Usuario discusión:Cecilia Carrizosa Muñoz

1.5 Sean w,z ∈ C. Demuestre los siguientes incisos:

Sean $z=a+ib\qquad y\qquad w=c+id$ entonces:

(1) ${\overline {\overline {z}}}=z$

Solución:

${\overline {\overline {z}}}={\overline {\overline {(a+ib)}}}={\overline {(a-ib)}}=a+ib=z$

$\therefore {\overline {\overline {z}}}=z$

(2)${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$

Solución:

${\overline {z+w}}={\overline {(a+ib)+(c+id)}}={\overline {(a+c)+(b+d)i}}=(a+c)-(b+d)i=$

$=(a-bi)+(c-di)={\overline {z}}+{\overline {w}}$

$\therefore {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$

(3)${\overline {zw}}={\overline {z}}*{\overline {w}}$

Solución:

${\overline {zw}}={\overline {(a+ib)(c+id)}}={\overline {(ac-bd)+(ad+bc)i}}=(ac-bd)-(ad+bc)i=ac-iad+bd-icd=$

$=ac-iad+i^{2}bd-icb=a(c-id)-ib(c-id)=(a-ib)(c-id)={\overline {z}}*{\overline {w}}$

$\therefore {\overline {zw}}={\overline {z}}*{\overline {w}}$

(6)$z\in {R}\Longleftrightarrow {\overline {z}}=z$ (es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es igual a su conjugado).

Solución:

Sea $z=a+0i=a$, entonces:

${\overline {z}}={\overline {a+0i}}=a-0i=a$

$\therefore {\overline {z}}=z$

1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi

(a)$\qquad (3+2i)(5-3i)$

$\qquad (3+2i)(5-3i)=(3*5)+(2*-3)i=15-6i$

(b)$\qquad (5+7i)-(4-2i)$

$\qquad (5+7i)-(4-2i)=-20+14i$

(c)$\qquad 3i-(-7+2i)$

$\qquad 3i-(-7+2i)=7+(3-2)i=7+i$

(d)$5+{\bigg (}{\frac {1}{2}}-3i{\bigg )}$

$5+{\bigg (}{\frac {1}{2}}-3i{\bigg )}={\frac {11}{2}}-3i$

(e)$\qquad (2+3i)(4-2i)$

$\qquad (2+3i)(4-2i)=14+8i$

(f)$\qquad {\frac {3+4i}{5+2i}}$

${\frac {3+4i}{5+2i}}={\bigg (}{\frac {3+4i}{5+2i}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {5-2i}{5-2i}}{\bigg )}={\frac {23+14i}{29}}={\frac {23}{29}}+{\frac {14}{29}}i$

(g)${\frac {4}{2-3i}}$

${\frac {4}{2-3i}}={\frac {4}{2-3i}}{\bigg (}{\frac {2+3i}{2+3i}}{\bigg )}={\frac {8+12i}{13}}={\frac {8}{13}}+{\frac {12}{13}}i$

(h)${\frac {(2+i)(3+2i)}{1-i}}$

${\frac {(2+i)(3+2i)}{1-i}}={\frac {4+7i}{1-i}}={\frac {4+7i}{1-i}}{\bigg (}{\frac {1+i}{1+i}}{\bigg )}={\frac {11+3i}{2}}={\frac {11}{2}}+{\frac {3}{2}}i$

Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1

Solución:

Siendo las raíces n-ésimas de 1 tienen la siguiente forma:

${\sqrt[{n}]{1}}=u_{k}=|{\sqrt[{n}]{1}}|exp\left({\frac {2ik\pi \!+\theta \!_{0}}{n}}\right)$ con $0\leq k\leq n-1$

Siendo : $\theta \!_{0}=0rad$ entonces:

${\sqrt[{n}]{1}}=exp\left({\frac {2ik\pi \!}{n}}\right)=cos\left({\frac {2k\pi \!}{n}}\right)+isen\left({\frac {2k\pi \!}{n}}\right)$

Si un poligono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vertices son puntos de la circunferencia y todos sus lados están incluidos dentro del círculo que esta define, entonces todas las raíces deberían cumplir que:

$|{\sqrt[{n}]{1}}|=1=r_{0}$ donde $r_{0}$ es el radio de la cirunferencia unitaria

Por lo que:

$|{\sqrt[{n}]{1}}|={\sqrt {cos^{2}\left({\frac {2k\pi \!}{n}}\right)+sen^{2}\left({\frac {2k\pi \!}{n}}\right)}}={\sqrt {1}}=1=r_{o}$

Siendo todos los lados de un poligono regular iguales, los angulos interiores centrales deben ser de una sola magnitud, esto es, la separación entre cada vértice debería ser una magnitud que solo dependiera del número de lados del poligono. Entonces: