Vibra: probs Finn

EJERCICIO 12.5

Una partícula cuya masa es de 1g vibra con movimiento armónico simple de 2mm de aplitud. Su aceleración en el extremo de su recorrido es de $8*10^{3}ms^{-2}$. Calcula la frecuencia del movimiento y la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio y cuando la elongación es de 1.2 mm. Escribir la ecuación que describe la fuerza en función de la posición y el tiempo.

Solución.

i) Para calcular la frecuencia, se tiene que

\[ m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-kx, \] podemos despejar a k para obtener posteriormente la frecuencia a partir de la frecuencia angular y la masa. Por lo tanto:

\[ k=-\frac{ma}{x}\Rightarrow\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{-\frac{ma}{x}}{m}}=\sqrt{-\frac{a}{x}}=\sqrt{\frac{8*10^{3}{m}{s^{2}}}{2*10^{-3}m}}=2*10^{3}\,{rad}*{s} ^{-1}. \]

Así la frecuencia está dada por

\[ f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{1}{\pi}*10^{3}\,{s}^{-1}. \]

ii) La velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio puede ser calculada a partir de la energía potencial inicial, dado que

\[ E_{P}=\frac{1}{2}kx^{2} \]

y en la posición de equilibrio

\[ E_{P}=E_{k}\Rightarrow\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}, \]

por lo tanto

\[ v_{f}=\sqrt{\frac{kx^{2}}{m}}\Rightarrow v_{f}=\sqrt{\frac{(4*10^{3}{kg}{s^{2}})(2*10^{-3}{m})^{2}}{1*10^{-3}{kg}}}=4{m}{s}. \]

Ahora bien, en la posición cuando la elongación es de 1.2 mm, se tiene que la velocidad se puede observar, simplificando los signos

\[ \frac{1}{2}m(v_{f}^{2}-v_{0}^{2})=-\frac{1}{2}kx_{f}^{2}, \]

se tiene entonces

\[ v_{f}=\sqrt{v_{0}^{2}-\frac{k}{m}x^{2}}=\sqrt{v_{0}^{2}-\omega^{2}x^{2}}=\sqrt{(16{m}{s})^{2}-(2*10^{3}{s^{-1}})^{2}(1.2*10^{-3}{m})^{2}}=3.2\,{m}{s}. \]

iii) Para la ecuación de la fuerza, simplemente se tiene que, dada la función de posición

\[ x=A\sin(\omega t+\alpha)\Rightarrow a=-\omega^{2}A\sin(\omega t+\alpha), \]

por la ecuación de Newton

\[ F=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=m(-\omega^{2}A\sin(\omega t+\alpha))=-kA\sin(\omega t+\alpha). \]

Sustituyendo todos los valores conocidos, concluimos que

\[ F=-8\sin((2*10^{3}{s^{-1}})t+\alpha)\,N. \]

\end{document}