia de su posición de equilibrio, una fuerza restauradora por unidad de distancia está dada por:

donde $r=0.05nm$ puede tomarse como el radio del átomo. Muestre que el electrón puede oscilar en un movimiento armónico simple con:

Si el electrón es forzado a vibrar con ésta frecuencia, ¿en qué región del espectro electromagnético irradia?:


Al ser $s$ la fuerza restauradora por unidad de distancia, tenemos que la ecuación diferencial del oscilador puede escribirse como:

y proponiendo una solución del tipo:

tenemos que:

además:

y sustituyendo en la ecuación diferencial obtenemos:

de donde:

Luego, para obtener el valor de $\omega_0$, sustituimos a $s$:

y si aproximamos:

y lo sustituímos en la ecuación para $\omega_0$:

Por lo que podemos concluír que:

Ahora, obtenemos la frecuencia:

Y como:

Entonces, basados en la clasificación del espectro electromagnético, podemos concluir que el átomo irradia en el ultravioleta extremo.



Resuelto por usuario: Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 15:50 14 feb 2015 (CST)


Comentario por : Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 00:30 23 feb 2015 (CST) Es pura sustitución numérica y formulas, creo que falta mas teoría y planteamiento


Problema II.II

Un circuito $L-C$, que contiene un conductor de $80mH$ y un capacitor de $1.25nF$, oscila con una corriente máxima de $0.75A$.

a) Calcule la carga máxima en el capacitor. b) Calcule la frecuencia de oscilación del circuito.


De la segunda ley de Kirchhoff es posible deducir la ecuación diferencial


Donde representa la carga.

Esta ecuación es de la misma forma que la ecuación “común” de el movimiento armónico

reescribiendo la ecuación (1) tenemos

, de donde se tiene ahora que

análogo a lo hecho cuando se trabajo

con la ecuación (2). De lo anterior se encuentra la solución de la ecuación (3)

Ahora considerando que,

Así que la corriente varía en el tiempo y sera máxima cuando el coeficiente trigonométrico sea 1 y con el valor absoluto queda

de (4) entonces


Resuelto por usuario : Uziel Sanchez Gutierrez (discusión) 01:05 20 feb 2015 (CST)


Comentario por usuario: Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 00:28 23 feb 2015 (CST)entendible


Problema 1.1 del Serwey

Una bola gira en contra de las manecillas del reloj en un circulo de de radio con una rapidez angular constante de en su sombra tiene una coordenada x de y de mueve hacia la derecha.

La bola sobre la tornamesa es una partícula en movimiento circular uniforme su sombra se modela como una partícula en movimiento armónico simple por medio de la ecuación :

a) Determine la coordenada como función del tiempo

Para hallar la ecuación de movimiento tenemos que encontrar la face con las condiciones iniciales dadas

Tenemos :

despejando nos queda

como se mueve de izquierda a derecha en contra del eje polar la fase es negativa nos queda de la siguiente manera

obteniendo la fase la ecuación de movimiento es la siguiente

b) Encuentre las componentes de las velocidades y aceleración de la sombra en cualquier como solo hay movimiento en el eje x solo tenemos componentes en y

derivando la posición con respecto al tiempo obtenemos la velocidad

sacando la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo tenemos

Este problema se aplica para un sistema de una maquina de coser con pedales. El operador pone su pie al pedal lo acciona de atrás hacia adelante esto se toma como un movimiento oscilatorio hace que una rueda grande ala derecha experimente un movimiento circular una banda transfiere el movimiento al mecanismo de la maquina de coser y causa un movimiento oscilatorio ala aguja de coser


Resuelto por usuario: Jose de jesus (discusión) 19:46 25 feb 2015 (CST)jose de jesus Arizpe flores


Problema propuesto de aplicación de circuito RL

Considera el circiito impulsado por una fuerza electromotriz . Encuentra la corriente, el voltaje y la frecuencia angular para la cual es un máximo.


Solución: 

El voltaje a través de cada elemento del circuito es:



Asi, el voltaje disminuye alrededor del circuito y tenemos

esta ecuación es similar a


la cual



y


La solución para la carga esta dada por



y el voltaje a través del inductor es



por tanto


Ahora para encontrar la fracuencia la cual toma maximo, podríamos tomar la derivada con respecto de e igualar el resultado a cero.


Asi se tiene que..



De aquí encontramos que resolviendo para


es la frecuencia buscada.



Resuelto por Hector Resendiz Héctor Reséndiz (discusión) 22:27 25 mar 2015 (CDT) Libro Jerry B. Marion ejercicio 3.19