Vibra: probs c1

De luz-wiki

--Luis Santos (discusión) 00:27 1 feb 2015 (CST)Problemas del capítulo uno [1] mfg-wiki (discusión) 18:42 16 ene 2014 (UTC)

  1. Iain G. Main Vibrations and waves in physics, CUP 3rd. ed. 1994

Problema 1.1

If the system shown in fig 1.1 has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.

Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.

Figura 1.1. (a) The prototype vibrator in equilibrium. (b) The mass is instantaneously displaced a distance to the right of its equilibrium position.
  1. El sistema de la figura 1.1 es perturbado al mover a la masa de su posición de equilibrio, al efectuar esta perturbación el resorte ejerce una fuerza de restauración (opuesta al desplazamiento de la masa) hacia la posición de equilibrio, esto provoca que el sistema varíe armónicamente y tome la forma de una vibración. La masa provoca una aceleración que usando la segunda ley de Newton se ve como sigue:
    donde es el coeficiente de restitución y la aceleración. Dividiendo entre la masa se obtiene
    Donde es la frecuencia angular Entonces la frecuencia angular es:
  2. Este movimiento armónico se repite a sí mismo una cantidad infinita de veces en una secuencia que repite ciclos idénticos cada que el ángulo de fase se incrementa . El número de ciclos por unidad de tiempo se conoce como frecuencia y está dado como sigue:
    Entonces la frecuencia es:
  3. Estos ciclos, es decir cantidades como el desplazamiento, la velocidad y la dirección se repiten cada vez que el ángulo de fase se incrementa , esto sucede cada que es conocido como el período .


--Brenda Pérez Vidal (discusión) 07:10 24 ene 2014 (UTC) --Luis Santos (discusión) 00:27 1 feb 2015 (CST) --Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 22:34 3 feb 2015 (CST) --Pablo (Usuario discusión:Pablo) 17:47 7 feb 2015 (CST)


Problema 1.2

For the same vibrator as in problem 1.1 at time t=0, the mass is observed to be displaced 50 mm to the right of its equilibrium position and to be moving to the right at speed 1.7 m s^-1. Calcule a) the amplitude b) the phase constant c) the energy

Por el mismo vibrador como en el problema 1.1 en el tiempo t = 0 , se observa la masa ser desplazada 50 mm a la derecha de su posición de equilibrio y estar moviéndose hacia la derecha a una velocidad de 1.7 ms^-1 Calcule

a) la amplitud b ) la constante de fase c ) la energía


__________________________________Corrección del ejercicio 1.2___________________________________________

                                      (Luis Santos)

(a) La amplitud

Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple, dada por:

\begin{equation} E=T+V=constante--------(1) \end{equation}


Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial

\begin{equation} E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2}--------(2) \end{equation}


De las condiciones iniciales del problema se conocen

\[ \psi(0)=0.05m \]


\[ \dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1} \]


Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos

\begin{equation} A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s}---------(3) \end{equation}


Sustituyendo los datos en (3)

\[ A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.118Nm}{36Nm{}^{-1}}=0.00327m^{2} \]


\[ A{}_{\psi}=\sqrt{0.00327m^{2}}=0.0571m \] b) El ángulo de fase $\phi$

Ahora consideremos las ecuaciones

\begin{equation} \psi(t)=A{}_{\psi}cos(\omega t+\phi)--------(4) \end{equation}

\begin{equation} \dot{\psi(t)}={-}\omega A{}_{\psi}sin(\omega t+\phi)--------(5) \end{equation}

Dividiende (5)entre (4) y evaluando en t=0

\[ \frac{\dot{\psi(0)}}{\psi (0)}=\frac{{-}\omega A{}_{\psi}sin(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}cos(\omega t+\phi)} =-\omega tg (\omega t+\phi)=\frac{1.7}{.05}=-34 \]


\[ tg (\omega t+\phi)=\frac{34}{\omega}=\frac{-34}{60}=-0.5666 \]

\[ \omega t+\phi=angtg(-0.5666) \] Hay que recordar que estamos evaluando en t=0 por lo que

\[ \phi=angtg(-0.5666) \]

\[ \phi=-0.52rad \]


\[ \phi=30° \] c) La energía

Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)

\begin{equation} E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2} \end{equation}


Entonces,

\[ E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(0.057m)^{2}=0.059J. \]


--Luis Santos (discusión) 11:13 12 feb 2015 (CST) --Luis Santos (discusión) 11:53 12 feb 2015 (CST)

