Usuario discusión:Héctor Reséndiz

Bienvenido a luz-wiki! Esperamos que contribuyas mucho y bien. Probablemente desearás leer las páginas de ayuda. Nuevamente, bienvenido y diviértete! mfg-wiki (discusión) 14:18 3 feb 2015 (CST)

Vibra: prob 3.5 cap 3

Para una vibracion ligeramente amortiguada, muestra que $\omega _{f}\approx \omega _{0}(1-{\frac {1}{8Q^{2}}})$

con la ecuacion diferencial

${\ddot {\psi }}+\gamma {\dot {\psi _{2}}}+\omega _{0}^{2}\psi _{1}=0........(1)$

Descomponiendo (1) en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se tiene:

$(2)=\left\{{\begin{array}{lcl}{\dot {\psi _{1}}}=\psi _{2}\\&&\\{\dot {\psi _{2}}}=-\omega \psi _{2}-\omega _{0}^{2}\psi _{1}\end{array}}\right.$

Le asociamos una matriz A al sistema (2) quedando

$A=\left({\begin{array}{lcr}0&1\\-\omega _{0}&-\gamma \\\end{array}}\right)$

buscamos los valores propios de A

$p[\lambda ]=\lambda ^{2}+\gamma \lambda +\omega _{0}^{2}$

$\lambda =-{\frac {\lambda \pm {\sqrt {\lambda ^{2}-4\omega _{0}^{2}}}}{2}}$

reescribiendo lo que esta dentro de la raiz

${\sqrt {\omega _{0}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{4\omega _{0}^{2}}}}}$

desarrollando esta raiz cuadrada de un binomio se llega a

$\omega _{0}(1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\omega _{0}^{2}}})=$

$\omega _{0}(1-{\frac {1}{8\omega _{0}^{2}\gamma ^{-2}}})=$

$\omega _{0}(1-{\frac {1}{8Q^{2}}})$ donde $Q^{2}=\omega _{0}^{2}\gamma ^{-2}$

Entonces $\omega _{f}\approx \omega _{0}(1-{\frac {1}{8Q^{2}}})$

que es lo que se queria mostrar

--Héctor Reséndiz (discusión) 13:33 15 feb 2015 (CST)Hector Resendiz

Problema 3.8 cap 3

Un sistema de amortiguamiento critico se pone en movimiento con condiciones iniciales

$\psi (0)=0$

${\dot {\psi }}(0)=v_{1}$

(a) Muestra que el movomiento subsecuente es

$\psi (t)=v_{1}t\exp {(-\omega _{0}t)}$

(b) Muestra que el máximo desplazamiento es

${\frac {v_{1}}{e\omega _{0}}}$

Solucion:

De la solucion general

$\psi (t)=c_{1}\exp {(-\omega _{0}t)+c_{2}(\omega _{0}t)\exp {(-\omega _{0}t)}}....(1)$

Aqui introducimos las condiciones iniciales

$\psi (0)=c_{1}=0$

${\dot {\psi }}(0)=\omega _{0}(-c_{1}+c_{2})=v_{1}$

como $c_{1}=0$

$c_{2}={\frac {v_{1}}{\omega _{0}}}$ y sustituyendo en (1)

$\psi (t)=c_{2}(\omega _{0}t)\exp {(-\omega _{0})}$ =

${\frac {v_{1}}{\omega _{0}t}}(\omega _{0}t)\exp {(-\omega _{0}t)}$ cancelando $\omega _{0}$

$\psi (t)=v_{1}t\exp {(-\omega _{0}t)}$ que es la expresion buscada

(b)

De la expresion

$\psi (t)=v_{1}t\exp {(-\omega _{0}t)}$ ...(2)

$v_{1}t\exp {(-\omega _{0}t)}-tv_{1}\omega _{0}\exp {(-\omega _{0}t)}$ =

$v_{1}\exp {(-\omega _{0}t)}[1-\omega _{0}t]=0$ =

$t={\frac {1}{\omega _{0}}}$ que es el tiempo de desplazamiento maximo

y sustituyendo en (2)

$\psi (t)={\frac {v_{1}}{\omega _{0}}}\exp {(-{\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}}})}$ =

${\frac {v_{1}}{\omega _{0}}}\exp {(-1)}$

Finalmente queda

$\psi (t)={\frac {v_{1}}{\omega _{0}e}}$

Que es el máximo desplazamiento

--Héctor Reséndiz (discusión) 17:14 15 feb 2015 (CST)Hector Resendiz