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Revisión del 14:33 17 feb 2014

Problemas del capítulo uno [1] mfg-wiki (discusión) 18:42 16 ene 2014 (UTC)

  1. Iain G. Main Vibrations and waves in physics, CUP 3rd. ed. 1994

1.1 If the system shown in fig. has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.

Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.

(a) El sistema de la figura 1.1 es perturbado al mover a la masa de su posición de equilibrio, la masa ejerce una fuerza de restauración dirigida hacia la posición de equilibrio, esto provoca que el sistema varíe armónicamente y tome la forma de una vibración. La masa provoca una aceleración que usando la segunda ley de Newton se ve como sigue\[\ddot{\psi}=-s{\psi}\]

Que es una ecuación diferencial de segundo orden (EDO) a la que corresponde una solución de la siguiente forma:

\begin{equation} {F_{s}} = -s {\psi} \end{equation}

Al sustituir la solución en la EDO se obtiene una expresión distinta para la vibración\[\ddot{\psi}-{s \over m}{\psi}\]

Donde \(s \over m\) es la frecuencia angular \(\omega_{0}^2\) . Entonces la frecuencia angular es\[\omega_{0}=\sqrt{s \over m}= \sqrt{36 \over 0.010} = 60 {s^{-1}} \]

(b) Este movimiento armónico se repite a sí mismo una cantidad infinita de veces en una secuencia que repite ciclos idénticos cada que el ángulo de fase se incrementa \( 2 \pi\). El número de ciclos por unidad de tiempo se conoce como frecuencia y está dado como sigue\[\nu_{0}={\omega_{0}\over 2\pi}\]

Entonces la frecuencia es\[\nu_{0}= {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5493 Hz\]

(c) Estos ciclos, es decir cantidades como el desplazamiento, la velocidad y la dirección se repiten cada vez que el ángulo de fase se incrementa \( 2 \pi\) , esto sucede cada \({ 2 \pi}\over \omega_{0} \) que es conocido como el período \(\tau\) .

\(\tau= { 2 \pi \over \omega_{0}}= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10472 \)s

--Brenda Pérez Vidal (discusión) 07:10 24 ene 2014 (UTC)



1.2 For the same vibrator as in problem 1.1 at time $t=0$ the mass is observed to be displaced $50mm$ to the right of it's equilibrium position and to be moving to the right at speed $1.7m/s$. Calculate

Amplitude

Primero, se ocupa la ecución de movimento armonico simple como se muestra a continuacion:

\[ x(t)=A_{x}\sin(\omega t) \]


Donde $x(t)$ es el desplazamiento respecto al tiempo, $A_{x}$ es la amplitud de la onda y $\omega$ es el periodo angular.

Al derivar la ecuacion anterior se obtiene

\[ \dot{x(t)}=A_{x}\omega\cos(\omega t) \]


Para calcular $\omega$ se usa la siguiente relación: \[ \omega^{2}=\frac{k}{m}\,\Leftrightarrow\,\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \]


Donde $k$, es la constante del resorte y $m,$es la masa que se obtiene del problema 1 ($m=0.010kg$).

Al sustituir los datos en la ecuación que describe la velocidad, se obtiene:

\[ v=A_{x}(\sqrt{\frac{k}{m}})\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)\,\Leftrightarrow\, A_{x}=\frac{v}{\sqrt{\frac{k}{m}}\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)}\,\Leftrightarrow\, A_{x}=\frac{1.7m/s}{\sqrt{\frac{36N/m}{0.010kg}}\cos(0)}=0.02m \]


The phase constant

De nuevo, se parte de la ecuación del movimiento armónico simple:

\[ x(t)=A_{x}\sin(\omega t+\phi) \]


Como se conoce la amplitud y el desplazamiento, y se sabe que $t=0$ , se despeja la constante de fase, como se muestra a continuación

\[ \phi=\arccos(\frac{x(t)}{A_{x}})=\arccos\frac{0.05m}{0.02m}=0.40 \]


The beautiful energy

A partir de la relación de conservación de la energía: $E_{i}=E_{f}=U_{i}+K_{i}=U_{f}+K_{f}$, que se expresa de la siguiente manera:

\[ E=\frac{kx^{2}}{2}+\frac{mv^{2}}{2} \]


Como todos esos valores ya son conocidos, el valor de la energía será

\[ E=\frac{36N/m(0.05m)^{2}}{2}+\frac{0.010kg(1.7m/s)^{2}}{2}=0.06J \]


\[ \]

Ana Alarid (discusión) 02:43 30 ene 2014 (UTC)


1.3 An identical system is set into vibration with the same amplitude as the vibrator in problem 1.2, but with a phase advance of 90°. Calculate (a) the displacement, and (b) the phase constant of the ensuing motion.


Un sistema identico se pone en vibracion con la misma Amplitud \(\left(A=0.0576m\right)\) y la Cte de Fase \(\left(\phi=-0.52rad\right)\) del problema 1.2, pero con una fase adelantada de 90°

Calcular: a) El desplazamiento en el instante inicial

\(\psi\left(t\right)=A\cos\left(\omega_{0}t+\phi\right)\)


Ahora se tiene

\(\psi\left(t\right)=A\cos\left(\omega_{0}t+\phi+\frac{\pi}{2}\right)\)


\(\psi_{0}\left(t\right)=A\cos\left(\phi+\frac{\pi}{2}\right)\)

Con \(t=0\)


Entonces \(\psi_{0}=28mm\)


b) La velocidad en \(t=0\)


\(\dot{\psi}\left(t\right)=-A\sin\left(\omega_{0}t+\phi+\frac{\pi}{2}\right)\)


\(\dot{\psi_{0}}=-A\sin\left(+\phi+\frac{\pi}{2}\right)\)


Entonces \(\dot{\psi_{0}}\text{=}-3\frac{m}{s}\) es decir en direccion a la izquierda

c) El tiempo en el que llegara al reposo

\(\dot{\psi(t)}=0\)


Es decir

\(-A\omega_{0}\sin\left(\omega_{0}t+\phi+\frac{\pi}{2}\right)=0\)


\(\sin\left(\omega_{0}t+\phi+\frac{\pi}{2}\right)=0\)


\(\omega_{0}t+\phi+\frac{\pi}{2}=0\)


\(t=\frac{-\phi-\frac{\pi}{2}}{\omega_{0}}\)

Entonces \(t=-0.017s\) Matematicamente \(t=-0.017s\) representa el instante en el cual la masa se encuentra en reposo en el extremo izquierdo \((\psi\left(t\text{}\right)=-A\), antes de iniciar el movimiento). Sea \(t\text{´}\) el instante posterior para el cual la masa se encontrara en reposo en los extremos \(\left(\psi\left(t\text{´}\right)=\pm A\right)\) Asi que\[t\text{´}=t+n\frac{\tau}{2}\]


con \(n=1,2,3,\ldots\) siendo \(\tau\) el periodo


Por lo tanto la masa alcanza el primer extremo \(\left(\psi\left(t\text{´}\right)=A\right)\) cuando \(n=1\) en el instante

\(t\text{´}=t+\frac{\tau}{2}\)


\(t\text{´}=0.033s\)

Mario Moranchel (discusión) 04:11 22 ene 2014 (UTC)



1.4 El sistema mostrado al principio en la figura podría ser puesto en vibración dándole a la masa un repentino impulso hacia la izquierda; tocándolo por un martillo, por ejemplo. Si la magnitud de el impulso es \(p_{1}\) y es dado al tiempo \(t=0\), encontrar a) la amplitud y b) la fase constante del consecuente movimiento.

Vibracion.png

vemos que al pistón se le aplica una fuerza muy grande en magnitud, durante un periodo muy corto de tiempo, esas son las características de la delta de Dirac, por lo que nuestra ecuación del oscilador armónico simple nos queda\[\ddot{\psi}+\frac{k}{m}\psi=\frac{\delta}{m}(t-p_{1})\]


sustituimos a la frecuencia angular y aplicando la transformada de Laplace nos queda


\(\mathcal{L}\{\ddot{\psi}\}+\mathcal{L}\omega^{2}\{\psi\}=\frac{1}{m}\mathcal{L}\{\delta(t-p_{1})\} \)


resolvemos


\(s^{2}Y(s)-sY(0)-Y\text{´}(0)+\omega^{2}Y(s)=\frac{1}{m}\exp(-sp_{1}) \)


despejando a la Y(s)


\(Y(s)=\frac{1}{m}\frac{\exp(-sp_{1})}{s^{2}+\omega^{2}} \)


Aplicamos la transformada inversa y nos queda


\(\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=\frac{1}{m\omega}\mathcal{L}^{-1}\{\frac{\exp(-sp_{1})\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\} \)


