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| ::Para <math>n>n_{0}</math> | | ::Para <math>n>n_{0}</math> |
| :<math> \lim_{n \rightarrow 00}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b} \qquad b_{n}\ne0 \textrm{ y } b\ne0</math> | | :<math> \lim_{n \rightarrow 00}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b} \qquad b_{n}\ne0 \textrm{ y } b\ne0</math> |
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| | '''1.69)Sea <math>d_{c}:\mathbb{C}_{\infty}\times\mathbb{C}_{\infty}\to\mathbb{C}_{\infty}</math> la distancia cordal. Demuestre que, en efecto, es una ''distancia'', es decir, satisface las condiciones:''' |
| | :a)<math> d_{c}(z,w)\ge0 \textrm{ y } d_{c}(z,w)=0 \textrm{ si y solo si } z=w </math> |
| | :b)<math> d_{c}(z,w)=d_c(w,z) </math> |
| | :c)<math> d_c(z,w)\le d_{c}(z,u)+d_{c}(u,w) \textrm{, para cualquier }u\in\mathbb{C}_{\infty} </math> |
| | :Solución: |
| | ::Para a) |
| | ::Observemos que a),b),c) no toma valores negativos, entonces: |
| | ::<math> 0=d(x,x) \le d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y) </math> |
| | ::<math> \therefore d(x,y)\ge 0</math> |
| | ::Para b) |
| | ::<math> |d(x,y)-d(y,z)|\le d(x,z) ,\qquad\forall x,y,z\in\mathbb{C} </math>usando b) y c) tenemos que: |
| | ::<math> d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)=d(x,z)+d(y,z) \Rightarrow d(y,z)-d(x,z)\le d(x,z) \Rightarrow |d(x,y)-d(y,z)|\le d(x,z) \forall x,y,z\in\mathbb{C}</math> |
| | ::<math> \therefore d(x,z)=d(y,x)</math> |
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| | '''2.4) (Teorema de Rolle) Si <math>a,b \in\mathbb{R}</math> con a<b y <math> f:[a,b]\to\mathbb{R}</math> es continua, y además es derivable en (a,b), demuestre que si <math>f(a)=f(b)</math>, existe un <math>\xi\in(a,b)</math> donde <math>f</math> alcanza su máximo o mínimo.''' |
| | :Demostración: |
| | :Como f es continua en [a,b], entonces: |
| | :<math> \exists x_{1},x_{2}\in[a,b] \textrm{ tal que } \forall x\in[a,b]\Rightarrow f(x_{1})\le f(x) \le f(x_{2}) </math> |
| | :Si <math>f(x_{1})=f(x)</math> entonces <math>f</math> es constante y en este caso cualquier <math>x_{0}\in(a,b)</math> satisface <math> f´(x_{0})=0 </math> |
| | :Si <math>x_{1}\in \{a,b\} \Rightarrow f(x_{1})=f(a)=f(b)</math> |
| | ::pero si: <math>f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \Rightarrow f(x_{2})\ne f(a) \land f(x_{2})\ne f(b) \Rightarrow x_{2}\notin \{a,b\} \Rightarrow x_{2}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{2})=0</math> |
| | :Si <math>x_{2}\in \{a,b\} \Rightarrow x_{1}\notin \{a,b\} x_{1}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{1})=0</math> |
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| | '''2.23) Muestre que la función <math> f(z)=f(x,y)= \sqrt{|xy|} </math> no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en 0.''' |
| | :Solución: |
| | :Tenemos que <math>u(x,y)= \sqrt{|xy|}, v(x,y)=0</math> utilizando la definición de derivada parcial: |
| | :<math> u_{x}(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{u(h+0,0)-u(0,0)}{h}=0 \textrm{ con } h\in\mathbb{R} </math> |
| | :Se puede observar que: |
| | :<math> u_{y}(0,0)=0, v_{x}(0,0) = v_{y}(0,0)=0 </math> |
| | :<math> \therefore \textrm{satisfacen las ecuaciones de Riemann}</math> |
| | :Pero si <math> h= h_{1}+ih_{2}</math>, entonces: |
| | :<math> \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h_{1}h_{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{2}}</math> |
| | :Si <math>h_{2} = h_{1} = 0</math> |
| | :<math> \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} =0</math> |
| | :Si <math> h_{1}=h_{2}</math> |
| | :<math> \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}h_{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{2}} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}^{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{1}} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}|}{h_{1}+ih_{1}} = \frac{1}{1+i} \lim_{h_{1}\to 0} \frac{||h_{1}|}{h_{1}}</math> |
| | :entonces: |
| | :<math> \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}|}{h_{1}}</math> |
| | :faltaaa |
| | :<math> \therefore \textrm{f(z) no es diferenciable en} z =0 </math> |
1.5 Sean w,z ∈ C. Demuestre los siguientes incisos:
- Sean entonces:
- (1)
- Solución:
- (2)
- Solución:
-
- (3)
- Solución:
-
- (6) (es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es igual a su conjugado).
- Solución:
- Sea , entonces:
1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (e)
- (f)
- (g)
- (h)
1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1
y Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si
i escribimos en la forma polar
Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse
- y
Como es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre es:
Obtenemos que todos los complejos de la forma son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos {0,1,...,n-1), con . Entonces
Así, todos los posibles valores de dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son
- (Error al representar (función desconocida «\nonumber»): r=0,1,...,{}\nonumber\\
)
Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad.
Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma =
Como multiplicar por w es un giro de amplitud , deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, (con =1), con giros sucesivos de amplitud
cuando , corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente
- 1,,,...,
1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado
Demostración
Sea
Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.
Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.
Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que
=
Esto es una contradicción.
Supongamos que y<0, entonces
=
Esto es una contradicción
- y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado
1.29) Si es una sucesión convergente en , demuestre que su límite es único. Si y son dos sucesiones convergentes, con límites , respectivamente, demuestre que:
- 1)La suma de las sucesiones converge a
- 2)El producto de las sucesiones converge a
- 3)El cociente (cuando está definido) de las sucesiones converge a
Demostración
- Primero demostraremos que el límite es único.
- Supongamos que la sucesión tuviera dos límites distintos, digamos
- Sea >0. Entonces, por definición, existen números naturales tales que si y si .
- Llamando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\}
se debe cumplir que:
si y si . De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser
- es una contradicción, entonces el límite es único.
1)Sea , existen enteros positivos y tales que
si y si .
- Tomando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\}
se tiene:
- para cada
- Error al representar (error de sintaxis): \therefore a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})
2) Sea una sucesión convergente, entonces existe un t.q.
- Entonces
- Sin embargo tal que
- Entonces
- tomando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}= máx\{n_{1},n_{2}\}
se tiene que Error al representar (error de sintaxis): ab = lím_{n}(a_{n}b_{n})
3)Consideremos una cota inferior para la sucesión en lugar de una acotación superior.
- Puesto que 0 y |Error al representar (error de sintaxis): b|=lím_{n}|b_{n}|
, sea existe tal que Error al representar (error de sintaxis): \\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}|
, para .
- Si , obtenemos:
-
- Sea tal que:
-
- Si tomamos debe cumplirse que
-
- Para
1.69)Sea la distancia cordal. Demuestre que, en efecto, es una distancia, es decir, satisface las condiciones:
- a)
- b)
- c)
- Solución:
- Para a)
- Observemos que a),b),c) no toma valores negativos, entonces:
- Para b)
- usando b) y c) tenemos que:
2.4) (Teorema de Rolle) Si con a<b y es continua, y además es derivable en (a,b), demuestre que si , existe un donde alcanza su máximo o mínimo.
- Demostración:
- Como f es continua en [a,b], entonces:
- Si entonces es constante y en este caso cualquier satisface Error al representar (error de sintaxis): f´(x_{0})=0
- Si
- pero si: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \Rightarrow f(x_{2})\ne f(a) \land f(x_{2})\ne f(b) \Rightarrow x_{2}\notin \{a,b\} \Rightarrow x_{2}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{2})=0
- Si Error al representar (error de sintaxis): x_{2}\in \{a,b\} \Rightarrow x_{1}\notin \{a,b\} x_{1}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{1})=0
2.23) Muestre que la función no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en 0.
- Solución:
- Tenemos que utilizando la definición de derivada parcial:
- Se puede observar que:
- Pero si , entonces:
- Si
- Si
- entonces:
- faltaaa