Usuario discusión:Cecilia Carrizosa Muñoz

1.5 Sean w,z ∈ C. Demuestre los siguientes incisos:

Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z=a+ib \qquad y \qquad w=c+id entonces:

(1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\overline{z}}=z

Solución:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\overline{z}}=\overline{\overline{(a+ib)}}=\overline{(a-ib)}=a+ib=z

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore \overline{\overline{z}}=z

(2)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}

Solución:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{z+w}=\overline{(a+ib)+(c+id)}=\overline{(a+c)+(b+d)i} = (a+c)-(b+d)i =

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): = (a-bi)+(c-di) = \overline{z}+\overline{w}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}

(3)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{zw}=\overline{z}*\overline{w}

Solución:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{zw}=\overline{(a+ib)(c+id)}= \overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}= (ac-bd)-(ad+bc)i = ac-iad+bd-icd =

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): = ac-iad+i^2bd-icb = a(c-id)-ib(c-id) = (a-ib)(c-id) = \overline{z}*\overline{w}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore \overline{zw}=\overline{z}*\overline{w}

(6)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z\in{R} \Longleftrightarrow \overline{z}=z (es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es igual a su conjugado).

Solución:

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z=a+0i=a , entonces:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{z} = \overline{a+0i} = a-0i = a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore \overline{z}=z

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1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi

(a)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad(3+2i)(5-3i)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad(3+2i)(5-3i) = (3*5)+(2*-3)i = 15-6i

(b)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad(5+7i)-(4-2i)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad(5+7i)-(4-2i) = -20+14i

(c)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad 3i-(-7+2i)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad 3i-(-7+2i) = 7+(3-2)i = 7+i

(d)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 5 + \bigg(\frac{1}{2}-3i\bigg)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 5 + \bigg(\frac{1}{2}-3i\bigg) = \frac{11}{2}-3i

(e)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad (2+3i)(4-2i)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad (2+3i)(4-2i) = 14+8i

(f)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad \frac{3+4i}{5+2i}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{3+4i}{5+2i} = \bigg(\frac{3+4i}{5+2i}\bigg)\bigg(\frac{5-2i}{5-2i}\bigg) = \frac{23+14i}{29} =\frac{23}{29} + \frac{14}{29}i

(g)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{4}{2-3i}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{4}{2-3i}=\frac{4}{2-3i}\bigg(\frac{2+3i}{2+3i}\bigg) = \frac{8+12i}{13} = \frac{8}{13}+\frac{12}{13}i

(h)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{(2+i)(3+2i)}{1-i}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{(2+i)(3+2i)}{1-i} = \frac{4+7i}{1-i} = \frac{4+7i}{1-i}\bigg(\frac{1+i}{1+i}\bigg) = \frac{11+3i}{2} = \frac{11}{2}+\frac{3}{2}i

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1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Sea z\in\mathbb{C} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n\geq2 Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z^n=1

i escribimos en la forma polar

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z^n=r^ne^{in\theta}

Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r^n=1 y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (\exists k\in Z)n\theta=2k\pi

Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r\geq 0 es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \theta es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (\exists k\in Z)\theta=\frac{2k\pi}{n}

Obtenemos que todos los complejos de la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z=e^{i\frac{2k\pi}{n}} son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r\in {0,1,...,n-1),Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k=r+nl con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): l\in Z . Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{i\frac{2k\pi}{n}} = e^{i\frac{2k\pi}{n}+{2l\pi}} = e^{i\frac{2k\pi}{n}}*1 = e^{i\frac{2k\pi}{n}}

Así, todos los posibles valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \theta dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{i\frac{2k\pi}{n}}\qquad (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r=0,1,...,{}\nonumber\\ )

Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z=z_{0}e^{i\frac{2k\pi}{n}} =$cos{\frac {2k\pi }{n}}+isen{\frac {2k\pi }{n}}$ Como multiplicar por w es un giro de amplitud ${\frac {2\pi }{n}}$, deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, $z_{0}$ (con $z_{0}$=1), con giros sucesivos de amplitud ${\frac {2\pi }{n}}$ $\therefore$ cuando $n\geq 3$, corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos $w_{n}=e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}$ vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente

1,$w_{n}$,$w_{n}^{2}$,...,$w_{n}^{n-1}$

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1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado

Demostración

Sea ${\overline {v_{0}}}=(x_{0},y_{0})\in v\qquad$$\therefore \qquad y_{0}>0$ Debemos mostrar que hay una bola abierta $B_{1}({\overline {v_{0}}},v)$ contenida en el plano superior.

