Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez

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Bienvenido a Luz-wiki! Esperamos que contribuyas mucho y bien. Probablemente desearás leer las páginas de ayuda. Nuevamente, bienvenido y diviértete! mfg-wiki 01:39 27 sep 2010 (UTC)

Movimiento Circular Uniforme

Soluciones en el eje

Ángulo y velocidad angular

circular

El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene \(2\pi\,\) radianes.

La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo\[ w=\frac{d\varphi}{dt}\]

Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.

Vector de posición

Se considera un sistema de referencia en el plano xy, con vectores unitarios en la dirección de estos ejes \( (\mathbf i, \mathbf j) \). La posición de la partícula en función del ángulo de giro \( \varphi \) y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano xy\[\begin{cases} x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}\]

De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es: \[ \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j \] siendo: \[ \mathbf{r} \; \]: es el vector de posición de la partícula. \[ r \; \]: es el radio de la trayectoria.

Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (ω):

movimiento circular

\(w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt\)

El ángulo (φ), debe medirse en radianes\[\varphi=\frac{s}{r}\]

donde s es la longitud del arco de circunferencia
Según esta definición:

1 vuelta = 360° = 2 π radianes

½ vuelta = 180° = π radianes
¼ de vuelta = 90° = π /2 radianes

Velocidad tangencial

La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación\[v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j\]

en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial

\(\nu=\omega r\)

El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar \(\mathbf r \cdot \mathbf v\) y comprobando que es nulo.

Aceleración

La aceleración se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación:

movimiento circular

\(a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j\)

de modo que

\(a=-\omega^{2}r\)


Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.

El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad \(v\,\) de la partícula, ya que, en virtud de la relación \(v=\omega r\,\), resulta

\(a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}\)

Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.

Movimiento circular y movimiento armónico

En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:

Plantilla:Ecuación{ln(\frac{b}{a})}\)

cable coaxial‎

Y se calcula de la siguiente manera

\(\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau\)

El flujo de \(D\,\!\) fuera de una superficie cerrada \(S\,\!\) \(=\,\!\) Carga libre total encerrada en el intervalo de \(S\,\!\)

La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa \(\epsilon\,\!\). Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga \(\sigma\,\!\) en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio \(a\,\!\), de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria \({Q=2\pi a\sigma}\,\!\). Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia \(r\,\!\) al eje. El flujo \(D\,\!\) fuera de una superficie cilíndrica \(S\,\!\) de radio \(r\,\!\) y longitud igual a un metro es\[\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma\] de donde \(D(r)=\frac{a \sigma}{r}\)

El campo vectorial \(D\,\!\) se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de \(r\,\!\) como

\({D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)\) sustituyendo \(D\,\!(r)\) y despejando \(E(r)\,\!\) tenemos que



\({E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}\)


Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es

cable cilíndrico



\(V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})\)


y la capacitancia por unidad de longitud del cable es


\(C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}\)


Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de \(I\,\!\) amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio \(r\,\!\)


\(\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I\)


Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud \(B\,\!\) del campo depende únicamente de \(r\,\!\), y

Circular


\(\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B\) queda como resultado \(B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}\)


El flujo del campo \(B\,\!\) a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud \(l\,\!\), es



\(l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}\)


y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser \(L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}\)


Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente \(\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}\):


donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por \(\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}\)


La constante \(c\,\!\) es la velocidad de la luz en el vació, y \(\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}\) es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea.

Circular

Podemos calcular la impedancia característica del cable


\(Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})\)


El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que \(\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0\), puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría \(B=0\,\!\) en el exterior.

como es un cable coaxial

EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM)

Figura 1: guía de onda de sección arbitraria

Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según \(z\,\!\)), separando la dependencia con la componente \(z\,\!\) (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasificarse de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos.

En el vacío y en medios ilimitados, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son ondas electromagnéticas transversales, es decir, ambos campos \(\mathbf{E}\) y \(\mathbf{H}\)son perpendiculares a la dirección de propagación (y perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia matemática de las ecuaciones de la divergencia nula \(\nabla \cdot \mathbf{E} =\nabla \cdot \mathbf{H}= 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\) para campos que dependen de una única coordenada (ondas elementales). En la propagación en recintos limitados no es posible describir los campos como funciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno que imponen las fronteras del recinto y entonces existen otras posibilidades, en las cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la dirección de propagación.


Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.

Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.

Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.

Definidas de otro manera:

Convencionalmente se llama,

Modo TEM (Transversal Electromagnético) a la situación donde los campos son ambos transversales a la dirección de propagación

Modo TE (Transversal Eléctrico) cuando sólo el campo eléctrico es transversal

y Modo TM (Transversal Magnético) cuando sólo el campo magnético es transversal.