Para la misma vibración que en el problema 1.1 , en el tiempo $t=0$ , se observa la masa a se desplaza $50mm$ a la derecha de su posición de equilibrio y se mueve hacia la derecha a una velocidad de $1.7ms{}^{-1}$. Calcúlese (a) la amplitud, (b) el ángulo de fase, y (c) la energía. (a) La amplitud

Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple, dada por:

\begin{equation} E=T+V=constante \end{equation}


Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial

\begin{equation} E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2} \end{equation}


De las condiciones iniciales del problema se conocen

\[ \psi(0)=0.05m \]


\[ \dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1} \]


Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos

\begin{equation} A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s} \end{equation}


Sustituyendo los datos en (3)

\[ A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.1189Nm}{36Nm{}^{-1}}=3.30277x10^{-3}m^{2} \]


\[ A{}_{\psi}=\sqrt{3.30277x10^{-3}m^{2}}=0.0571m \] b) el ángulo de fase $\phi$

Ahora consideremos la solución

\begin{equation} \psi(t)=A{}_{\psi}sin(\omega t+\phi) \end{equation}


Tenemos todo lo necesario para despejar el ángulo de fase de la ecuación (4)

\[ \psi(0)=(0.0571m)sin\left[\left(60s{}^{-1}\right)(0)+\phi\right]=0.05m \]


\[ \phi=arcosin(\frac{0.05m}{0.0571m})=61.122\text{°} \]


c) La energía

Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)

\begin{equation} E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2} \end{equation}


Entonces,

\[ E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(3.2604x10^{-3}m^{2})=0.0586J. \]


Ejercicio corregido por Maya Velasco, Definitivamente me equivoque al hacer los cálculos numéricos en el cálculo de la amplitud algo que agradezco mucho que mi compañero Luis Velázquez haya notado. Posteriormente revisando la solución que dio mi compañero y la que yo propuse note lo siguiente.

Solución Luis Santos

\[ \psi(t)=A{}_{\psi}cos(\omega t+\phi) \]


Al derivar la expresión anterior obtenemos

\[ \dot{\psi(t)}=-A{}_{\psi}sin(\omega t+\phi) \]


Después mi compañero dividió ambas expresiones de la siguiente manera

\[ \frac{\dot{\psi(t)}}{\psi(t)}=\frac{-A{}_{\psi}\omega sin(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}cos(\omega t+\phi)}=-\omega tan(\omega t+\phi) \]

Posteriormente el ángulo $\phi$ es

\[ \phi=-29.53\text{°}\eqsim-30\text{°} \]


No encuentro otro error en el trabajo de mi compañero a excepción del signo, y después de su revisión sobre mi trabajo pues creo que aparentemente el mio también es correcto pero los valores en el ángulo de fase son diferentes y puedo explicar por que:

Ambas soluciones de la ecuación del oscilador armónico simple son correctas, sin embargo es más común usar la expresión que involucra la función coseno, ahora puedo mostrar que ambas soluciones son equivalentes desfasadas por un cierto ángulo.

Se sabe que la función seno esta desfasada de la función coseno por $\frac{\pi}{2}$ ó 90°, hagamos lo siguiente, a la solución de mi compañero pongamos le el ángulo de fase que calculé yo que es de aproximadamente 61° y restemos le el desfase de los 90° .

\[ \psi(t)=A{}_{\psi}cos(\omega t+61\text{°}-90\text{°}) \]


\[ \psi(t)=A{}_{\psi}cos(\omega t-29\text{°}) \]


Esta es la respuesta de mi compañero que es correcta, entonces podemos concluir que ambos resultados son equivalentes. Si alguien más nota algún otro error mucho les agradeceré que me lo hagan notar, gracias.

Ejercicio resuelto por Rosario Maya. Martes 10 de febrero 2015 --Rosario Maya

Ejercicio corregido por Rosario Maya el 12.02.15 a las 22:56 pm



Problema 1.3

An identical system is set into vibration with the same amplitude as the vibrator in problem 1.2, but with a phase advance of 90°. Calculate (a) the displacement, and (b) the velocity this second vibrator at time t = 0. (c) At what time will it come to rest.

Un sistema idéntico se pone en vibración con la misma amplitud que el vibrador en el problema 1.2, pero con un avance de fase de 90°. Calcule a) el desplazamiento y b) la velocidad de este segundo vibrador en el tiempo t=0. c) ¿A qué hora va a llegar al reposo?

