Usuario discusión:Cecilia Carrizosa Muñoz

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1.5 Sean w,z ∈ C. Demuestre los siguientes incisos:

Sean \(z=a+ib \qquad y \qquad w=c+id\) entonces:
(1) \(\overline{\overline{z}}=z\)
Solución:
\[\overline{\overline{z}}=\overline{\overline{(a+ib)}}=\overline{(a-ib)}=a+ib=z\]
\[ \therefore \overline{\overline{z}}=z\]
(2)\( \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w} \)
Solución:
\[ \overline{z+w}=\overline{(a+ib)+(c+id)}=\overline{(a+c)+(b+d)i} = (a+c)-(b+d)i = \]
\[= (a-bi)+(c-di) = \overline{z}+\overline{w}\]
\[ \therefore \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w} \]
(3)\(\overline{zw}=\overline{z}*\overline{w}\)
Solución:
\[\overline{zw}=\overline{(a+ib)(c+id)}= \overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}= (ac-bd)-(ad+bc)i = ac-iad+bd-icd =\]
\[= ac-iad+i^2bd-icb = a(c-id)-ib(c-id) = (a-ib)(c-id) = \overline{z}*\overline{w}\]
\[ \therefore \overline{zw}=\overline{z}*\overline{w}\]
(6)\( z\in{R} \Longleftrightarrow \overline{z}=z \) (es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es igual a su conjugado).
Solución:
Sea \( z=a+0i=a \), entonces:
\[ \overline{z} = \overline{a+0i} = a-0i = a \]
\[ \therefore \overline{z}=z \]

1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi

(a)\( \qquad(3+2i)(5-3i) \)
\[ \qquad(3+2i)(5-3i) = (3*5)+(2*-3)i = 15-6i \]


(b)\( \qquad(5+7i)-(4-2i) \)
\[ \qquad(5+7i)-(4-2i) = -20+14i \]


(c)\(\qquad 3i-(-7+2i) \)
\[ \qquad 3i-(-7+2i) = 7+(3-2)i = 7+i\]


(d)\( 5 + \bigg(\frac{1}{2}-3i\bigg) \)
\[ 5 + \bigg(\frac{1}{2}-3i\bigg) = \frac{11}{2}-3i \]


(e)\(\qquad (2+3i)(4-2i) \)
\[ \qquad (2+3i)(4-2i) = 14+8i \]


(f)\( \qquad \frac{3+4i}{5+2i} \)
\[ \frac{3+4i}{5+2i} = \bigg(\frac{3+4i}{5+2i}\bigg)\bigg(\frac{5-2i}{5-2i}\bigg) = \frac{23+14i}{29} =\frac{23}{29} + \frac{14}{29}i \]


(g)\( \frac{4}{2-3i} \)
\[ \frac{4}{2-3i}=\frac{4}{2-3i}\bigg(\frac{2+3i}{2+3i}\bigg) = \frac{8+12i}{13} = \frac{8}{13}+\frac{12}{13}i \]


(h)\( \frac{(2+i)(3+2i)}{1-i} \)
\[ \frac{(2+i)(3+2i)}{1-i} = \frac{4+7i}{1-i} = \frac{4+7i}{1-i}\bigg(\frac{1+i}{1+i}\bigg) = \frac{11+3i}{2} = \frac{11}{2}+\frac{3}{2}i \]

1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1


\(Sea z\in\mathbb{C}\) y \(n\geq2\) Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si

\(z^n=1\)

Si escribimos en la forma polar

\( z^n=re^{in\theta} \)

Entonces,

\( z^n=r^ne^{in\theta}\)

Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse

\(r^n=1\) y \((\exists k\in Z)n\theta=2k\pi\)

Como \(r\geq 0\) es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre \(\theta\) es\[(\exists k\in Z)\theta=\frac{2k\pi}{n}\]

Obtenemos que todos los complejos de la forma \(z=e^{i\frac{2k\pi}{n}}\) son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos \(r\in\) {0,1,...,n-1),\(k=r+nl\) con \(l\in Z\). Entonces