Sea ${\overline {v_{0}}}=(x_{0},y_{0})\in V$ se tiene entonces que $y_{0}>0$. Elegimos $r=y_{0}$ consideremos la bola abierta B$_{1}({v_{0}},y_{0})$, sea ${\overline {v}}=(x,y)\in B_{1}({v_{0}},y_{0})$se tiene entonces que $||{\overline {v}}-{\overline {v_{0}}}||<y_{0}$. Es decir $|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<y_{0}$ y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.

Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que $|x-x_{0}|+|y-y_{0}|$=$|x-x_{0}|+|y_{0}|<y_{0}$

Esto es una contradicción.

Supongamos que y<0, entonces $|x-x_{0}|+|y-y_{0}|$=$|x-x_{0}|+(-y)+y_{0}<y_{0}$

Esto es una contradicción

$\therefore \qquad$ $y\geq 0$ y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado

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1.29) Si ${z_{n}}$ es una sucesión convergente en $\mathbb {C}$, demuestre que su límite es único. Si $z_{n}$ y$w_{n}$ son dos sucesiones convergentes, con límites $L_{1}yL_{2}$, respectivamente, demuestre que:

1)La suma de las sucesiones ${a_{n}}+b_{n}$ converge a $L_{1}+L_{2}$

2)El producto de las sucesiones ${a_{n}}b_{n}$converge a $L_{1}L_{2}$

3)El cociente (cuando está definido) de las sucesiones ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ converge a ${\frac {L_{1}}{L_{2}}}siL_{2}\neq 0$

Demostración

Primero demostraremos que el límite es único.

Supongamos que la sucesión $(a_{n})_{n}$ tuviera dos límites distintos, digamos $a\neq b$

Sea $\epsilon ={\frac {|a-b|}{4}}$>0. Entonces, por definición, existen números naturales $n_{1}yn_{2}$ tales que $|a-a_{n}|<\epsilon$ si $n>n_{1}$ y $|b-b_{n}|<\epsilon$ si $n>n_{2}$.

Llamando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\} se debe cumplir que:

$|a-a_{n}|<\epsilon$ si $n>n_{0}$ y $|b-b_{n}|<\epsilon$ si $n>n_{0}$. De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser

$|a-b|=|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}|=\epsilon +\epsilon =2{\frac {|a-b|}{4}}={\frac {|a-b|}{2}}$

$\therefore 1<{\frac {1}{2}}$ es una contradicción, entonces el límite es único.

1)Sea $\epsilon >0$, existen enteros positivos $n_{1}$ y $n_{2}$ tales que $|a-a_{n}|<{\frac {\epsilon }{2}}$ si $n>n_{1}$ y $|b-b_{n}|<{\frac {\epsilon }{2}}$ si $n>n_{2}$.

Tomando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\} se tiene:

$|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}|\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$ para cada $n>n_{0}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})

2) Sea $a_{n}$ una sucesión convergente, entonces existe un $\alpha >0$ t.q. $|a_{n}|<\alpha$ $\forall n\in \mathbb {N}$

Entonces

$|ab-a_{n}b_{n}|=|ab-a_{n}b+a_{n}b-a_{n}b_{n})|=|(a-a_{n})b+(b-b_{n})(a_{n})|\leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})||a_{n}|\leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})|\alpha$

Sin embargo $a=lim_{n}a_{n}{\textrm {y}}b=lim_{n}b_{n},\epsilon >0{\textrm {existen}}n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} \qquad$ tal que

$|a-a_{n}|<{\frac {\epsilon }{2(|b|+1)}}{\textrm {si}}n>n_{1}\qquad y\qquad |b-b_{n}|<{\frac {\epsilon }{2\alpha }}{\textrm {si}}n>n_{2}$

Entonces

$|ab-a_{n}b_{n}|<{\frac {\epsilon }{2(|b|)}}+{\frac {\epsilon \alpha }{2\alpha }}=\epsilon$

tomando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}= máx\{n_{1},n_{2}\} se tiene que Error al representar (error de sintaxis): ab = lím_{n}(a_{n}b_{n})

3)Consideremos una cota inferior para la sucesión $(b_{n})_{n}$ en lugar de una acotación superior.

Puesto que $b\neq$ 0 y |Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): b|=lím_{n}|b_{n}| , sea $\epsilon ={\frac {|b|}{2}}$ existe $n_{1}\in \mathbb {N}$ tal que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}| , para $n>n_{1}$.