(a)

Tenemos como ecuación de movimiento a: \[ \psi(t)=Acos(\omega t + \phi - \frac{\pi}{2}) \] La cual puede escribise como: \[ \psi(t)=Asin(\omega t + \phi) --------(1)\]


Para t=0 se tiene: \[ \psi(t=0s) = (57mm ) sin(-0.52) =-28mm \] (El signo indica que el desplazamiento es hacia la izquierda)


(b)

Al derivar (1) se tiene la ecuación para la velocidad

\[ \dot{\psi}(t)=A \omega cos(\omega t + \phi) \] Para t=0 \[ \dot{\psi}(t=0)= A\omega cos\phi=(0.057m)(60s^{-1})cos(-0.52) \]

\[ \dot{\psi}(t=0)=3 m s^{-1} \]


(c)

La velocidad del sistema es nula en los extremos, es decir, cuando \[\psi(t)=A\] \[ Asin(\omega t + \phi)=A \] \[ \omega t + \phi = 1.57 \]

\[ t=\frac{1.57-\phi}{\omega}= \frac{1.57+0.52}{60} \] \[ t=35 ms \]


Luis Velázquez (Usuario discusión:Luis Velázquez) 11:23 17 feb 2015 (CST) Pablo (Usuario discusión:Pablo) 19:03 07 feb 2015 (CST) --Luis Santos (discusión) 13:17 12 feb 2015 (CST)


Problema 1.4

El sistema mostrado al principio en la figura podría ser puesto en vibración dándole a la masa un repentino impulso hacia la izquierda; tocándolo por un martillo, por ejemplo. Si la magnitud de el impulso es y es dado al tiempo , encontrar a) la amplitud y b) la fase constante del consecuente movimiento.



Aplicando la segunda Ley de la dinámica se tiene:

\[ m\ddot{\psi}=p_{1}-k\psi \]

Reacomodando términos y dividiendo entre la masa:


\[ \ddot{\psi}+\frac{k}{m} \psi=p_{1} \]


donde: \[w^{2}=\frac{k}{m}\] \[p_{1}=Ft\]

Como se pondra en movimiento con una fuerza que actuara sólo un instante de tiempo, se emplea la función delta de Dirac para describir el impulso, por lo cual la ecuación queda como:


\[ \ddot{\psi}+\omega^{2} \psi=\frac{F}{m}\delta(t-t_0) \]

Aplicando tranformadas de Laplace


\[ \mathcal{L} \lbrace\ddot{x}\rbrace + \omega ^{2} \mathcal {L}\lbrace x \rbrace= \frac{F}{m} \mathcal{L}{\delta\lbrace (t-t_0)}\rbrace \]

\[ s^2 X(s) -sx(0)-\dot {x} (0) + \omega ^2 X(s) = \frac{F}{m}e^{-st_0} \]

Donde \[x(0)=0 \] \[\dot{x}(0)=0\]

Por lo que la ecuación queda como:

\[ X(s) = \frac{F}{m \omega} \frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0}\]



Aplicando ahora la tranfromada inversa \[ \mathcal{L}^{-1} \lbrace X(s)\rbrace = \frac{F}{m \omega}\mathcal{L}^{-1}\lbrace\frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0}\rbrace \]

\[ x(t)=\frac{F}{m\omega}sin(\omega (t-t_0))\mathcal{U}(t-t_0) \]

Ya que \[t_0 =0\] \[ x(t)=\frac{F}{m\omega} sin(\omega t) \mathcal{U}(t) \]

La cual es equivalente a: \[ x(t)=\frac{F}{m \omega} cos(\omega t + \frac{\pi}{2}) \] Al comparar este resultado con \[x(t)=Acos(\omega t + \phi)\] Podemos identificar la amplitud como:

\[ A= \frac{F}{m \omega} \mathcal{U}(t)\] esto es: \[ A= \frac{p}{m \omega} \] y la fase

\[ \phi=\frac{\pi}{2} \]

--Luis Santos (discusión) 01:07 13 feb 2015 (CST)


--Esther Sarai (discusión) 20:27 17 feb 2015 (CST)== Problema 1.5 == The system shown at rest in fig 1.1(a) could be set into motion by giving it an initial displacement $A_{1}$ and an initial velocity $v_{1}$ (both to the right, say). Assuming that the motion is started in this way at time $t=0$, show that the amplitude $A$ and the phase constant $\phi$ are given by:

Figura 1.1. (a) The prototype vibrator in equilibrium. (b) The mass is instantaneously displaced a distance to the right of its equilibrium position.


