Usuario discusión:Luis Antonio

1.1 Demuestre las propiedades del campo C

Los numeros complejos pueden escribirse en pares (x,y) como si fueran números reales, sólo que ahora los ubicaremos en el plano complejo. Así, nuestro eje x será ahora nuestro eje real y nuestros eje y estará determinado por la parte imaginaría de nuestro numero

Una forma de denotar a los números complejos es de la siguiente manera:

                                $Z=(x,y)$.

De tal manera que;

                                $x=ReZ,y=ImZ$.

También Z puede ser representado de la siguiente manera:

                                $z=a+bi$.

A continuación enunciaremos algunas de las propiedas de este campo C.

1. Adición

                                $(a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i$.

2. Sustracción

                                $(a+bi)-(c+di)=a+bi+c+di=(a-c)+(b-d)i$.

3. Multiplicación

                                $(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^{2}=(ac-bd)+(ad+bc)i$.

4. División

                                $(a+bi)/(c+di)=((a+bi)/(c+di))((c-di)/(c-di))=(ac-adi+bci-bdi^{2})/(c^{2}-d^{2}i^{2})$

                                $=(ac+bd+(bc-ad)i)/(c^{2}+d^{2})=((ac+bd)/(c^{2}+d^{2}))+((bc-ad)/(c^{2}+d^{2}))i$

El módulo de un número complejo a+bi está enunciado por;

                                $|a+bi|=((a^{2}+b^{2}))^{1}/2$

Variable Compleja Problema 1.5

1.5 Sean z,w ∈ Ȼ. Demostrar que:

(a)

                             ${\overline {\overline {z}}}=z$

Veamos, sabemos que $z=(a+bi)$, el conjugado de un número complejo es${\overline {z}}=(a-bi)$, por ende nuestro número complejo conjugado tiene a su conjugado ${\overline {\overline {z}}}=(a+bi)$ esto es z.

Por lo tanto nuestra igualdad se cumple se cumple

                             ${\overline {\overline {z}}}=z$.

(b)

                            ${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$.

Sean $z=(a+bi)$; $w=(c+di)$, entonces; ${\overline {z}}=(a-bi),{\overline {w}}=(c-di)$

Veamos

                            $[{\overline {(a+bi)+(c+di)}}]=(a-bi)+(c-di)$

                            $[{\overline {a+bi+c+di}}]=(a-bi)+(c-di)$

                            $[{\overline {a+c+bi+di)}}]=(a-bi)+(c-di)$

                            $[{\overline {(a+c)+(b+d)i}}]=(a-bi)+(c-di)$

                            $(a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)\,\!$

                            $(a+c)+(-b-d)i=(a-bi)+(c-di)\,\!$

                            $a+c-bi-di=(a-bi)+(c-di)\,\!$

(c)

                            $[{\overline {(a+bi)(c+di)}}]=(a-bi)(c-di)$

                            $[{\overline {ac+adi+bci-bd}}]=ac-adi-bci-bd$

Error al representar (error de sintaxis): Escribir la fórmula aquí

                            $[{\overline {(ac-bd)+(ad+bc)i}}]=(ac-bd)-(ad+bc)i$

                            ${(ac-bd)-(ad+bc)i}=(ac-bd)-(ad+bc)i\,\!$

(d)

Si z≠0 entonces, ${\overline {(z^{-}1)}}=({\overline {z}})^{-}1$;

                            ${\overline {(a+bi)^{-}1}}=(a-bi)^{-}1$

                            $[1/({\overline {a+bi}})]=1/(a-bi)$

                            $1/(a-bi)=1/(a-bi)\,\!$

Si z≠0, entonces ${\overline {(w/z)}}={\overline {w}}/{\overline {z}}$

                            ${\overline {(c+di)/(a+bi)}}={\overline {w}}/{\overline {z}}$

                            ${\overline {(c+di)(a+bi)^{-}1}}={\overline {w}}/{\overline {z}}$

                            ${\overline {(c+di)}}.{\overline {(a+bi)^{-}1}}={\overline {w}}/{\overline {z}}$

                            ${\overline {(c+di)}}/{\overline {(a+bi)}}=({\overline {w}}/{\overline {z}}$

                            ${\overline {(w)}}/{\overline {(z)}}=({\overline {w}}/{\overline {z}})$

--Luis Antonio 23:58 25 sep 2012 (UTC)Farfan Altamirano Luis Antonio