# Usuario discusión:Cecilia Carrizosa Muñoz

1.5 Sean w,z ∈ C. Demuestre los siguientes incisos:

Sean ${\displaystyle z=a+ib\qquad y\qquad w=c+id}$ entonces:
(1) ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}$
Solución:
${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}={\overline {\overline {(a+ib)}}}={\overline {(a-ib)}}=a+ib=z}$
${\displaystyle \therefore {\overline {\overline {z}}}=z}$
(2)${\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}}$
Solución:
${\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {(a+ib)+(c+id)}}={\overline {(a+c)+(b+d)i}}=(a+c)-(b+d)i=}$
${\displaystyle =(a-bi)+(c-di)={\overline {z}}+{\overline {w}}}$
${\displaystyle \therefore {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}}$
(3)${\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}*{\overline {w}}}$
Solución:
${\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {(a+ib)(c+id)}}={\overline {(ac-bd)+(ad+bc)i}}=(ac-bd)-(ad+bc)i=ac-iad+bd-icd=}$
${\displaystyle =ac-iad+i^{2}bd-icb=a(c-id)-ib(c-id)=(a-ib)(c-id)={\overline {z}}*{\overline {w}}}$
${\displaystyle \therefore {\overline {zw}}={\overline {z}}*{\overline {w}}}$
(6)${\displaystyle z\in {R}\Longleftrightarrow {\overline {z}}=z}$ (es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es igual a su conjugado).
Solución:
Sea ${\displaystyle z=a+0i=a}$, entonces:
${\displaystyle {\overline {z}}={\overline {a+0i}}=a-0i=a}$
${\displaystyle \therefore {\overline {z}}=z}$

1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi

(a)${\displaystyle \qquad (3+2i)(5-3i)}$
${\displaystyle \qquad (3+2i)(5-3i)=(3*5)+(2*-3)i=15-6i}$

(b)${\displaystyle \qquad (5+7i)-(4-2i)}$
${\displaystyle \qquad (5+7i)-(4-2i)=-20+14i}$

(c)${\displaystyle \qquad 3i-(-7+2i)}$
${\displaystyle \qquad 3i-(-7+2i)=7+(3-2)i=7+i}$

(d)${\displaystyle 5+{\bigg (}{\frac {1}{2}}-3i{\bigg )}}$
${\displaystyle 5+{\bigg (}{\frac {1}{2}}-3i{\bigg )}={\frac {11}{2}}-3i}$

(e)${\displaystyle \qquad (2+3i)(4-2i)}$
${\displaystyle \qquad (2+3i)(4-2i)=14+8i}$

(f)${\displaystyle \qquad {\frac {3+4i}{5+2i}}}$
${\displaystyle {\frac {3+4i}{5+2i}}={\bigg (}{\frac {3+4i}{5+2i}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {5-2i}{5-2i}}{\bigg )}={\frac {23+14i}{29}}={\frac {23}{29}}+{\frac {14}{29}}i}$

(g)${\displaystyle {\frac {4}{2-3i}}}$
${\displaystyle {\frac {4}{2-3i}}={\frac {4}{2-3i}}{\bigg (}{\frac {2+3i}{2+3i}}{\bigg )}={\frac {8+12i}{13}}={\frac {8}{13}}+{\frac {12}{13}}i}$

(h)${\displaystyle {\frac {(2+i)(3+2i)}{1-i}}}$
${\displaystyle {\frac {(2+i)(3+2i)}{1-i}}={\frac {4+7i}{1-i}}={\frac {4+7i}{1-i}}{\bigg (}{\frac {1+i}{1+i}}{\bigg )}={\frac {11+3i}{2}}={\frac {11}{2}}+{\frac {3}{2}}i}$

1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1

${\displaystyle Seaz\in \mathbb {C} }$ y ${\displaystyle n\geq 2}$ Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si

${\displaystyle z^{n}=1}$

i escribimos en la forma polar

${\displaystyle z^{n}=r^{n}e^{in\theta }}$

Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse

${\displaystyle r^{n}=1}$ y ${\displaystyle (\exists k\in Z)n\theta =2k\pi }$

Como ${\displaystyle r\geq 0}$ es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre ${\displaystyle \theta }$ es:

${\displaystyle (\exists k\in Z)\theta ={\frac {2k\pi }{n}}}$

Obtenemos que todos los complejos de la forma ${\displaystyle z=e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}}$ son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos ${\displaystyle r\in }$ {0,1,...,n-1),${\displaystyle k=r+nl}$ con ${\displaystyle l\in Z}$. Entonces

${\displaystyle e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}=e^{i{\frac {2k\pi }{n}}+{2l\pi }}=e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}*1=e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}}$

Así, todos los posibles valores de ${\displaystyle \theta }$ dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son

${\displaystyle e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}\qquad }$ (Error al representar (función desconocida «\nonumber»): r=0,1,...,{}\nonumber\\ )

Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma ${\displaystyle z=z_{0}e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}}$=${\displaystyle cos{\frac {2k\pi }{n}}+isen{\frac {2k\pi }{n}}}$ Como multiplicar por w es un giro de amplitud ${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$, deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, ${\displaystyle z_{0}}$ (con ${\displaystyle z_{0}}$=1), con giros sucesivos de amplitud ${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$ ${\displaystyle \therefore }$ cuando ${\displaystyle n\geq 3}$, corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos ${\displaystyle w_{n}=e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}}$ vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente

1,${\displaystyle w_{n}}$,${\displaystyle w_{n}^{2}}$,...,${\displaystyle w_{n}^{n-1}}$

Demostración

Sea ${\displaystyle {\overline {v_{0}}}=(x_{0},y_{0})\in v\qquad }$${\displaystyle \therefore \qquad y_{0}>0}$ Debemos mostrar que hay una bola abierta ${\displaystyle B_{1}({\overline {v_{0}}},v)}$ contenida en el plano superior.

Sea ${\displaystyle {\overline {v_{0}}}=(x_{0},y_{0})\in V}$ se tiene entonces que ${\displaystyle y_{0}>0}$. Elegimos ${\displaystyle r=y_{0}}$ consideremos la bola abierta B${\displaystyle _{1}({v_{0}},y_{0})}$, sea ${\displaystyle {\overline {v}}=(x,y)\in B_{1}({v_{0}},y_{0})}$se tiene entonces que ${\displaystyle ||{\overline {v}}-{\overline {v_{0}}}||. Es decir ${\displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}| y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.

Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que ${\displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|}$=${\displaystyle |x-x_{0}|+|y_{0}|

Supongamos que y<0, entonces ${\displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|}$=${\displaystyle |x-x_{0}|+(-y)+y_{0}

${\displaystyle \therefore \qquad }$ ${\displaystyle y\geq 0}$ y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado

1.29) Si ${\displaystyle {z_{n}}}$ es una sucesión convergente en ${\displaystyle \mathbb {C} }$, demuestre que su límite es único. Si ${\displaystyle z_{n}}$ y${\displaystyle w_{n}}$ son dos sucesiones convergentes, con límites ${\displaystyle L_{1}yL_{2}}$, respectivamente, demuestre que: 1) La suma de las sucesiones ${\displaystyle {a_{n}}+b_{n}}$ converge a ${\displaystyle L_{1}+L_{2}}$ 2) El producto de las sucesiones ${\displaystyle {a_{n}}b_{n}}$converge a ${\displaystyle L_{1}L_{2}}$ 3)El cociente de las sucesiones $\displaystyle {{\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ converge a $\displaystyle {\frac{L_{1}}{L_{2}}$

Demostración

Primero demostraremos que el límite es único. Supongamos que la sucesión ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$ tuviera dos límites distintos, digamos ${\displaystyle a\neq b}$.

Sea ${\displaystyle \epsilon ={\frac {|a-b|}{4}}}$>0. Entonces, por definición, existen números naturales ${\displaystyle n_{1}yn_{2}}$ tales que ${\displaystyle |a-a_{n}|<\epsilon }$ si ${\displaystyle n>n_{1}}$ y ${\displaystyle |b-b_{n}|<\epsilon }$ si ${\displaystyle n>n_{2}}$. Llamando $0}=máx{n_{1},n_{2}$ se debe cumplir que: ${\displaystyle |a-a_{n}|<\epsilon }$ si ${\displaystyle n>n_{0}}$ y ${\displaystyle |b-b_{n}|<\epsilon }$ si ${\displaystyle n>n_{0}}$. De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser ${\displaystyle |a-b|=|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}|}$ < ${\displaystyle \epsilon +\epsilon =2{\frac {|a-b|}{4}}={\frac {|a-b|}{2}}}$ ${\displaystyle \therefore \qquad }$ ${\displaystyle 1<{\frac {1}{2}}}$ es una contradicción, entonces el límite es único.

1) Sea ${\displaystyle \epsilon >0}$, existen enteros positivos ${\displaystyle n_{1}}$ y ${\displaystyle n_{2}}$tales que. ${\displaystyle |a-a_{n}|<{\frac {\epsilon }{2}}}$ si ${\displaystyle n>n_{1}}$ y ${\displaystyle |b-b_{n}|<{\frac {\epsilon }{2}}}$ si ${\displaystyle n>n_{2}}$. Tomando $0}=máxn_{1},n_{2$ se tiene:

${\displaystyle |(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}|}$ ${\displaystyle \leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}}$=${\displaystyle \epsilon }$ para cada ${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle \therefore \qquad }$ $n}(a_{n}+b_{n$

2) Sea ${\displaystyle a_{n}}$ una sucesión convergente, entonces existe un ${\displaystyle \alpha >0}$ t.q. ${\displaystyle |a_{n}|<\alpha }$ ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {n} }$ Entonces ${\displaystyle |ab-a_{n}b_{n}|=|ab-a_{n}b+a_{n}b-a_{n}b_{n})|=|(a-a_{n})b+(b-b_{n})(a_{n})|\leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})||a_{n}|\leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})|\alpha }$ Sin embargo a=${\displaystyle lim_{n}a_{n}}$ y b=${\displaystyle lim_{n}b_{n}}$, ${\displaystyle \epsilon }$ >0, existen ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} }$ t.q. <${\displaystyle |a-a_{n}|<{\frac {\epsilon }{2(|b|+1)}}}$ si ${\displaystyle n>n_{1}}$ y ${\displaystyle |b-b_{n}|<{\frac {\epsilon }{2\alpha }}}$ si ${\displaystyle n>n_{2}}$

Entonces ${\displaystyle |ab-a_{n}b_{n}|<{\frac {\epsilon }{2(|b|)}}+{\frac {\epsilon \alpha }{2\alpha }}=\epsilon }$

tomando $0}=máxn_{1},n_{2$ se tiene que $n}(a_{n}b_{n$

3)Consideremos una cota inferior para la sucesión (b_{n})_{n} en lugar de una acotación superior. Puesto que ${\displaystyle b\neq }$ 0 y |$n}|b_{n$ , sea ${\displaystyle \epsilon ={\frac {|b|}{2}}}$ existe ${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} }$ t.q. $\frac{|b|}{2}}<|b_{n$ , para ${\displaystyle n>n_{1}}$. Si ${\displaystyle n>n_{1}}$, obtenemos ${\displaystyle |{\frac {a}{b}}-{\frac {a_{n}}{b_{n}}}|}$=${\displaystyle |{\frac {ab_{n}-ba_{n}}{bb_{n}}}|}$ ={\frac{|ab_{n}-ab+ab-a_{n}b|}{|b||b_{n}}