El sistema en reposo mostrado en la figura 1.1(a) puede ser puesto en movimiento dándole un desplazamiento inicial $A_{1}$ y una velocidad inicial $v_{1}$ (ambos a la derecha). Suponiendo que el movimiento se inicia de esta manera en el momento t=0, mostrar que la amplitud $A$ y la constante de fase $\phi$ están dados por:

\begin{equation} A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}} \end{equation}

\begin{equation} tan\phi=-\frac{v_{1}}{A_{1}\omega_{0}} \end{equation}

Ecuación de Movimiento Armónico Simple:

\begin{equation} \psi(t)=A\cos{(w_{0}t+\Phi)}.....(I) \end{equation}


De acuerdo con la condición inicial del problema $(t=0)$ llamaremos $A_{1}$ al desplazamiento y $v_{1}$ a la velocidad, así obtenemos las siguientes identidades: \begin{equation} A_{1}= A \cos{\phi}.....(1) \end{equation}

\begin{equation} v_{1}=-Aw_{0} sen{\phi}.....(2) \end{equation}

Sabemos que el Movimiento Armónico Simple está descrito por la ecuación $(I)$, es por ello que en el problema podemos utilizar las relaciones (1) y (2) para cumplir el objetivo.

Para mostrar que la amplitud del problema está dado por , elevamos al cuadrado las ecuaciones (1) y (2), obteniendo: \begin{equation} {A_{1}}^2=A^2 \cos^2{ \phi}.....(3) \end{equation}

\begin{equation} {v_{1}}^2=A^2 {w_{0}}^2sen^2{\phi}.....(4) \end{equation}


En (4) dividimos por ${w_{0}}^2$ ambos lados de la ecuación

\begin{equation} \frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}={A}^2 sen^2{\phi}.....(5) \end{equation}

De lo anterior podemos simplificar las ecuaciones (3) y (5), y sumando de la siguiente manera: \begin{equation} {A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 \cos^2{ \phi} + {A}^2 sen^2{\phi}.....(6) \end{equation}


De la ecuación (6) factorizamos $A^2$

\begin{equation} {A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 (\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}).....(7) \end{equation}

Hemos llegado a una identidad trigonométrica básica, la cual está dada por $\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}=1$, de esta identidad sustituiremos la suma de las funciones trigonométricas elevadas al cuadrado por su igualdad, obteniendo:

\begin{equation} {A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2.....(8) \end{equation}

Entonces, sólo despejamos $A$ de la ecuación (8) y tenemos el siguiente resultado: \begin{equation} \boxed{A=[{A_{1}}^2 +(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^\frac{1}{2}}.....(9) \end{equation}

la amplitud Q.E.D.


Para demostrar que el ángulo de fase está dado por $\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}$, primero se toma la ecuación (2) dividiéndola entre $-w_{0}$ para obtener: \begin{equation} -\frac{{v_{1}}}{{w_{0}}}={A}sen{\phi}.....(10) \end{equation}


Ahora se toman las ecuaciones (1) y (10), dividiendo la ecuación (10) entre la ecuación (1) \begin{equation} \frac{A sen{\phi}}{ A \cos{\phi}}=\frac{\frac{-v_{1}}{w_{0}}}{A_{1}}.....(11) \end{equation}

En el bando izquierdo de la ecuación (10) la división de la amplitud $A$ entre la misma amplitud $A$ hacen la unidad y por conocimientos previos sobre trigonometría, sabemos que $\frac{sen{\phi}}{\cos{\phi}}= \tan{\phi}$ y por parte del bando derecho se resuelve la división entre fracciones: \begin{equation} \boxed{\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}}.....(12) \end{equation}

Por lo tanto la ecuación de constante de fase también queda demostrada.

Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 05:59 31 ene 2014 (UTC) Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 11:39 26 ene 2014 (UTC)

--Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 23:11 15 may 2013 (CDT)


Otra forma de hacerlo

Tenemos las funciones que definen al desplazamiento y la velocidad

\[x(t)=C_{1}cos\omega t+ C_{2}sin\omega t \] \[\dot{x}(t)=-C_{1}\omega sin \omega t + C_{2} \omega cos \omega t \]

Entonces tenemos como condiciones inciales \[x(0)=0 \] \[\dot{x}(0)=0\]