\(e^{i\frac{2k\pi}{n}}\)=\(e^{{i\frac{2k\pi}{n}+{2l'"`UNIQ--math-00000000-QINU`"'=\(e^{i\frac{2k\pi}{n}}*1\)=\(e^{i\frac{2k\pi}{n}}\)

Así, todos los posibles valores de \(\theta\) dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son

\(e^{i\frac{2k\pi}{n}}\qquad\) (\(r=0,1,...,{}\nonumber\\\))

Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma \(z=z_{0}e^{i\frac{2k\pi}{n}}\)=\(cos{\frac{2k\pi}{n}}+isen{\frac{2k\pi}{n}}\) Como multiplicar por w es un giro de amplitud \(\frac{2\pi}{n}\), deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, \(z_{0}\) (con \(z_{0}\)=1), con giros sucesivos de amplitud \(\frac{2\pi}{n}\) \(\therefore\) cuando \(n\geq 3\), corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos \(w_{n}=e^{i\frac{2k\pi}{n}}\) vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente

1,\(w_{n}\),\(w_{n}^2\),...,\(w_{n}^{n-1}\)

1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado

Demostración

Sea \(\overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in v\qquad\)\(\therefore\qquad y_{0}>0\) Debemos mostrar que hay una bola abierta \(B_{1}(\overline{v_{0}},v)\) contenida en el plano superior.

Sea \(\overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in V\) se tiene entonces que \(y_{0}>0\). Elegimos \(r=y_{0}\) consideremos la bola abierta B\(_{1}({v_{0}},y_{0})\), sea \(\overline{v}=(x,y)\in B_{1}({v_{0}},y_{0})\)se tiene entonces que \(||\overline{v}-\overline{v_{0}}||<y_{0}\). Es decir \(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<y_{0}\) y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.

Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que \(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\)=\(|x-x_{0}|+|y_{0}|<y_{0}\)

Esto es una contradicción.

Supongamos que y<0, entonces \(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\)=\(|x-x_{0}|+(-y)+y_{0}<y_{0}\)

Esto es una contradicción

\(\therefore\qquad\) \(y\geq 0\) y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado



1.11Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1

Solución:
Siendo las raíces n-ésimas de 1 tienen la siguiente forma:
\[ \sqrt[n]{1} = u_k = |\sqrt[n]{1}|exp\left(\frac{2ik\pi\! + \theta\!_0}{n} \right)\] con \(0\le k\le n-1\)
Siendo \[\theta\!_0=0 rad\] entonces:
\[ \sqrt[n]{1} = exp\left(\frac{2ik\pi\!}{n}\right) = cos\left(\frac{2k\pi\!}{n}\right) + isen\left(\frac{2k\pi\!}{n}\right) \]
Si un poligono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vertices son puntos de la circunferencia y todos sus lados están incluidos dentro del círculo que esta define, entonces todas las raíces deberían cumplir que:
\[ |\sqrt[n]{1}| = 1 = r_0\] donde \(r_0\) es el radio de la cirunferencia unitaria
Por lo que:
\[ |\sqrt[n]{1}| = \sqrt{cos^2\left(\frac{2k\pi\!}{n}\right) + sen^2\left(\frac{2k\pi\!}{n}\right)} = \sqrt{1} =1= r_o\]
Si todos los lados de un poligono regular son iguales, la distancia entre cada uno de los vértices debería ser la misma, siendo una magnitud que sólo dependiera del número de lados del poligono (veáse angulo interior central). Entonces:
Sean las raíces n-ésimas donde \( k = j \) y \( k= j+1 \) tenemos que:
\[ d= \frac{2(j+1)\pi\!+ \theta\!}{n}-\frac{2j\pi\!+ \theta\!}{n} = \frac{2\pi\!}{n}\]
por lo que si se recorre la circunferencia unitaria cada \( \frac{2\pi\!}{n} \) unidades, podemos asegurar que existe una raíz la cual es un vértice del polígono regular de n lados de norma 1.