Diferencia entre revisiones de «Usuario discusión:Cecilia Carrizosa Muñoz»

De luz-wiki
Sin resumen de edición
Sin resumen de edición
Línea 120: Línea 120:
'''Demostración'''
'''Demostración'''


Sea <math>\epsilon>0</math>, existen enteros positivos <math>n_{1} </math> y <math>n_{2}</math>tales que.
'''Primero demostraremos que el límite es único'''.
'''Supongamos que la sucesión <math>(a_{n})_{n}</math> tuviera dos límites distintos, digamos <math>a\neq b</math>'''.
 
Sea <math>\epsilon ={\frac{|a-b|}{4}}</math>>0. Entonces, por definición, existen números naturales <math>n_{1} y n_{2}</math> tales que
<math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon
</math> si <math>n>n_{2}</math>.
Llamando <math>n_{0}=máx{n_{1},n_{2}}</math> se debe cumplir que:
<math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{0}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon
</math> si <math>n>n_{0}</math>. De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser
<math>|a-b|=|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}|</math> < <math>\epsilon +\epsilon =2{\frac{|a-b|}{4}}={\frac{|a-b|}{2}}</math>
<math>\therefore\qquad</math> <math>1<{\frac{1}{2}}</math> es una contradicción, entonces '''el límite es único.'''
----
1) '''Sea <math>\epsilon>0</math>, existen enteros''' positivos <math>n_{1} </math> y <math>n_{2}</math>tales que.
<math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math>n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}}
<math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math>n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}}
</math> si <math>n>n_{2}</math>.
</math> si <math>n>n_{2}</math>.
Línea 128: Línea 140:


<math>\therefore\qquad</math> <math>a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})</math>
<math>\therefore\qquad</math> <math>a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})</math>
----
1.11'''Muestre que las ''n'' raíces ''n''-ésimas de 1 son los vértices de un ''n''-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1'''
1.11'''Muestre que las ''n'' raíces ''n''-ésimas de 1 son los vértices de un ''n''-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1'''



Revisión del 01:35 14 nov 2012

1.5 Sean w,z ∈ C. Demuestre los siguientes incisos:

Sean entonces:
(1)
Solución:
(2)
Solución:
(3)
Solución:
(6) (es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es igual a su conjugado).
Solución:
Sea , entonces:

1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi

(a)


(b)


(c)


(d)


(e)


(f)


(g)


(h)

1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1


y Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si

i escribimos en la forma polar

Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse

y

Como es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre es:

Obtenemos que todos los complejos de la forma son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos {0,1,...,n-1), con . Entonces

Así, todos los posibles valores de dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son

(Error al representar (función desconocida «\nonumber»): r=0,1,...,{}\nonumber\\ )

Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma = Como multiplicar por w es un giro de amplitud , deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, (con =1), con giros sucesivos de amplitud cuando , corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente

1,,,...,

1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado

Demostración

Sea Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.

Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.

Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que =

Esto es una contradicción.

Supongamos que y<0, entonces =

Esto es una contradicción

y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado

1.29) Si es una sucesión convergente en , demuestre que su límite es único. Si y son dos sucesiones convergentes, con límites , respectivamente, demuestre que: 1) La suma de las sucesiones converge a

Demostración

Primero demostraremos que el límite es único. Supongamos que la sucesión tuviera dos límites distintos, digamos .

Sea >0. Entonces, por definición, existen números naturales tales que si y si . Llamando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n_{0}=máx{n_{1},n_{2}} se debe cumplir que: si y si . De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser < es una contradicción, entonces el límite es único.


1) Sea , existen enteros positivos y tales que. si y si . Tomando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}=máxn_{1},n_{2} se tiene:

= para cada

Error al representar (error de sintaxis): a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})


1.11Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1

Solución:
Siendo las raíces n-ésimas de 1 tienen la siguiente forma:
con
Siendo : entonces:
Si un poligono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vertices son puntos de la circunferencia y todos sus lados están incluidos dentro del círculo que esta define, entonces todas las raíces deberían cumplir que:
donde es el radio de la cirunferencia unitaria
Por lo que:
Si todos los lados de un poligono regular son iguales, la distancia entre cada uno de los vértices debería ser la misma, siendo una magnitud que sólo dependiera del número de lados del poligono (veáse angulo interior central). Entonces:
Sean las raíces n-ésimas donde y tenemos que:
por lo que si se recorre la circunferencia unitaria cada unidades, podemos asegurar que existe una raíz la cual es un vértice del polígono regular de n lados de norma 1.