Lo que resulta

\[x(0)=C_{1}cos\omega (0) + C_{2}sin\omega (0)= C_{1} cos (0) + C_{2} sin (0) = C_{1} \] \[\dot{x}(0)=-C_{1}\omega sin \omega (0) + C_{2} \omega cos \omega (0) = -C_{1}\omega sin (0) + C_{2}\omega cos (0) = C_2\omega \]


de donde

\[C_{1}= A_{0} \]

\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}} \] Y finalmente se obtiene

\[x(t)= A_{0}cos\omega t + \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}} sen \omega t \] La cual se puede escribir de las siguientes formas

\[x(t)= A sin (\omega + \phi)\] o bien \[x(t)= Acos(\omega - \phi)\]

Esto se demuetra por las siguentes identidaes \[C_{1}cos \omega t + C_{2} sen \omega t = A sen (\omega t+ \phi) = A (sen\omega t cos\phi + sen\phi cos \omega t)= (A cos\phi)sen \omega t + (Asen \phi)cos\omega = (A sen\phi)cos\omega t + (A cos\phi )sen\omega t \]

\[ Asen \phi = C_{1}\] y \[A cos\phi = C_{2}\]

\[ C_{1}^{2} + C_{2}^{2} = A^{2}sen^{2}\phi + A^{2}cos^{2}\phi = A^{2}(sen^{2}\phi + cos^{2}\phi)= A^{2}\]

\[A= \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2}}\] por lo tanto \[\phi = arctan\dfrac{C_{1}}{C_{2}}\]

y como 
\[C_{1}= A_{0}
\]
     

\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}} \] entonces tenemos que


\[A= [A_{0}^{2}+\dfrac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}]^{\dfrac{1}{2}}\] \[ tan\phi = \dfrac{A_{0} \omega}{v_{0}}\] O bien \[ tan\phi = - \dfrac{v_{0}}{A_{0}\omega}\]

--Esther Sarai (discusión) 20:27 17 feb 2015 (CST)Esther Sarai Garcia Gonzalez (UAM-I)

Problema 1.6

Calculate (a) the amplitude, (b) the phase constant, and (c) the complex amplitud, for the vibration by $\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$.

Calcular: a) La amplitud. b) La constante de fase. c) La amplitud compleja para la vibración dada :$\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$.

Solución: (a) Buscaremos una ecuación de la forma $\psi=A_{0}\left(\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)\right)$

Veremos entonces que nuesta vibración dada por $\psi=A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t=\mathit{A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)}$ donde $\mathit{A_{0}}$es la amplitud que queremos encontrar

Desarrollemos entonces el seno $A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)$

Se obtiene entonces que $A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)$

De aqui obtenemos las siguientes dos ecuaciones:

$A=A_{0}\cos\left(\phi\right)$................y le llamaremos (1)

$B=A_{0}\sin\left(\phi\right)$.....a la cual le llameremos (2)

Hagamos entonces $A^{2}+B^{2}=A_{0}^{2}\cos^{2}\left(\phi\right)+A_{0}^{2}\sin^{2}\left(\phi\right)$

Notamos entonces que $A_{0}^{2}=A^{2}+B^{2}$

Por lo tanto $A_{0}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}$

Haciendo la sustitución numérica y las operaciones obtenemos que $A_{0}=19.7mm$

(b) Tomemos nuevamente las ecuaciones (1) y (2) y dividamos

$\frac{B}{A}=\tan\left(\phi\right)$ de donde al hacer un despeje ontenemos que $\phi=\arctan\left(\frac{B}{A}\right)$

Nuevamente se realizan la sustitución y las operaciones y obtenemos que $\phi=\arctan\left(\frac{B}{A}\right)$

Por lo tanto $\phi=59.5$

(c) Debido a la relación matemática que existe entre los números complejos y las vibraciones podemos ver que la amplitud compleja será:

$A_{0}=A+iB=10mm+i(17mm)$

En el enunciado del problema 1.6 lo reescribi en español Israel López (discusión) 21:51 27 ene 2014 (UTC)

Creo que hay un error en las ecuaciones 1 y 2, los valores de A y B estan intercambiados Pérez Córdoba Sabino (discusión) 13:32 17 feb 2014 (UTC)


Problema 1.7

During a vibration with a frecuency of 50 Hz, the displacement is observed to be 30 mm at time t=0, and -14 mm at t=12 ms. Find the complex amplitude. Durante una vibracion con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja


A partir de la expresion para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresion anterior:


desarrollando,


Sean,



Sustituyendo las constantes,


Se toma la siguiente condicion para la ec. (1.2)

Por tanto, es 0.03m.

