Diferencia entre revisiones de «Usuario discusión:Cecilia Carrizosa Muñoz»

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Podemos escribir las raíces n-ésimas de '''la unidad''' en la forma  <math>z=z_{0}e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math>=<math>cos{\frac{2k\pi}{n}}+isen{\frac{2k\pi}{n}}</math>
Podemos escribir las raíces n-ésimas de '''la unidad''' en la forma  <math>z=z_{0}e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math>=<math>cos{\frac{2k\pi}{n}}+isen{\frac{2k\pi}{n}}</math>
Como multiplicar por '''w''' es un giro de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math>, deducimos que las '''n''' raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, <math>z_{0}</math> (con <math>z_{0}</math>=1), con giros sucesivos de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math>
Como multiplicar por '''w''' es un giro de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math>, deducimos que las '''n''' raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, <math>z_{0}</math> (con <math>z_{0}</math>=1), con giros sucesivos de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math>
<math>\therefore</math> si representamos todas las raíces n-ésimas de '''z''' obtenemos '''n''' puntos sobre una circunferencia de '''centro (0,0)''' y '''radio''' <math>|z|^{\frac{1}{n}}</math> que forman un polígono regular de '''n''' lados.
<math>\therefore</math> cuando <math>n\geq 3</math>, corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de '''n''' lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el '''origen''' y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz '''z=1 (k=0)'''. Si escribimos <math>w_{n}=e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math> vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente
1,<math>w_{n}</math>,<math>w_{n}^2</math>,...,<math>w_{n}^{n-1}</math>


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Revisión del 21:14 3 nov 2012

1.5 Sean w,z ∈ C. Demuestre los siguientes incisos:

Sean entonces:
(1)
Solución:
(2)
Solución:
(3)
Solución:
(6) (es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es igual a su conjugado).
Solución:
Sea , entonces:

1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi

(a)


(b)


(c)


(d)


(e)


(f)


(g)


(h)

1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1


y Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si


Si escribimos en la forma polar


Entonces,


Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse

 y 

Como es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre es:


Obtenemos que todos los complejos de la forma son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos {0,1,...,n-1), con . Entonces

=Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle e^{{i\frac{2k\pi}{n}+{2l<math>\pi}
}</math>==

Así, todos los posibles valores de dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son

 (Error al representar (función desconocida «\nonumber»): r=0,1,...,{}\nonumber\\
)

Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma = Como multiplicar por w es un giro de amplitud , deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, (con =1), con giros sucesivos de amplitud cuando , corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente

1,,,...,

1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado

Demostración

Sea Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.

Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.

Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que =

Esto es una contradicción.

Supongamos que y<0, entonces =

Esto es una contradicción

  y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado



1.11Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1

Solución:
Siendo las raíces n-ésimas de 1 tienen la siguiente forma:
con
Siendo : entonces:
Si un poligono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vertices son puntos de la circunferencia y todos sus lados están incluidos dentro del círculo que esta define, entonces todas las raíces deberían cumplir que:
donde es el radio de la cirunferencia unitaria
Por lo que:
Si todos los lados de un poligono regular son iguales, la distancia entre cada uno de los vértices debería ser la misma, siendo una magnitud que sólo dependiera del número de lados del poligono (veáse angulo interior central). Entonces:
Sean las raíces n-ésimas donde y tenemos que:
por lo que si se recorre la circunferencia unitaria cada unidades, podemos asegurar que existe una raíz la cual es un vértice del polígono regular de n lados de norma 1.