Valor Principal de Cauchy
Proposición
Si $f$ es una función analítica en el semiplano superior $Im(z)\geq 0$ excepto en un número finito de puntos $\alpha_1$, $\alpha_2$,...,$\alpha_n$ interiores a dicho semiplano y además
$lím_{R\longrightarrow +\infty}(R*max\lbrace|f(z)|:|z|=R,Im(z)\geq 0\rbrace )=0$,
entonces
$V.P.\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=2\pi i\displaystyle\sum_{k=1}^{n}Res(f,\alpha_k)$.
El cual se conoce como el Valor Principal de Cauchy.
Demostración
Si $R>max\lbrace |\alpha_k|:k=1, 2,...,n\rbrace$, el contorno cerrado $\gamma$ formado por el segmento $[-R, R]$ y por la semicircunferencia $\gamma_R$ de centro en el origen y radio $R$ situada en el semiplano superior encierra todos los puntos $\alpha_1$,...,$\alpha_n$.
Del teorema de los residuos,
$\displaystyle\int_{\gamma}f(z)dz=2\pi i\displaystyle\sum_{k=1}^{r}Res(f, \alpha_k)$
y como
$\displaystyle\int_{\gamma}f(z)dz=\displaystyle\int_{-R}^{R}f(x)dx+\displaystyle\int_{\gamma_R}f(z)dz$
resulta entonces
$\displaystyle\int_{-R}^{R}f(x)dx=2\pi i\displaystyle\sum_{k=1}^{r}Res(f, \alpha_k)-\displaystyle\int_{\gamma_R}f(z)dz$.
Ahora bien,
$\displaystyle{|\displaystyle\int_{\gamma_R}f(z)dz|}\leq\displaystyle\int_{\gamma_R}|f(z)||dz|\leq max\lbrace |f(z)|:|z|=R,Im(z)\geq 0\rbrace *\pi R$
luego si $R\longrightarrow \infty$ la integral tiende a cero. Por consiguiente,
$V.P.\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=lím_{R\longrightarrow +\infty}\displaystyle\int_{-R}^{R}f(x)dx=2\pi i\displaystyle\sum_{k=1}^{n}Res(f,\alpha_k)$
conforme queríamos demostrar.