Ahora, para para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relacion


entonces, .Sustituyendo en la ec. (1.3')





Finalmente, al sustituir en ec. (1.1). La amplitud compleja es:

--Daniela López Martínez (discusión) 18:53 15 may 2013 (CDT)

Fe de erratas. Correcciones sobre el problema 1.7.

En efecto, la frecuencia angular está dada por:


al sustituir las cantidades,


Y, además, haciendo una conversión:



Así, pues, dadas las condiciones iniciales



entonces, tomando la siguiente condicion


se obtiene.



Dado que

por tanto, en la ec. (1.1), resulta:

En el 1.7 realize la traducción Aura Yazmin Bejarano Olvera (discusión)

La solucion a este problema la realice de la siguiente manera: Tenemos que:

\[ \psi(t)=Acos(\omega_{0}t+\phi) \]


\&

\[ \omega_{0}=\nu_{0}2\pi \]


Luego, con las condiciones iniciales $\psi(0s)=x_{1}=30$ mm y $\psi(12ms)=x_{2}=-14$mm tendremos que:

\[ \psi(0s)=x_{1}=Acos(\phi) \]


\[ \psi(0.012s)=x_{2}=Acos(\omega_{0}(12ms)+\phi) \]


\[ x_{2}=Acos(\phi)cos(\omega_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(\omega_{0}(0.012s)) \]


Pero $Acos(\phi)=x_{1}$, asi:

\[ x_{2}=x_{1}cos(2\pi\nu_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(2\pi\nu_{0}(0.012s)) \]


Tenemos tambien que:

\[ cos(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.99 \]


\[ sen(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.06 \]


Asi:

\[ -0.014m=(0.03m)(0.99)-Asen(\phi)(0.06) \]


\[ Asen(\phi)(0.06)=0.029m+0.014m \]


\[ Asen(\phi)=\frac{0.043m}{0.06}=0.071m \]


Por lo cual la amplitud compleja es igual a:

\[ D=0.03m+i0.071m \]


La nueva solucion fue realizada por: Cesar Ivan Avila Vasquez el 19 de Febrero de 2014.



1.7 During a vibration with frequency of $50 Hz$, the displacement is observed to be $30 mm$ at time $t=0$, and $-14 mm$ at $t=12 \, ms$. Find th complex amplitude.


Para empezar tenemos que calcular la frecuencia angular a partir de la frecuencia dada. $$w_0=2 \pi v=2 \pi (50 Hz) =100 \pi \,s^{-1}$$

Luego sabemos que la forma compleja (forma D en el Main, Iain G., Vibrations and Waves in Physics, 1993) es $ \psi (t)=Re[D \, e^{i w_0 t}] $, donde $D=a+i \, b$. Además sabemos dos condiciones iniciales, por lo que podemos determinar dos constantes $a$ y $b$. \begin{equation} \label{1} \psi (0 \, s)=30 \, mm \end{equation} \begin{equation} \label{2} \psi (12 \, ms)= \psi (.012\,s)=-14 \, mm \end{equation}


De la ec. $(1)$ obtenemos la constante $a$. $$\psi (0)=Re[D e^{i w_0 (0)}]=Re[(a+ib) (1)]=30\,mm$$

Evaluando la parte real, entonces... \begin{equation} \label{3} a=30\,mm \end{equation}

Si utilizamos la ec. $(2)$, encontraremos la constante faltante, $b$. $$\psi (.012 \,s)=Re[D \, e^{i (100 \pi \, s^{-1}) (0.012 \, s)}]=-14 \, mm$$ $$Re[(a+ib)(cos(1.2 \pi)+i\,sen(1.2 \pi))]=-14 \, mm$$

De nuevo se evalua la parte real del número complejo y luego se despeja $b$. $$ a \, cos(1.2 \pi)-b \, sen(1.2 \pi)=-14 \, mm $$ $$ b=\frac{14\,mm+(30\,mm)\,cos(1.2 \pi)}{sen(1.2 \pi)} $$ \begin{equation} \label{4} \, b \approx 17.47323498\,mm \end{equation}

Si juntamos $(3)$ y $(4)$, la amplitud compleja es $$D=30\,mm+i\,17.47323498\,mm$$ Y la función es \begin{equation} \label{5} \psi (t)=Re[(30\,mm+i\,17.47323498\,mm)\, e^{i\, (100\pi \,s^{-1}) \, t}] \end{equation}

La comprobación se realiza evaluando la ec. $(5)$ a los tiempos $t=0 \, s$ y $t=0.012 \, s$, lo cual nos da las condiciones iniciales de $(1)$ y $(2)$. $$ \, $$

Solución realizada por: Adolfo Calderón Alcaraz(discusión) el 14 de Febrero de 2014.


