Usuario discusión:Cecilia Carrizosa Muñoz

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1.5 Sean w,z ∈ C. Demuestre los siguientes incisos:

Sean \(z=a+ib \qquad y \qquad w=c+id\) entonces:
(1) \(\overline{\overline{z}}=z\)
Solución:
\[\overline{\overline{z}}=\overline{\overline{(a+ib)}}=\overline{(a-ib)}=a+ib=z\]
\[ \therefore \overline{\overline{z}}=z\]
(2)\( \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w} \)
Solución:
\[ \overline{z+w}=\overline{(a+ib)+(c+id)}=\overline{(a+c)+(b+d)i} = (a+c)-(b+d)i = \]
\[= (a-bi)+(c-di) = \overline{z}+\overline{w}\]
\[ \therefore \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w} \]
(3)\(\overline{zw}=\overline{z}*\overline{w}\)
Solución:
\[\overline{zw}=\overline{(a+ib)(c+id)}= \overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}= (ac-bd)-(ad+bc)i = ac-iad+bd-icd =\]
\[= ac-iad+i^2bd-icb = a(c-id)-ib(c-id) = (a-ib)(c-id) = \overline{z}*\overline{w}\]
\[ \therefore \overline{zw}=\overline{z}*\overline{w}\]
(6)\( z\in{R} \Longleftrightarrow \overline{z}=z \) (es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es igual a su conjugado).
Solución:
Sea \( z=a+0i=a \), entonces:
\[ \overline{z} = \overline{a+0i} = a-0i = a \]
\[ \therefore \overline{z}=z \]


1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi

(a)\( \qquad(3+2i)(5-3i) \)
\[ \qquad(3+2i)(5-3i) = (3*5)+(2*-3)i = 15-6i \]


(b)\( \qquad(5+7i)-(4-2i) \)
\[ \qquad(5+7i)-(4-2i) = -20+14i \]


(c)\(\qquad 3i-(-7+2i) \)
\[ \qquad 3i-(-7+2i) = 7+(3-2)i = 7+i\]


(d)\( 5 + \bigg(\frac{1}{2}-3i\bigg) \)
\[ 5 + \bigg(\frac{1}{2}-3i\bigg) = \frac{11}{2}-3i \]


(e)\(\qquad (2+3i)(4-2i) \)
\[ \qquad (2+3i)(4-2i) = 14+8i \]


(f)\( \qquad \frac{3+4i}{5+2i} \)
\[ \frac{3+4i}{5+2i} = \bigg(\frac{3+4i}{5+2i}\bigg)\bigg(\frac{5-2i}{5-2i}\bigg) = \frac{23+14i}{29} =\frac{23}{29} + \frac{14}{29}i \]


(g)\( \frac{4}{2-3i} \)
\[ \frac{4}{2-3i}=\frac{4}{2-3i}\bigg(\frac{2+3i}{2+3i}\bigg) = \frac{8+12i}{13} = \frac{8}{13}+\frac{12}{13}i \]


(h)\( \frac{(2+i)(3+2i)}{1-i} \)
\[ \frac{(2+i)(3+2i)}{1-i} = \frac{4+7i}{1-i} = \frac{4+7i}{1-i}\bigg(\frac{1+i}{1+i}\bigg) = \frac{11+3i}{2} = \frac{11}{2}+\frac{3}{2}i \]





1.11Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1

Solución:
Siendo las raíces n-ésimas de 1 tienen la siguiente forma:
\[ \sqrt[n]{1} = u_k = |\sqrt[n]{1}|exp\left(\frac{2ik\pi\! + \theta\!_0}{n} \right)\] con \(0\le k\le n-1\)
Siendo \[\theta\!_0=0 rad\] entonces:
\[ \sqrt[n]{1} = exp\left(\frac{2ik\pi\!}{n}\right) = cos\left(\frac{2k\pi\!}{n}\right) + isen\left(\frac{2k\pi\!}{n}\right) \]
Si un poligono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vertices son puntos de la circunferencia y todos sus lados están incluidos dentro del círculo que esta define, entonces todas las raíces deberían cumplir que:
\[ |\sqrt[n]{1}| = 1 = r_0\] donde \(r_0\) es el radio de la cirunferencia unitaria
Por lo que:
\[ |\sqrt[n]{1}| = \sqrt{cos^2\left(\frac{2k\pi\!}{n}\right) + sen^2\left(\frac{2k\pi\!}{n}\right)} = \sqrt{1} =1= r_o\]
Si todos los lados de un poligono regular son iguales, la distancia entre cada uno de los vértices debería ser la misma, siendo una magnitud que sólo dependiera del número de lados del poligono (veáse angulo interior central). Entonces:
Sean las raíces n-ésimas donde \( k = j \) y \( k= j+1 \) tenemos que:
\[ d= \frac{2(j+1)\pi\!+ \theta\!}{n}-\frac{2j\pi\!+ \theta\!}{n} = \frac{2\pi\!}{n}\]
por lo que si se recorre la circunferencia unitaria cada \( \frac{2\pi\!}{n} \) unidades, podemos asegurar que existe una raíz la cual es un vértice del polígono regular de n lados de norma 1.