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3.9 '''A critically damped system is set into motion by displacing the mass a distance <math>A_{1}</math> to the right and then throwing it back towards its equilibrium position with initial speed <math>\omega_{0}A_{1}</math>. Show that the resulting motion is given by <math>\psi(t)=A_{1}\exp(-\omega_{0}t) </math>'''
 
 
Un sistema críticamente amortiguado se pone en movimiento con un desplazamiento de la masa a una distancia <math>A_{1}</math> a la derecha y luego se lanza hacia su posición de equilibrio con velocidad inicial <math>\omega_{0}A_{1}</math>. Demostre que el movimiento resultante está dada por <math>\psi(t)=A_{1}\exp(-\omega_{0}t) </math>
 
 
De la ecuación 3.19 del libro se tiene que
 
 
<math>\displaystyle{\psi(t)=C_{1}e^{-\omega_{0}t}+c_{2}\omega_{0}te^{-\omega_{0}t}}</math>
 
 
De la condición inicial tenemos que
 
 
<math>\displaystyle{\psi(0)=C_{1}=A_{1}}</math>
 
 
Por lo que la posición queda dada por
 
 
<math>\displaystyle{\psi(t)=A_{1}e^{-\omega_{0}t}+C_2\omega_{0}te^{-\omega_{0}t}}</math>
 
 
En consecuencia la velocidad esta determinada por
 
 
<math>\displaystyle{\dot{\psi}(t)=-\omega_{0}A_{1}e^{-\omega_{0}t}+C_{2}\omega_{0}e^{-\omega_{0}t}-\omega_{0}^2C_{2}te^{-\omega_{0}t}}</math>
 
 
De la segunda condición inicial se tiene que
 
 
<math>\displaystyle{\dot{\psi}(0)=-\omega_{0}A_{1}+C_{2}\omega_{0}=-\omega_{0}A_{1}}</math>
 
 
 
 
 
 
la segunda condición inicial es que la partícula regresa al equilibrio con una rapidez de <math>\omega_{0}A_{1}</math>, sin embargo como va hacia la izquierda le ponemos un signo negativo
 
 
<center><math>\dot{\psi}(0)=-A_{1}\omega_{0}+B=-\omega_{0}A_{1} </math></center>
 
 
con lo que tenemos <math>B=0 </math>
 
 
así la solución es
 
 
<center><math>\psi(t)=A_{1}\exp(-\omega_{0}t) </math></center>
 
 
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 22:38 2 jul 2013 (CDT)
 

Revisión del 20:33 19 feb 2014

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