Usuario discusión:Sabino

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3.9 A critically damped system is set into motion by displacing the mass a distance $A_{1}$ to the right and then throwing it back towards its equilibrium position with initial speed $\omega _{0}A_{1}$. Show that the resulting motion is given by $\psi (t)=A_{1}\exp(-\omega _{0}t)$

Un sistema críticamente amortiguado se pone en movimiento con un desplazamiento de la masa a una distancia $A_{1}$ a la derecha y luego se lanza hacia su posición de equilibrio con velocidad inicial $\omega _{0}A_{1}$. Demostre que el movimiento resultante está dada por $\psi (t)=A_{1}\exp(-\omega _{0}t)$

De la ecuación 3.19 del libro se tiene que

$\displaystyle {\psi (t)=C_{1}e^{-\omega _{0}t}+c_{2}\omega _{0}te^{-\omega _{0}t}}$

De la condición inicial tenemos que

$\displaystyle {\psi (0)=C_{1}=A_{1}}$

Por lo que la posición queda dada por

$\displaystyle {\psi (t)=A_{1}e^{-\omega _{0}t}+C_{2}\omega _{0}te^{-\omega _{0}t}}$

En consecuencia la velocidad esta determinada por

$\displaystyle {{\dot {\psi }}(t)=-\omega _{0}A_{1}e^{-\omega _{0}t}+C_{2}\omega _{0}e^{-\omega _{0}t}-\omega _{0}^{2}C_{2}te^{-\omega _{0}t}}$

De la segunda condición inicial se tiene que

$\displaystyle {{\dot {\psi }}(0)=-\omega _{0}A_{1}+C_{2}\omega _{0}=-\omega _{0}A_{1}}$

la segunda condición inicial es que la partícula regresa al equilibrio con una rapidez de $\omega _{0}A_{1}$, sin embargo como va hacia la izquierda le ponemos un signo negativo

${\dot {\psi }}(0)=-A_{1}\omega _{0}+B=-\omega _{0}A_{1}$

con lo que tenemos $B=0$

así la solución es

$\psi (t)=A_{1}\exp(-\omega _{0}t)$

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 22:38 2 jul 2013 (CDT)