Valor Principal de Cauchy

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Proposición

Si $f$ es una función analítica en el semiplano superior $Im(z)\geq 0$ excepto en un número finito de puntos $\alpha_1$, $\alpha_2$,...,$\alpha_n$ interiores a dicho semiplano y además


$lím_{R\longrightarrow +\infty}(R*max\lbrace|f(z)|:|z|=R,Im(z)\geq 0\rbrace )=0$,


entonces

$V.P.\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=2\pi i\displaystyle\sum_{k=1}^{n}Res(f,\alpha_k)$.


El cual se conoce como el Valor Principal de Cauchy.


Demostración

Si $R>max\lbrace |\alpha_k|:k=1, 2,...,n\rbrace$, el contorno cerrado $\gamma$ formado por el segmento $[-R, R]$ y por la semicircunferencia $\gamma_R$ de centro en el origen y radio $R$ situada en el semiplano superior encierra todos los puntos $\alpha_1$,...,$\alpha_n$.


VP.png


Del teorema de los residuos,


$\displaystyle\int_{\gamma}f(z)dz=2\pi i\displaystyle\sum_{k=1}^{r}Res(f, \alpha_k)$


y como


$\displaystyle\int_{\gamma}f(z)dz=\displaystyle\int_{-R}^{R}f(x)dx+\displaystyle\int_{\gamma_R}f(z)dz$


resulta entonces


$\displaystyle\int_{-R}^{R}f(x)dx=2\pi i\displaystyle\sum_{k=1}^{r}Res(f, \alpha_k)-\displaystyle\int_{\gamma_R}f(z)dz$.


Ahora bien,


$\displaystyle{|\displaystyle\int_{\gamma_R}f(z)dz|}\leq\displaystyle\int_{\gamma_R}|f(z)||dz|\leq max\lbrace |f(z)|:|z|=R,Im(z)\geq 0\rbrace *\pi R$


luego si $R\longrightarrow \infty$ la integral tiende a cero. Por consiguiente,


$V.P.\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=lím_{R\longrightarrow +\infty}\displaystyle\int_{-R}^{R}f(x)dx=2\pi i\displaystyle\sum_{k=1}^{n}Res(f,\alpha_k)$


conforme queríamos demostrar.