Usuario discusión:Héctor Reséndiz

Bienvenido a luz-wiki! Esperamos que contribuyas mucho y bien. Probablemente desearás leer las páginas de ayuda. Nuevamente, bienvenido y diviértete! mfg-wiki (discusión) 14:18 3 feb 2015 (CST)

Vibra: prob 3.5 cap 3

Para una vibracion ligeramente amortiguada, muestra que $\omega _{f}\approx \omega _{0}(1-{\frac {1}{8Q^{2}}})$

con la ecuacion diferencial

${\ddot {\psi }}+\gamma {\dot {\psi _{2}}}+\omega _{0}^{2}\psi _{1}=0........(1)$

Descomponiendo (1) en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se tiene:

$(2)=\left\{{\begin{array}{lcl}{\dot {\psi _{1}}}=\psi _{2}\\&&\\{\dot {\psi _{2}}}=-\omega \psi _{2}-\omega _{0}^{2}\psi _{1}\end{array}}\right.$

Le asociamos una matriz A al sistema (2) quedando

$A=\left({\begin{array}{lcr}0&1\\-\omega _{0}&-\gamma \\\end{array}}\right)$

buscamos los valores propios de A

$p[\lambda ]=\lambda ^{2}+\gamma \lambda +\omega _{0}^{2}$

$\lambda =-{\frac {\lambda \pm {\sqrt {\lambda ^{2}-4\omega _{0}^{2}}}}{2}}$

reescribiendo lo que esta dentro de la raiz

${\sqrt {\omega _{0}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{4\omega _{0}^{2}}}}}$

desarrollando esta raiz cuadrada de un binomio se llega a

$\omega _{0}(1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\omega _{0}^{2}}})=$

$\omega _{0}(1-{\frac {1}{8\omega _{0}^{2}\gamma ^{-2}}})=$

$\omega _{0}(1-{\frac {1}{8Q^{2}}})$ donde $Q^{2}=\omega _{0}^{2}\gamma ^{-2}$

Entonces $\omega _{f}\approx \omega _{0}(1-{\frac {1}{8Q^{2}}})$

que es lo que se queria mostrar

--Héctor Reséndiz (discusión) 13:33 15 feb 2015 (CST)Hector Resendiz