Vibra: oscilador forzado
solución del oscilador forzado sin amortiguamiento y con amortiguamiento y fuerza motriz de un pulso Caso de frecuencias diferentes a continuación, en esta sección,se resuelve el oscilador forzado sin amortiguación sometido a una fuerza motriz senoidal. la ecuación es: y′′+ω0y=F0sin(ωt)(1) y las condiciones iniciales son: y(0)=0 y y′(0)=0. en la primera parte se resuelve para cuando las frecuencias de oscilación de la fuerza motriz y del oscilador no son iguales, para ello se emplea el método de la transformada de Laplace.
Aplicando la transformada de laplace a ambos lados de (1):
s2Y(s)−sy(0)−y′(0)+ω0Y(s)=F0ωs2+ω2(2) sustituyendo condiciones iniciales , simplificando y despejando Y(s) Y(s)=F0(s2+ω20)ω(ω2+s2)(3) y aplicando el método de fracciones parciales a la ecuación (2) F0(s2+ω20)ω(ω2+s2)=As+Bs2+ω2+Cs+Ds2+ω20(4) continuando con el desarrollo del método de fracciones parciales: (As+B)(s2+ω20)+(Cs+D)(s2+ω20)=F0ω(5) se rescribe asi: s3(A+C)+s2(B+D)+s(Aω20+Cω2)+Bω20+Dω2=F0ω(6) Resulta el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas: A+C=0(7) B+D=0(8) Aω20+Cω2=0(9) Bω20+Dω2=0(10) resolviendo simultáneamente para A,B,C,D: A=0,B=−F0ωω2−ω20,C=0 y D=F0ωω2−ω20. Sustituyendo A,B,C,D en (4) y luego en (3): Y(s)=−F0ωω2−ω201s2+ω2+F0ωω2−ω20(ω0ω0)1s2+ω2o(11) Aplicando ahora la transformada inversa de Laplace: y(t)=L−1Y(s), entonces se obtiene: y(t)==−F0ωω2−ω20sinωt+F0ω(ω2−ω20)ω0sinω0t(12) se puede rescribir asi: y(t)=ωF0ω2−ω20(sinω0tω0−sinωtω)(13) esto fue para el caso de frecuencias del oscilador y de la fuerza externa diferentes.
caso de frecuencias casi iguales o iguales Partiendo de la ec (3) pero haciendo ω=ω0: X(s)=ω0F0(s2+ω20)(s2+ω20)(14) por fracciones parciales: ω0F0(s2+ω20)(s2+ω20)=As+Bs2+ω20+Cs+D(s2+ω20)2(15) se puede rescribir así: (As+B)(s2+ω20)+(Cs+D)=F0ω0(16) Efectuando operaciones,desarrollando y factorizando términos: s3A+s2B+s(Aω20+C)+(Bω20+D)=ω0F0(17) Despejando las incógnitas A,B,C,D: A=B=C=0, D=F0ω0 por lo tanto: X(s)=F0ω0(s2+ω20)2(18) pero rescribiendo: F0ω0(s2+ω20)2=F0ω0(s2+ω20)ω0ω0(s2+ω20)(19) Aplicando ahora la transformada inversa de Laplace: x(t)=L−1X(s), entonces se obtiene: X(s)=F0ω0sin(ω0t)sin(ω0t)(20) Aplicando el teorema de la convolución: F0ω0∫t0sinωτsin(t−τ)dτ=F02ω0(sinω0t−ω0tcosω0t)(21) Oscilador amortiguado forzado con fuerza puntual A continuación se resuelve el caso de un Oscilador Amortiguado sometido a una fuerza de un pulso empleando la transformada de Laplace, para ello se hace uso del delta de dirac para modelar la fuerza de un pulso en este caso unitario, posteriormente en el desarrollo del método de Laplace se hace uso del teorema de traslación para pasar del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo. La ecuación general del oscilador amortiguado sometido a la fuerza de un pulso (golpe) unitario es: y"(t)+by′(t)+ω20y(t)=δ(t−a)(22) con las siguientes condiciones iniciales: y′(0)=0, es decir con velocidad inicial cero, y y(0)=0, o sea parte de la posición de equilibrio. Aplicando la transformada de Laplace para la primera y segunda derivada que dice: L(y"(t))=s2Y(s)−sy(0)−y′(0)(23) y L(y′(t))=Y(s)−y(0)(24) y aplicando la transformada de laplace al delta de dirac: L(δ(t−a)=e−sa(25) Aplicando (23) y (24) a (22) simplificando y reescribiendo: Y(s)=e−sa(s2+bs+ω20)(26) Acompletando el binomio cuadrado en el denominador y rescribiendo: Y(s)=e−sa(s+b/2)2+(ω20−b2/4−−−−−−−−√)2(27) Por inspección y aplicando el teorema de la traslación de Laplace a (27): y(t)=H(t−a)sin((ω20−b2/4−−−−−−−−√)(t−a))ω20−b2/4−−−−−−−−√e−b(t−a)/2(28) donde H(t−a) es la función de Heaviside.
En términos físicos,la letra a se refiere a el momento en que se propina el golpe o pulso, a partir de este momento se inicia la perturbación y dado que es un movimiento amortiguado con frecuencia propia de oscilación en algún momento se detendrá el movimiento después de varias oscilaciones.
La letra b se refiere a el coeficiente de fricción en el que está inmerso el oscilador, cuando este numero es cero se trata de un oscilador que oscila libremente por tiempo indefinido.
La letra ω0 se refiere a la frecuencia angular natural propia del oscilador y que en el caso de un resorte oscilador depende del cociente de su constante de rigidez entre su masa.
Archivo:Imagen1 Fig 1
