Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez

Bienvenido a Luz-wiki! Esperamos que contribuyas mucho y bien. Probablemente desearás leer las páginas de ayuda. Nuevamente, bienvenido y diviértete! mfg-wiki 01:02 10 feb 2012 (UTC)

1.61. Un punto $z_{0}\epsilon \Omega$ se dice que es aislado si existe un disco $B(z_{0};\varepsilon )$ con $\varepsilon >0$, tal que $\Omega \cap B(z_{0};\varepsilon )=\left\{z_{0}\right\}$. Demuestre que si $z_{0}\epsilon \Omega$, entonces $z_{0}$ es un punto aislado o un punto de acumulación de $\Omega$.

En primer lugar supongamos que $z_{0}$ un punto aislado de $\Omega$, por lo que cumple que $\Omega \cap B(z_{0};\varepsilon )=\left\{z_{0}\right\}$, veremos si es un punto de acumulación, entonces $(B(z_{0};\varepsilon )-\left\{z_{0}\right\})$ nos da una bola de radio $\varepsilon$ pero sin su centro ($z_{0}$) y la intersección de $\Omega \cap (B(z_{0};\varepsilon )-\left\{z_{0}\right\})$ nos da necesariamente el vacio pues eliminamos al único elemento de $\Omega$, $z_{0}$. Por lo que nos es punto de acumulación.

Ahora supongamos que $z_{0}$ s un punto de acumulación por lo tanto cumple que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega\cap(B(z_{0};\varepsilon)-\left\{ z_{0}\right\} )\neq\textrm{Ø} veremos si es un punto aislado. Al ver este caso nos percatamos que el caso más extremo es aquel en el que el punto de acumulación está afuera y la bola toca solo un punto frontera de $Omega$ (los demás casos serían más simples de resolver), aquí vemos que $z_{0}$ no se encuentra en $\Omega \cap (B(z_{0};\varepsilon )-\left\{z_{0}\right\})$ solo el punto al que nos referimos anteriormente. Por lo tanto no cumple con ser un punto aislado.

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1.62. Si $z_{0}\epsilon \Omega$ es un punto aislado, demuestre que cualquier función $f:\Omega \rightarrow \mathbb {C}$ es continua en $z_{0}$.

Como es punto aislado cumple con la definición dada en el ejercicio anterior, aplicando la definición de continuidad a los conjuntos vemos para que sea continua la función para el disco abierto $B(f(z_{0});\varepsilon )$ en un plano uv, existe un disco abierto $B(f(z_{0});\delta )$ en el plano de xy, tal que para todo $z\epsilon B(f(z_{0});\delta )\cap \Omega$ se tiene tiene $f(z)\epsilon B(f(z_{0});\varepsilon )$. Lo cual es cierto para un punto aislado ya que bola en el plano xy con radio $\delta$ se interseca con $\Omega$ solamente en $z_{0}$ por definición, para que cumpliera la continuidad ese elemento tiene que dar forzosamente a un punto en $B(f(z_{0});\varepsilon )$ , en este caso es el centro; lo que era de esperarse pues era una condición impuesta al principio. Por lo tanto cualquier función es continua en un punto aislado.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 03:45 29 nov 2012 (CST)

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3.35 muestre que la función u del ejemplo 2.9 no tiene conjugada armónica. Sea $u(x,y)=Log{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

buscamos una función v tal que

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$

por lo que para encontrar la v integramos respecto a y:

$\int {\frac {\partial v}{\partial y}}dy=\int {\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy=\arctan {\frac {y}{x}}$

pero para verificar que es la buena veremos que cumpla con la condición de la segunda ecuación de Cauchy-Riemann

${\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

De igual forma integramos para obtener la v, pero ahora con respecto a x

$\int {\frac {\partial v}{\partial x}}dx=\int {\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dy=\arctan {\frac {x}{y}}$

como vemos los argumentos de la función no son iguales ni tampoco salió el signo negativo, por lo tanto la función no tiene armónica conjugada.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 05:17 29 nov 2012 (CST)