Modos de propagación de onda

Puede existir propagación TEM en un recinto donde haya conductores internos que permitan líneas transversales de campo eléctrico entre dos conductores, como en la configuración coaxial . Las líneas de campo eléctrico variable en el tiempo llevan a líneas de campo magnético también transversales. Otros sistemas donde se puede tener propagación TEM son las líneas abiertas, como las bifilares y las de microcinta.


Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).


Existe en esta configuración la posibilidad de ondas transversales como en un medio ilimitado. En el modo TEM las componentes longitudinales de los campos son nulas. Para que las componentes transversales no sean también nulas, de las ecuaciones halladas en la sección precedente surge que \(k_t= \sqrt {k^2-k^2_l} \) debe ser también nulo, o sea\[k=k_l\,\!\] . En tal caso queda\[{\nabla^2\mathbf{E}}=0\] y \({\nabla^2\mathbf{H}}=0\)

de manera que los campos transversales (los únicos en este modo) satisfacen la ecuación de Laplace de la (cuasi-)estática que también es solución del problema. Es el caso en que

\(\mathbf{E_z=0}\) y \(\mathbf{H_z=0}\)

Las únicas soluciones no triviales corresponden a

\(K = {\frac{w}{v}}\)

Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in…nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super…cies cilíndricas ya que

\({\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad \)

.

\({\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad \)

.

Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.

Clasificacion de las ondas en modos (TEM)

Ondas o Modos TEM


Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (\(x\,\!\) y \(y\,\!\)) y longitudinal \((z)\,\!\) es separable\[\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z\] en donde \(\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}\) y \(\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}\)

lo cual tenemos \(\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z\)

haremos lo propio para el campo magnético

\(\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z\) en donde \(\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}\) y \(\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}\)

lo cual tenemos \(\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z\)

entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes\[\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\]

\(\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \)

\(\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad \)

\(\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \)

Para las ondas TEM se cumple que \(e_z=0\,\!\) y \(h_z=0\,\!\). Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:

Ecuaciones para el campo eléctrico\[\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 \]

\(k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)\)

\(\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad \)


Ecuaciones para el campo magnético\[\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 \]

\(k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)\)

\(\nabla_T\cdot \mathbf{h_T}(x,y)=0\quad\quad \quad \)

Solución\[\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad \] donde \( \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad \)


\({\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0 \)

.

\(\phi\,\!\) depende de \(S_1\,\!\) y \(S_2\,\!\)

\(k_l\,\!=k\,\! \)

.

de lo cual obtenemos

\(\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} \)

\(\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} \)

\(k_l\,\!=k\,\!\) ya que\(\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}\)


debe satisfacer la siguiente ecuación:

Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos\(\mathbf{E} y \mathbf{H}\) en el dieléctrico que rellena la guía.

\({\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0\)
\({\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0\)

por lo que nos queda:

\(\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\)


\({[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad \)

.

Entonces como conclusión una onda TEM:

Se refiere al proceso de transmisión de ondas electromagnéticas en el cual los vectores eléctricos y magnéticos son perpendiculares siempre, y al derivar estos dos son perpendiculares con el modo de propagación de onda como:

Gráfica y simulación en movimiento de una onda TEM

Otro caso del cable coaxial y ejemplo

Figura 2:como es un cable coaxial

Dado el cable coaxial que se ilustra en la figura 2, interiormente relleno de un dieléctrico ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos se puede obtener a partir de la solución del problema de contorno\[\frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho}\rho \left ( \frac{d\phi}{d\rho}\right) =0\]

\(\phi(a)\,\!= V_0\,\!\quad\quad\quad\quad\quad\quad\) , \(\phi(b)\,\!= 0\,\!\)


La solución de la ecuación anterior es\[\phi(\rho)=A\ln(\rho)+ B \,\!\]


evaluando esta solución en los bordes de nuestro cable coaxial tenemos\[A\ln(a)+ B = V_0\,\!\]

\(A\ln(b)+ B=0 \,\!\)

de donde podemos ver que:

cable coaxial‎
\(A=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\)


\(B=-\frac{V_0ln(b)}{ln(\frac{b}{a})}\)

\( \phi(\rho)=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}(\ln{b}-\ln{\rho}) \,\!\)

y sabemos que\[\mathbf{e_T} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi}} \]

\(=-\frac{d\phi}{d\rho}a_z\)


\(=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho} \,\!\)

sustituyendo esta solución en las ecuaciones siguientes\[\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}{e}^{\mathit{-ikz}} \]

\(\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} \)

y se obtiene:

cable coaxial‎
\(\mathbf{E}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}\)


\(\mathbf{H}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{1}{\eta}\frac{a_\varphi}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}\)


--Antonio de Jesus Jimenez Lopez 09:30 22 jun 2012 (UTC)