Problema 1.8

Calculate the maximum acceleration (in units of $g$) of pickup stylus reproducing a frequency of $16 kHz$, with an amplitude of $0.01mm$.

Calcule la aceleración máxima (en unidades de $g$) de una aguja que reproduce una frecuencia de $16 kHz$, con una amplitud de $0,01 mm$.

El problema nos propociona los siguientes datos: $f =16kHz = 16000Hz$ $A = 0.01mm = 0.00001m$

Resultado:

Sabemos que podemos expresar la frecuencia angular como la frecuencia por $2/pi$: \[ \omega=2\pi f...(1) \]

Ahora sustituimos el valor de la frecuencia($f =16000Hz$) en la ecuación 1:

\[\omega=2\pi(16000Hz)\]

Luego obtenemos una nueva ecuación ya con el valor de $f$ evualado:

\[\omega=32000\pi \frac{rad}{s}\]


\[{\color{black}{\color{blue}\omega=100530.9649\frac{rad}{s}}}...(2)\]

Un dato importante en este momento, es la expresión para la aceleración máxima en el movimiento armónico simple:

\[ \frac{d^2x}{dt^2} = a(t) = -\omega^2x\]

Donde $x$ es la solución para el moviemiento armónico simple ,osea , $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$. El valor de $x$ será máximo cuando el $\cos(\omega t + \phi)=1$ alcance su valor máximo y esto sucede cuando es igual uno. Por tal razón podemos expresar la aceleración máxima como sigue:


\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}\]

Finalmente sustituimos el valos de $\omega$ elevado al cuadrado proveniente de la ecuación 2:

\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =(0.00001m)(100530.9649\frac{rad}{s})^{2}\]

\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =101064.749\frac{m}{s^{2}}\]

Ahora hay que dividir el resultado obtenido en la ecuación 3 entre $g$ para expresarlo en unidades de $g$.Usamos primero:

\[g=9.8\frac{m}{s^2}\]

Y obtenemos la aceleración maxima en unidades de $g$:

\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =10312.729g\]

Pedro Pablo Ramírez Martínez (discusión) 04:51 21 feb 2014 (UTC)


Problema 1.9

1.9.- Un oscilador armónico se compone de una masa de 100 gramos sujeta a un muelle de constante de recuperación de 4 dinas/cm. Se desplaza la masa una distancia de 3 cm. soltando desde el reposo. Calcular: a) la frecuencia propia y el periodo, b) la energía total y c) la velocidad máxima.

$\;$

Se sabe que el bloque fue estirado 3cm, además debido a que se desprecía la fricción entre el bloque y la superficie en la que se encuentra ya sabemos que la amplitud máxima del sistema es de 3cm.

$\;$

Por otro lado, al tratarse de un oscilador armónico simple y al saber que la única fuerza que actuá en la misma línea de acción del movimiento es la fuerza del resorte, entonces tenemos:

\begin{equation} \ddot{x}+\frac{k}{m}x=0 \end{equation}


y al resolver la ecuación diferencial obtenemos como solución

\[ x(t)=ACos(wt)+BSen(wt)\;\;\;\;;\;\;\; w=\sqrt{\frac{k}{m}} \]


Además de las condiciones iniciales tenemos:

$\;$

Cuando $t=0$ la posición inicial es $x(t=0)=3cm$ y cuando $t=0$ la velocidad inicial es $\dot{x}(t=0)=0$

\[ x(t=0)=A=3\;\;\;;\;\;\;\dot{x}(t=0)=B=0 \]


\[ \therefore\;\;\; x(t)=3Cos(wt) \]


de aquí podemos decir que el bloque estará oscilando en $-3\leq x(t)\leq3$ y que la velocidad máxima del bloque es justamente cuando el bloque no esta elongado, es decir cuando $x(t=t_{0})=0$

$\;$

Ahora por otro lado, sabemos que cuando el bloque tiene velocidad máxima justo en ese instante la energía del sistema es en su totalidad energía cinética ya que al no estar el bloque elongado este no tiene energía potencial.