Si $n>n_{1}$, obtenemos:

${\bigg |}{\frac {a}{b}}-{\frac {a_{n}}{b_{n}}}{\bigg |}={\frac {|ab_{n}-ba_{n}|}{|b||b_{n}|}}={\frac {|ab_{n}-ab+ab-a_{n}b|}{|b||b_{n}|}}\leq {\frac {|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b||b_{n}|}}\leq {\frac {|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b|\alpha }}$

Sea $\epsilon >0{\textrm {existen}}n_{2},n_{3}\in \mathbb {N} \qquad$tal que:

$|b-b_{n}|<{\frac {\epsilon }{2(|\alpha |+1)}}|b|\alpha {\textrm {si}}n>n_{2}{\textrm {y}}|a-a_{n}|<{\frac {\epsilon }{2|b|}}|a|\alpha {\textrm {si}}n>n_{3}$

Si tomamos $n_{0}:=max\{n,n_{2},n_{3}\}$ debe cumplirse que

${\bigg |}{\frac {a}{b}}-{\frac {a_{n}}{b_{n}}}{\bigg |}\leq {\frac {|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b|\alpha }}<{\frac {\epsilon }{2(|\alpha |+1)}}|\alpha |+{\frac {\epsilon }{2|b|}}|b|<\epsilon$

Para $n>n_{0}$

$\lim _{n\rightarrow 00}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}\qquad b_{n}\neq 0{\textrm {y}}b\neq 0$

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1.69)Sea $d_{c}:\mathbb {C} _{\infty }\times \mathbb {C} _{\infty }\to \mathbb {C} _{\infty }$ la distancia cordal. Demuestre que, en efecto, es una distancia, es decir, satisface las condiciones:

a)$d_{c}(z,w)\geq 0{\textrm {y}}d_{c}(z,w)=0{\textrm {siysolosi}}z=w$

b)$d_{c}(z,w)=d_{c}(w,z)$

c)$d_{c}(z,w)\leq d_{c}(z,u)+d_{c}(u,w){\textrm {,paracualquier}}u\in \mathbb {C} _{\infty }$

Solución:

Para a)

Observemos que a),b),c) no toma valores negativos, entonces:

$0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)$

$\therefore d(x,y)\geq 0$

Para b)

$|d(x,y)-d(y,z)|\leq d(x,z),\qquad \forall x,y,z\in \mathbb {C}$usando b) y c) tenemos que:

$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)=d(x,z)+d(y,z)\Rightarrow d(y,z)-d(x,z)\leq d(x,z)\Rightarrow |d(x,y)-d(y,z)|\leq d(x,z)\forall x,y,z\in \mathbb {C}$

$\therefore d(x,z)=d(y,x)$

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2.4) (Teorema de Rolle) Si $a,b\in \mathbb {R}$ con $a<b$ y $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ es continua, y además es derivable en (a,b), demuestre que si $f(a)=f(b)$, existe un $\xi \in (a,b)$ donde $f$ alcanza su máximo o mínimo.

Demostración:

Como f es continua en [a,b], entonces:

$\exists x_{1},x_{2}\in [a,b]{\textrm {talque}}\forall x\in [a,b]\Rightarrow f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})$

Si $f(x_{1})=f(x)$ entonces $f$ es constante y en este caso cualquier $x_{0}\in (a,b)$ satisface Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f´(x_{0})=0

Si $x_{1}\in \{a,b\}\Rightarrow f(x_{1})=f(a)=f(b)$

pero si: Error al representar (error de sintaxis): f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \Rightarrow f(x_{2})\ne f(a) \land f(x_{2})\ne f(b) \Rightarrow x_{2}\notin \{a,b\} \Rightarrow x_{2}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{2})=0

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_{2}\in \{a,b\} \Rightarrow x_{1}\notin \{a,b\} x_{1}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{1})=0

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2.23) Muestre que la función $f(z)=f(x,y)={\sqrt {|xy|}}$ no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en 0.

Solución:

Tenemos que $u(x,y)={\sqrt {|xy|}},v(x,y)=0$ utilizando la definición de derivada parcial:

$u_{x}(0,0)=\lim _{h\to 0}{\frac {u(h+0,0)-u(0,0)}{h}}=0{\textrm {con}}h\in \mathbb {R}$

Se puede observar que:

$u_{y}(0,0)=0,v_{x}(0,0)=v_{y}(0,0)=0$

$\therefore {\textrm {satisfacenlasecuacionesdeRiemann}}$

Pero si $h=h_{1}+ih_{2}$, entonces:

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {|h_{1}h_{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{2}}}$

Si $h_{2}=h_{1}=0$

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}=0$

Si $h_{1}=h_{2}$

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {|h_{1}h_{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{2}}}=\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {|h_{1}^{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{1}}}=\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {|h_{1}|}{h_{1}+ih_{1}}}={\frac {1}{1+i}}\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {||h_{1}}{h_{1}}}$

entonces: