Diferencia entre revisiones de «Usuario discusión:Héctor Reséndiz»
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--[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 17:14 15 feb 2015 (CST)Hector Resendiz | --[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 17:14 15 feb 2015 (CST)Hector Resendiz | ||
== Vibra cap 1 == | |||
En esta parte lo que pretendo es llegar a la solucion general vectorial de la forma | |||
<math>\psi(t)=e^{At}</math> para la ecuacion diferencial de segundo orden | |||
<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math> | |||
Descomponiendo esta ecuacion en un sistema de ecuaciones de primer orden | |||
<math>\dot\psi_{1}=\psi_{2}</math> (1) | |||
<math>\dot\psi_{2}=-\omega_{0}^{2}\psi</math> (2) | |||
A este sistema le asociamos una matriz <math>A</math> | |||
<math> | |||
A = \left( \begin{array}{lcccl} | |||
0 & 1 \\ | |||
-\omega_{0}^{2} & 0 \\ | |||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | |||
Los valores propios para esta matriz son | |||
<math>\lambda=\pm\omega_{0}i</math> | |||
Buscamos ahora los vectores propios para los valores de <math>\lambda</math> de hecho | |||
solo podemos tomar el valor positivo ya que para valor propio complejo su vector propio asociado viene en par conjugado | |||
<math> | |||
A = \left( \begin{array}{lcccl} | |||
-\omega_{0}i & 1 \\ | |||
-\omega_{0}^{2} & -\omega_{0i} \\ | |||
\end{array} | |||
\right)= | |||
\left( \begin{array}{lcccl} | |||
0 \\ | |||
0 \\ | |||
\end{array} | |||
\right) | |||
</math> | |||
El vector propio asociado a | |||
<math>\lambda=\omega_{0}i</math> es | |||
<math>V=\left( \begin{array}{lcccl} | |||
1 \\ | |||
\omega_{0}i \\ | |||
\end{array} | |||
\right)</math> | |||
Entonces formando la matriz | |||
<math>P=\left( \begin{array}{lcccl} | |||
\frac{1}{\omega_{0}} & 0 \\ | |||
0 & -1 \\ | |||
\end{array} | |||
\right)</math> | |||
Su inversa de <math>P</math> es | |||
<math>P^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl} | |||
\omega_{0} & 0 \\ | |||
0 & -1 \\ | |||
\end{array} | |||
\right)</math> | |||
Ahora para desacoplar el sistema de ecuaciones (1) y (2) calculamos | |||
<math>P^{-1}AP=\left( \begin{array}{lcccl} | |||
0 & -\omega_{0} \\ | |||
\omega_{0} & 0 \\ | |||
\end{array} | |||
\right)</math> | |||
la matriz | |||
<math>B=e^{0}\left( \begin{array}{lcccl} | |||
\cos\omega_{0} & -\sin\omega_{0}t \\ | |||
\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\ | |||
\end{array} | |||
\right)</math> | |||
la utilizamos para calcular | |||
<math>e^{At}</math> | |||
<math>\psi(t)=e^{At}=PBP^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl} | |||
\cos\omega_{0} & \frac{1}{\omega_{0}}\sin\omega_{0}t \\ | |||
-\omega_{0}\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\ | |||
\end{array} | |||
\right)</math> | |||
Esta es la solucion vectorial para la ecuacion | |||
<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math> |
Revisión del 21:34 16 feb 2015
Bienvenido a luz-wiki! Esperamos que contribuyas mucho y bien. Probablemente desearás leer las páginas de ayuda. Nuevamente, bienvenido y diviértete! mfg-wiki (discusión) 14:18 3 feb 2015 (CST)
Vibra: prob 3.5 cap 3
Para una vibracion ligeramente amortiguada, muestra que
con la ecuacion diferencial
Descomponiendo (1) en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se tiene:
Le asociamos una matriz A al sistema (2) quedando
buscamos los valores propios de A
reescribiendo lo que esta dentro de la raiz
desarrollando esta raiz cuadrada de un binomio se llega a
donde
Entonces
que es lo que se queria mostrar
--Héctor Reséndiz (discusión) 13:33 15 feb 2015 (CST)Hector Resendiz
Problema 3.8 cap 3
Un sistema de amortiguamiento critico se pone en movimiento con condiciones iniciales
(a) Muestra que el movomiento subsecuente es
(b) Muestra que el máximo desplazamiento es
Solucion:
De la solucion general
Aqui introducimos las condiciones iniciales
como
y sustituyendo en (1)
=
cancelando
que es la expresion buscada
(b)
De la expresion
...(2)
=
=
que es el tiempo de desplazamiento maximo
y sustituyendo en (2)
=
Finalmente queda
Que es el máximo desplazamiento
--Héctor Reséndiz (discusión) 17:14 15 feb 2015 (CST)Hector Resendiz
Vibra cap 1
En esta parte lo que pretendo es llegar a la solucion general vectorial de la forma
para la ecuacion diferencial de segundo orden
Descomponiendo esta ecuacion en un sistema de ecuaciones de primer orden
(1)
(2)
A este sistema le asociamos una matriz
Los valores propios para esta matriz son
Buscamos ahora los vectores propios para los valores de de hecho
solo podemos tomar el valor positivo ya que para valor propio complejo su vector propio asociado viene en par conjugado
El vector propio asociado a
es
Entonces formando la matriz
Su inversa de es
Ahora para desacoplar el sistema de ecuaciones (1) y (2) calculamos
la matriz
la utilizamos para calcular
Esta es la solucion vectorial para la ecuacion