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Problema propuesto cap 6
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Podrías poner de que libro es?
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== Vibra: prob 3.5 cap 3 ==
 
== Vibra: prob 3.5 cap 3 ==

Revisión del 23:17 22 mar 2015

Bienvenido a luz-wiki! Esperamos que contribuyas mucho y bien. Probablemente desearás leer las páginas de ayuda. Nuevamente, bienvenido y diviértete! mfg-wiki (discusión) 14:18 3 feb 2015 (CST)




Problema propuesto cap 6 Podrías poner de que libro es?

--Luis Santos (discusión) 00:17 23 mar 2015 (CDT)



Vibra: prob 3.5 cap 3

Para una vibracion ligeramente amortiguada, muestra que \(\omega_{f}\approx\omega_{0}(1-\frac{1}{8Q^{2}})\)

con la ecuacion diferencial

\(\ddot{\psi}+\gamma\dot{\psi_{2}}+\omega_{0}^{2}\psi_{1}=0........(1)\)

Descomponiendo (1) en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se tiene\[ (2)= \left\{ \begin{array}{lcl} \dot{\psi_{1}}=\psi_{2} \\ & & \\ \dot{\psi_{2}}=-\omega_{0}\psi_{2}-\gamma\psi_{1} \end{array} \right. \]

Le asociamos una matriz A al sistema (2) quedando

\( A = \left( \begin{array}{lcr} 0 & 1 \\ -\omega_{0} & -\gamma \\ \end{array} \right) \)

buscamos los valores propios de A

\(p[\lambda]=\lambda^{2}+\gamma\lambda+\omega_{0}^{2}\)

\(\lambda=-\frac{\lambda\pm\sqrt{\lambda^{2}-4\omega_{0}^{2}}}{2}\)

reescribiendo lo que esta dentro de la raiz

\(\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{4\omega_{0}^{2}}}\)

desarrollando esta raiz cuadrada de un binomio se llega a

\(\omega_{0}(1-{\frac{\gamma^{2}}{8\omega_{0}^{2}}}) =\)

\(\omega_{0}(1-{\frac{1}{8\omega_{0}^{2}\gamma^{-2}}}) =\)

\(\omega_{0}(1-{\frac{1}{8Q^{2}}})\) donde \(Q^{2}=\omega_{0}^{2}\gamma^{-2}\)

Entonces \(\omega_{f}\approx\omega_{0}(1-\frac{1}{8Q^{2}})\)

que es lo que se queria mostrar

--Héctor Reséndiz (discusión) 13:33 15 feb 2015 (CST)Hector Resendiz

Problema 3.8 cap 3

Un sistema de amortiguamiento critico se pone en movimiento con condiciones iniciales

\(\psi(0)=0\)

\(\dot\psi(0)=v_{1}\)

(a) Muestra que el movomiento subsecuente es

\(\psi(t)=v_{1}t\exp{(-\omega_{0}t)}\)

(b) Muestra que el máximo desplazamiento es

\(\frac{v_{1}}{e\omega_{0}}\)

Solucion:

De la solucion general

\(\psi(t)=c_{1}\exp{(-\omega_{0}t)+c_{2}(\omega_{0}t)\exp{(-\omega_{0}t)}} ....(1)\)

Aqui introducimos las condiciones iniciales

\(\psi(0)=c_{1}=0\)


\(\dot\psi(0)=\omega_{0}(-c_{1}+c_{2})=v_{1}\)


como \(c_{1}=0\)


\(c_{2}=\frac{v_{1}}{\omega_{0}}\) y sustituyendo en (1)


\(\psi(t)=c_{2}(\omega_{0}t)\exp{(-\omega_{0})}\) =


\(\frac{v_{1}}{\omega_{0}t}(\omega_{0}t)\exp{(-\omega_{0}t)}\) cancelando \(\omega_{0}\)


\(\psi(t)=v_{1}t\exp{(-\omega_{0}t)}\) que es la expresion buscada


(b)


De la expresion


\(\psi(t)=v_{1}t\exp{(-\omega_{0}t)}\) ...(2)


\(v_{1}t\exp{(-\omega_{0}t)}-tv_{1}\omega_{0}\exp{(-\omega_{0}t)}\) =


\(v_{1}\exp{(-\omega_{0}t)}[1-\omega_{0}t]=0\) =


\(t=\frac{1}{\omega_{0}}\) que es el tiempo de desplazamiento maximo


y sustituyendo en (2)


\(\psi(t)=\frac{v_{1}}{\omega_{0}}\exp{(-\frac{\omega_{0}}{\omega_{0}})}\) =


\(\frac{v_{1}}{\omega_{0}}\exp{(-1)}\)


Finalmente queda


\(\psi(t)=\frac{v_{1}}{\omega_{0}e}\)


Que es el máximo desplazamiento


--Héctor Reséndiz (discusión) 17:14 15 feb 2015 (CST)Hector Resendiz

Vibra cap 1

En esta parte lo que pretendo es llegar a la solucion general vectorial de la forma


\(\psi(t)=e^{At}\) para la ecuacion diferencial de segundo orden


\(\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0\)


Descomponiendo esta ecuacion en un sistema de ecuaciones de primer orden


\(\dot\psi_{1}=\psi_{2}\) (1)


\(\dot\psi_{2}=-\omega_{0}^{2}\psi\) (2)


A este sistema le asociamos una matriz \(A\)


\( A = \left( \begin{array}{lcccl} 0 & 1 \\ -\omega_{0}^{2} & 0 \\ \end{array} \right) \)


Los valores propios para esta matriz son


\(\lambda=\pm\omega_{0}i\)


Buscamos ahora los vectores propios para los valores de \(\lambda\) de hecho solo podemos tomar el valor positivo ya que para valor propio complejo su vector propio asociado viene en par conjugado


\( A = \left( \begin{array}{lcccl} -\omega_{0}i & 1 \\ -\omega_{0}^{2} & -\omega_{0i} \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{lcccl} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \)


El vector propio asociado a

\(\lambda=\omega_{0}i\) es


\(V=\left( \begin{array}{lcccl} 1 \\ \omega_{0}i \\ \end{array} \right)\)

Entonces formando la matriz


\(P=\left( \begin{array}{lcccl} \frac{1}{\omega_{0}} & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right)\)


Su inversa de \(P\) es


\(P^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl} \omega_{0} & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right)\)


Ahora para desacoplar el sistema de ecuaciones (1) y (2) calculamos


\(P^{-1}AP=\left( \begin{array}{lcccl} 0 & -\omega_{0} \\ \omega_{0} & 0 \\ \end{array} \right)\)


la matriz


\(B=e^{0}\left( \begin{array}{lcccl} \cos\omega_{0} & -\sin\omega_{0}t \\ \sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\ \end{array} \right)\)

la utilizamos para calcular


\(e^{At}\)


\(\psi(t)=e^{At}=PBP^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl} \cos\omega_{0} & \frac{1}{\omega_{0}}\sin\omega_{0}t \\ -\omega_{0}\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\ \end{array} \right)\)


Esta es la solucion vectorial para la ecuacion


\(\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0\)


--Héctor Reséndiz (discusión) 20:35 16 feb 2015 (CST)Hector Resendiz


Problema Adicional 5, de vibraciones forzadas. El ejercicio es entendible y sencillo.--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:43 15 mar 2015 (CDT)


Pblomema propuesto de resonancia: el procedimiento es correcto, creo que tu ejercicio esta bien --Rosario Maya (discusión) 01:14 16 mar 2015 (CDT)