\[ E_{T}=T+U=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}\;\;\quad al\; sustituir\;\; x(t)\;\; y\;\;\dot{x}(t)\;\quad llegamos\; a \]


\begin{equation} E_{T}=\frac{1}{2}kA^{2}\; con\; A=3 \end{equation}


entonces al igualar la energía total con la energá cinética máxima obtenemos la velocidad máxima

\begin{equation} \frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}m\dot{x}_{max}^{2}\Rightarrow\dot{x}_{max}=A\sqrt{\frac{k}{m}} \end{equation}


a) La frecuencia propia esta dada por $f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ y haciendo la conversion correcta al SI tenemos $f=1.59\frac{1}{s}$

y en de forma inmediata el periodo es $T=\frac{1}{f}\;\;\Rightarrow T=0.63s$

b) La energía total del sistema esta dada por $(2)$

\[ E_{T}=4.5\times10^{-3}Joules \]


c) La velocidad máxima que experimenta el bloque esta dada por $(3)$

\[ \dot{x}_{max}=0.3\frac{m}{s} \]

Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 21:59 25 ene 2014 (UTC)



Problema I.I

A piston executes harmonic motion with an amplitude of $0.1m$. If it passes through the center of its motion with a speed of $0.5m/s$, what is the period of oscillation?

Un pistón realiza un movimiento armónico con una amplitud de $0.1m$. Si pasa por el centro de su movimiento con una velocidad de $0.5m/s$, ¿cuál es su periodo de oscilación?.


Sabemos que para el movimiento armónico simple(MAS), podemos proponer una solución del tipo:

por lo que, al derivar la función de posición, obtenemos la velocidad como función del tiempo:

Ahora bien, dadas las condiciones del problema, tenemos que resolver las ecuaciones para la posición y la velocidad de manera simultanea. Por lo tanto, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

y sustituyendo los valores iniciales del problema, tenemos:

Para que se cumpla la primera ecuación, la única posibilidad es que $\cos(\omega t + \phi) = 0$ y para ello, $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$.

Si tomamos ahora la segunda ecuación:

Pero al estar resolviendo un sistema de ecuaciones, debemos considerar la condición de que $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$. Y bajo las condiciones anteriores, $\sin(\omega t + \phi) = \pm 1$, por lo que la segunda ecuación queda como:

Tomando $|\omega|$ y la definición de $T=2\pi / \omega \Rightarrow T = 2\pi / (5s^{-1})$, con lo que tendremos la solución deseada:

Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 13:09 14 feb 2015 (CST)

Problema I.II

A particle undergoes harmonic motion with a frequency of $10$Hz. Find the displacement $\psi$ at any time $t$ for the following initial condition: $t=0$, $\psi=0.25m$, $\dot{\psi}=0.1m/s$.

Una partícula sigue un movimiento armónico con una frecuencia de $10Hz$. Encuentre el desplazamiento $\psi$ para cualquier tiempo $t$ con las condiciones iniciales: $\psi(t=0)=0.25m,\dot{\psi}(t=0)=0.1m/s$.


Proponemos la siguiente solución:

con lo que la velocidad será:

y aplicando las condiciones iniciales y sabiendo que $\omega = 2\pi \nu = 2\pi (10Hz) = 20\pi s^{-1}$ tendremos lo siguiente:

Error al representar (error de sintaxis): \psi(t=0) = A\cos(\phi) = 0.25m \\ \dot{\psi}(t=0) = -(2\pi)(10Hz) A\sin(\phi) = 0.1m/s

Y dividiendo la segunda ecuación entre la primera:

y realizando los cálculos:

Retomando la ecuación para el desplazamiento y el valor de $\phi$:

Por último, tomando de manera conjunta todos los datos encontrados, podemos escribir la ecuación para $\psi(t)$:

Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 13:39 14 feb 2015 (CST)

Solucion vectorial del oscilador armonico del capitulo 1

En esta parte lo que pretendo es llegar a la solucion vectorial del oscilador armonico de la forma


para la ecuacion diferencial de segundo orden



Descomponiendo esta ecuacion en un sistema de ecuaciones de primer orden


(1)


(2)


A este sistema le asociamos una matriz



Los valores propios para esta matriz son



Buscamos ahora los vectores propios para los valores de . De hecho, solo podemos tomar el valor positivo ya que para valor propio complejo su vector propio asociado viene en par conjugado



El vector propio asociado a

es


Entonces formando la matriz



Su inversa de es



Ahora para desacoplar el sistema de ecuaciones (1) y (2) calculamos



Que es una diagonalizacion y


la matriz



la utilizamos para calcular




Esta es la solucion vectorial para la ecuacion



--Héctor Reséndiz (discusión) 22:22 17 feb 2015 (CST)