\(\psi(t)=\frac{1}{m\omega}\sin(\omega t-p_{1})\vartheta(\omega t-p_{1}) \)


por último identificamos a la amplitud y a la constante de fase


\(A=\frac{1}{m\omega} \)


\(\varphi=p_{1} \)


--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 23:10 20 may 2013 (CDT)


1.5 The system shown at rest in fig 1.1(a) could be set into motion by giving it an initial displacement $A_{1}$ and an initial velocity $v_{1}$ (both to the right, say). Assuming that the motion is started in this way at time $t=0$, show that the amplitude $A$ and the phase constant $\phi$ are given by:

Interpretación del enunciado al español latino

El sistema en reposo mostrado en la figura 1.1(a) puede ser puesto en movimiento dándole un desplazamiento inicial $A_{1}$ y una velocidad inicial $v_{1}$ (ambos a la derecha). Suponiendo que el movimiento se inicia de esta manera en el momento t=0, mostrar que la amplitud $A$ y la constante de fase $\phi$ están dados por:

\begin{equation} A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}} \end{equation}

\begin{equation} tan\phi=-\frac{v_{1}}{A_{1}\omega_{0}} \end{equation}

Ecuación de desplazamiento para el Movimiento Armónico Simple:

\begin{equation} \psi(t)=A\cos{(w_{0}t+\Phi)}.....(I) \end{equation}


De acuerdo con la condición inicial del problema $(t=0)$ llamaremos $A_{1}$ al desplazamiento y $v_{1}$ a la velocidad, así obtenemos las siguientes identidades: \begin{equation} A_{1}= A \cos{\phi}.....(1) \end{equation}

\begin{equation} v_{1}=-Aw_{0} sen{\phi}.....(2) \end{equation}

Teóricamente sabemos que el Movimiento Armónico Simple está descrito por una ecuación de forma semejante a la ecuación $(I)$, es por ello que en el problema podemos utilizar las relaciones (1) y (2) para cumplir el objetivo.

Para mostrar que la amplitud del problema está dado por \(A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}\), elevamos al cuadrado las ecuaciones (1) y (2), obteniendo: \begin{equation} {A_{1}}^2=A^2 \cos^2{ \phi}.....(3) \end{equation}

\begin{equation} {v_{1}}^2=A^2 {w_{0}}^2sen^2{\phi}.....(4) \end{equation}


En (4) dividimos por ${w_{0}}^2$ ambos bandos de la ecuación

\begin{equation} \frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}={A}^2 sen^2{\phi}.....(5) \end{equation}

De lo anterior podemos simplificar las ecuaciones (3) y (5), las sumaremos una con la otra de la siguiente manera: \begin{equation} {A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 \cos^2{ \phi} + {A}^2 sen^2{\phi}.....(6) \end{equation}


De la ecuación (6) factorizamos $A^2$

\begin{equation} {A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 (\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}).....(7) \end{equation}

Hemos llegado a una identidad trigonométrica básica, la cual está dada por $\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}=1$, de esta identidad sustituiremos la suma de las funciones trigonométricas elevadas al cuadrado por su igualdad, obteniendo:

\begin{equation} {A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2.....(8) \end{equation}

Entonces, sólo despejamos $A$ de la ecuación (8) y tenemos el siguiente resultado: \begin{equation} \boxed{A=[{A_{1}}^2 +(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^\frac{1}{2}}.....(9) \end{equation}

\(\therefore\) la amplitud Q.E.D.


Para demostrar que el ángulo de fase está dado por $\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}$, primero se toma la ecuación (2) dividiéndola entre $-w_{0}$ para obtener: \begin{equation} -\frac{{v_{1}}}{{w_{0}}}={A}sen{\phi}.....(10) \end{equation}


Ahora se toman las ecuaciones (1) y (10), dividiendo la ecuación (10) entre la ecuación (1) \begin{equation} \frac{A sen{\phi}}{ A \cos{\phi}}=\frac{\frac{-v_{1}}{w_{0}}}{A_{1}}.....(11) \end{equation}

En el bando izquierdo de la ecuación (10) la división de la amplitud $A$ entre la misma amplitud $A$ hacen la unidad y por conocimientos previos sobre trigonometría, sabemos que $\frac{sen{\phi}}{\cos{\phi}}= \tan{\phi}$ y por parte del bando derecho se resuelve la división entre fracciones: \begin{equation} \boxed{\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}}.....(12) \end{equation}

Por lo tanto la ecuación de constante de fase también queda demostrada.

Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 05:59 31 ene 2014 (UTC) Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 11:39 26 ene 2014 (UTC)

--Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 23:11 15 may 2013 (CDT)


1.6 Calculate (a) the amplitude, (b) the phase constant, and (c) the complex amplitud, for the vibration by $\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$.

Traducción del enunciado: Calcular : a) La amplitud. b) La constante de fase. c) La amplitud compleja para la vibración dada:$\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$.

Solución: (a) Buscaremos una ecuación de la forma $\psi=A_{0}\left(\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)\right)$

Veremos entonces que nuesta vibración dada por $\psi=A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t=\mathit{A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)}$ donde $\mathit{A_{0}}$es la amplitud que queremos encontrar

Desarrollemos entonces el seno $A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)$

Se obtiene entonces que $A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)$

De aqui obtenemos las siguientes dos ecuaciones:

$A=A_{0}\cos\left(\phi\right)$................y le llamaremos (1)

$B=A_{0}\sin\left(\phi\right)$.....a la cual le llameremos (2)

Hagamos entonces $A^{2}+B^{2}=A_{0}^{2}\cos^{2}\left(\phi\right)+A_{0}^{2}\sin^{2}\left(\phi\right)$

Notamos entonces que $A_{0}^{2}=A^{2}+B^{2}$

Por lo tanto $A_{0}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}$

Haciendo la sustitución numérica y las operaciones obtenemos que $A_{0}=19.7mm$

(b) Tomemos nuevamente las ecuaciones (1) y (2) y dividamos

$\frac{B}{A}=\tan\left(\phi\right)$ de donde al hacer un despeje ontenemos que $\phi=\arctan\left(\frac{B}{A}\right)$

Nuevamente se realizan la sustitución y las operaciones y obtenemos que $\phi=\arctan\left(\frac{B}{A}\right)$

Por lo tanto $\phi=59.5$

(c) Debido a la relación matemática que existe entre los números complejos y las vibraciones podemos ver que la amplitud compleja será:

$A_{0}=A+iB=10mm+i(17mm)$

En el enunciado del problema 1.6 lo reescribi en español Israel López (discusión) 21:51 27 ene 2014 (UTC)

Creo que hay un error en las ecuaciones 1 y 2, los valores de A y B estan intercambiados Pérez Córdoba Sabino (discusión) 13:32 17 feb 2014 (UTC)


1.7 During a vibration with a frecuency of 50 Hz, the displacement is observed to be 30 mm at time t=0, and -14 mm at t=12 ms. Find the complex amplitude.

Dada la expresion para hallar la amplitud compleja: traduccion del enunciado :Durante una vibracion con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja

\(D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)........(1.1).\)


A partir de la expresion para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresion anterior\[\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)...............(1.2)\]


desarrollando,

\(\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)....(1.3)\)


Sean, \(C_{1}=Acos(\phi)\)


\(C_{2}=Asen(\phi)\)


Sustituyendo las constantes,

\(\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t).....(1.3')\)


Se toma la siguiente condicion \(\psi_{(0)}=0.03m\) para la ec. (1.2)

\(0.03m=Acos(\phi).... (1.2')\)

Por tanto, \(C{}_{1}\) es 0.03m.

Ahora, para \(\psi_{(0.0012)}=-0.014m\) para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relacion

\(\omega=\upsilon/2\pi\)


entonces, \(\omega=78.53s^{-1}\) .Sustituyendo en la ec. (1.3')

\(-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)\)


\(-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}\)


\(-0.014m=0.002-0.001C_{2}\)


\(C_{2}=34m\)


Finalmente, al sustituir en ec. (1.1). La amplitud compleja es\[D=0.03m-\imath34m\] --Daniela López Martínez (discusión) 18:53 15 may 2013 (CDT)

Fe de erratas. Correcciones sobre el problema 1.7.

En efecto, la frecuencia angular está dada por\[\omega=2\pi\nu\]


al sustituir las cantidades,

\(\omega=134.15Hz\)


Y, además, haciendo una conversión\[1ms=0.001s\]


\(\Rightarrow12ms=0.012s\)


Así, pues, dadas las condiciones iniciales

\(\psi(0)=0.03m\)


\(\Rightarrow Acos\phi=0.03m\)


entonces, tomando la siguiente condicion

\(\psi(0.012)=-0.014m\)


se obtiene.

\(-0.014m=0.03mcos(3.76)+C_{2}sen(3.76)\)


\(-0.014m=0.02+C_{2}0.06\)


\(\Rightarrow C_{2}=-0.56\) Dado que

\(C_{2}=Asen\phi\)

por tanto, en la ec. (1.1), resulta\[D=0.03m-\imath0.56m\] En el 1.7 realize la traducción Aura Yazmin Bejarano Olvera (discusión)


1.8 Calculate the maximum acceleration (in units of g) of pickup stylus reproducing a frequency of 16 kHz, with an amplitude of 0.01mm.

Datos:

f =16kHz = 16000Hz.

A = 0.01mm = 0.00001m.

Resultado\[\omega=2\pi f\]


\(\omega=2\pi(16000Hz)\)


\(\omega=32000\pi \frac{rad}{s}\)


\({\color{black}{\color{blue}\omega=100530.9649\frac{rad}{s}}}\)


\(\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}\)


\(\left\Vert a_{max}\right\Vert =(0.00001m)(100530.9649\frac{rad}{s})^{2}\)


\(\left\Vert a_{max}\right\Vert =101064.749\frac{m}{s^{2}}\) --Letti GZ (discusión) 22:17 4 may 2013 (CDT)

Tu solución está incompleta. Falta dividir el resultado final entre \(g=9.8\frac{m}{s^2}\), pues te piden la aceleración en unidades de \(g\).

--Ernesto (discusión) 16:04 13 may 2013 (CDT)


--mfg-wiki (discusión) 15:07 2 may 2013 (CDT)


1.9.- Un oscilador armónico se compone de una masa de 100 gramos sujeta a un muelle de constante de recuperación de 4 dinas/cm. Se desplaza la masa una distancia de 3 cm. soltando desde el reposo. Calcular: a) la frecuencia propia y el periodo, b) la energía total y c) la velocidad máxima.

$\;$

Se sabe que el bloque fue estirado 3cm, además debido a que se desprecía la fricción entre el bloque y la superficie en la que se encuentra ya sabemos que la amplitud máxima del sistema es de 3cm.

$\;$

Por otro lado, al tratarse de un oscilador armónico simple y al saber que la única fuerza que actuá en la misma línea de acción del movimiento es la fuerza del resorte, entonces tenemos:

\begin{equation} \ddot{x}+\frac{k}{m}x=0 \end{equation}


y al resolver la ecuación diferencial obtenemos como solución

\[ x(t)=ACos(wt)+BSen(wt)\;\;\;\;;\;\;\; w=\sqrt{\frac{k}{m}} \]


Además de las condiciones iniciales tenemos:

$\;$

Cuando $t=0$ la posición inicial es $x(t=0)=3cm$ y cuando $t=0$ la velocidad inicial es $\dot{x}(t=0)=0$

\[ x(t=0)=A=3\;\;\;;\;\;\;\dot{x}(t=0)=B=0 \]


\[ \therefore\;\;\; x(t)=3Cos(wt) \]


de aquí podemos decir que el bloque estará oscilando en $-3\leq x(t)\leq3$ y que la velocidad máxima del bloque es justamente cuando el bloque no esta elongado, es decir cuando $x(t=t_{0})=0$

$\;$

Ahora por otro lado, sabemos que cuando el bloque tiene velocidad máxima justo en ese instante la energía del sistema es en su totalidad energía cinética ya que al no estar el bloque elongado este no tiene energía potencial.

\[ E_{T}=T+U=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}\;\;\quad al\; sustituir\;\; x(t)\;\; y\;\;\dot{x}(t)\;\quad llegamos\; a \]


\begin{equation} E_{T}=\frac{1}{2}kA^{2}\; con\; A=3 \end{equation}


entonces al igualar la energía total con la energá cinética máxima obtenemos la velocidad máxima

\begin{equation} \frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}m\dot{x}_{max}^{2}\Rightarrow\dot{x}_{max}=A\sqrt{\frac{k}{m}} \end{equation}


a) La frecuencia propia esta dada por $f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ y haciendo la conversion correcta al SI tenemos $f=1.59\frac{1}{s}$

y en de forma inmediata el periodo es $T=\frac{1}{f}\;\;\Rightarrow T=0.63s$

b) La energía total del sistema esta dada por $(2)$

\[ E_{T}=4.5\times10^{-3}Joules \]


c) La velocidad máxima que experimenta el bloque esta dada por $(3)$

\[ \dot{x}_{max}=0.3\frac{m}{s} \]

Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 21:59 25 ene 2014 (UTC)