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3.9 '''A critically damped system is set into motion by displacing the mass a distance <math>A_{1}</math> to the right and then throwing it back towards its equilibrium position with initial speed <math>\omega_{0}A_{1}</math>. Show that the resulting motion is given by <math>\psi(t)=A_{1}\exp(-\omega_{0}t) </math>'''
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Un sistema críticamente amortiguado se pone en movimiento con un desplazamiento de la masa a una distancia <math>A_{1}</math> a la derecha y luego se lanza hacia su posición de equilibrio con velocidad inicial <math>\omega_{0}A_{1}</math>. Demostre que el movimiento resultante está dada por <math>\psi(t)=A_{1}\exp(-\omega_{0}t) </math>
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De la ecuación 3.19 del libro se tiene que
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<math>\displaystyle{\psi(t)=C_{1}e^{-\omega_{0}t}+c_{2}\omega_{0}te^{-\omega_{0}t}}</math>
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De la condición inicial tenemos que
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Por lo que la posición queda dada por
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En consecuencia la velocidad esta determinada por
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<math>\displaystyle{\dot{\psi}(t)=-\omega_{0}A_{1}e^{-\omega_{0}t}+C_{2}\omega_{0}e^{-\omega_{0}t}-\omega_{0}^2C_{2}te^{-\omega_{0}t}}</math>
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De la segunda condición inicial se tiene que
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<math>\displaystyle{\dot{\psi}(0)=-\omega_{0}A_{1}+C_{2}\omega_{0}=-\omega_{0}A_{1}}</math>
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la segunda condición inicial es que la partícula regresa al equilibrio con una rapidez de <math>\omega_{0}A_{1}</math>, sin embargo como va hacia la izquierda le ponemos un signo negativo
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<center><math>\dot{\psi}(0)=-A_{1}\omega_{0}+B=-\omega_{0}A_{1} </math></center>
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con lo que tenemos <math>B=0 </math>
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así la solución es
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<center><math>\psi(t)=A_{1}\exp(-\omega_{0}t) </math></center>
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--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 22:38 2 jul 2013 (CDT)

Revisión del 21:27 19 feb 2014

Bienvenido a Luz-wiki! Esperamos que contribuyas mucho y bien. Probablemente desearás leer las páginas de ayuda. Nuevamente, bienvenido y diviértete! mfg-wiki (discusión) 16:01 10 nov 2012 (UTC)


3.9 A critically damped system is set into motion by displacing the mass a distance \(A_{1}\) to the right and then throwing it back towards its equilibrium position with initial speed \(\omega_{0}A_{1}\). Show that the resulting motion is given by \(\psi(t)=A_{1}\exp(-\omega_{0}t) \)

Un sistema críticamente amortiguado se pone en movimiento con un desplazamiento de la masa a una distancia \(A_{1}\) a la derecha y luego se lanza hacia su posición de equilibrio con velocidad inicial \(\omega_{0}A_{1}\). Demostre que el movimiento resultante está dada por \(\psi(t)=A_{1}\exp(-\omega_{0}t) \)

De la ecuación 3.19 del libro se tiene que

\(\displaystyle{\psi(t)=C_{1}e^{-\omega_{0}t}+c_{2}\omega_{0}te^{-\omega_{0}t}}\)

De la condición inicial tenemos que

\(\displaystyle{\psi(0)=C_{1}=A_{1}}\)

Por lo que la posición queda dada por

\(\displaystyle{\psi(t)=A_{1}e^{-\omega_{0}t}+C_2\omega_{0}te^{-\omega_{0}t}}\)

En consecuencia la velocidad esta determinada por

\(\displaystyle{\dot{\psi}(t)=-\omega_{0}A_{1}e^{-\omega_{0}t}+C_{2}\omega_{0}e^{-\omega_{0}t}-\omega_{0}^2C_{2}te^{-\omega_{0}t}}\)

De la segunda condición inicial se tiene que

\(\displaystyle{\dot{\psi}(0)=-\omega_{0}A_{1}+C_{2}\omega_{0}=-\omega_{0}A_{1}}\)



la segunda condición inicial es que la partícula regresa al equilibrio con una rapidez de \(\omega_{0}A_{1}\), sin embargo como va hacia la izquierda le ponemos un signo negativo

\(\dot{\psi}(0)=-A_{1}\omega_{0}+B=-\omega_{0}A_{1} \)

con lo que tenemos \(B=0 \)

así la solución es

\(\psi(t)=A_{1}\exp(-\omega_{0}t) \)

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 22:38 2 jul 2013 (CDT)