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1.29) '''Si <math>{z_n}</math> es una sucesión convergente en <math>\mathbb{C}</math>, demuestre que su límite es único. Si <math>z_{n}</math> y<math>w_{n}</math> son dos sucesiones convergentes, con límites <math>L_{1} y L_{2}</math>, respectivamente, demuestre que:
1.29) '''Si <math>{z_n}</math> es una sucesión convergente en <math>\mathbb{C}</math>, demuestre que su límite es único. Si <math>z_{n}</math> y<math>w_{n}</math> son dos sucesiones convergentes, con límites <math>L_{1} y L_{2}</math>, respectivamente, demuestre que:
1) '''La suma de las sucesiones <math>{a_n}+b_{n}</math> converge a <math>L_{1}+L_{2}</math>'''
:1)La suma de las sucesiones <math>{a_n}+b_{n}</math> converge a <math>L_{1}+L_{2}</math>
2)''' El producto de las sucesiones <math>{a_n}b_{n}</math>converge a <math>L_{1}L_{2}</math>'''
:2)El producto de las sucesiones <math>{a_n}b_{n}</math>converge a <math>L_{1}L_{2}</math>
3)'''El cociente de las sucesiones <math>{{\frac{a_{n}}{b_{n}}}</math> converge a <math>{\frac{L_{1}}{L_{2}}</math> '''
:3)El cociente (cuando está definido) de las sucesiones <math> \frac{a_{n}}{b_{n}}</math> converge a <math> \frac{L_{1}}{L_{2}} si L_{2}\ne0</math>


'''Demostración'''
'''Demostración'''


'''Primero demostraremos que el límite es único'''.
:'''Primero demostraremos que el límite es único'''.
'''Supongamos que la sucesión <math>(a_{n})_{n}</math> tuviera dos límites distintos, digamos <math>a\neq b</math>'''.
::Supongamos que la sucesión <math>(a_{n})_{n}</math> tuviera dos límites distintos, digamos <math>a\neq b</math>


Sea <math>\epsilon ={\frac{|a-b|}{4}}</math>>0. Entonces, por definición, existen números naturales <math>n_{1} y n_{2}</math> tales que
:::Sea <math>\epsilon ={\frac{|a-b|}{4}}</math>>0. Entonces, por definición, existen números naturales <math>n_{1} y n_{2}</math> tales que <math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{2}</math>.
<math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon
:::Llamando <math>n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\}</math> se debe cumplir que:
</math> si <math>n>n_{2}</math>.
Llamando <math>n_{0}=máx{n_{1},n_{2}}</math> se debe cumplir que:
<math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{0}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon
<math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{0}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon
</math> si <math>n>n_{0}</math>. De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser  
</math> si <math>n>n_{0}</math>. De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser  
<math>|a-b|=|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}|</math> < <math>\epsilon +\epsilon =2{\frac{|a-b|}{4}}={\frac{|a-b|}{2}}</math>
:::<math>|a-b|=|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}| = \epsilon +\epsilon =2{\frac{|a-b|}{4}}={\frac{|a-b|}{2}}</math>
<math>\therefore\qquad</math> <math>1<{\frac{1}{2}}</math> es una contradicción, entonces '''el límite es único.'''
:::<math>\therefore 1<{\frac{1}{2}}</math> es una contradicción, entonces '''el límite es único.'''
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1) '''Sea <math>\epsilon>0</math>, existen enteros''' positivos <math>n_{1} </math> y <math>n_{2}</math>tales que.
 
<math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math>n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}}
'''1)'''Sea <math>\epsilon>0</math>, existen enteros positivos <math>n_{1} </math> y <math>n_{2}</math> tales que
</math> si <math>n>n_{2}</math>.
<math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math> n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math>n>n_{2}</math>.
Tomando <math>n_{0}=máxn_{1},n_{2}</math> se tiene:
:Tomando <math>n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\}</math> se tiene:
 
::<math>|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}| \leq {\frac{\epsilon}{2}}+{\frac{\epsilon}{2}} = \epsilon</math> para cada <math>n>n_{0}</math>


<math>|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}|</math> <math>\leq {\frac{\epsilon}{2}}+{\frac{\epsilon}{2}}</math>=<math>\epsilon</math> para cada <math>n>n_{0}</math>
::<math>\therefore a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})</math>


<math>\therefore\qquad</math> <math>a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})</math>


2) '''Sea <math>a_{n}</math> una sucesión convergente, entonces existe un <math>\alpha>0</math> t.q. <math>|a_{n}|<\alpha </math> ''' <math>\forall n \in\mathbb{n}</math>
'''2)''' Sea <math>a_{n}</math> una sucesión convergente, entonces existe un <math>\alpha>0</math> t.q. <math>|a_{n}|<\alpha </math> <math>\forall n \in\mathbb{N}</math>
Entonces
::Entonces
<math>|ab-a_{n}b_{n}|= |ab-a_{n}b+a_{n}b-a_{n}b_{n})|
::<math>|ab-a_{n}b_{n}|= |ab-a_{n}b+a_{n}b-a_{n}b_{n})|
= |(a-a_{n})b+(b-b_{n})(a_{n})|
= |(a-a_{n})b+(b-b_{n})(a_{n})|
\leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})||a_{n}|
\leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})||a_{n}|
\leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})|\alpha</math>
\leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})|\alpha</math>
Sin embargo
::Sin embargo <math> a = lim_{n}a_{n} \textrm{  y } b=lim_{n}b_{n} , \epsilon>0 \textrm{  existen } n_{1},n_{2}\in \mathbb{N} \qquad</math> tal que
a=<math>lim_{n}a_{n}</math> y b=<math>lim_{n}b_{n}</math>, <math>\epsilon</math> >0, existen <math>n_{1},n_{2}\in \mathbb{N}</math> t.q.
::<math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2(|b|+1)}} \textrm{ si  } n>n_{1} \qquad y \qquad |b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2\alpha}} \textrm{ si }n>n_{2}</math>
<<math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2(|b|+1)}}</math> si <math>n>n_{1}</math>
 
y <math>|b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2\alpha}}</math> si <math>n>n_{2}</math>
::Entonces
::<math>|ab-a_{n}b_{n}|< \frac{\epsilon}{2(|b|)} + \frac{\epsilon \alpha}{2\alpha} = \epsilon</math>
 
::tomando <math>n_{0}= máx\{n_{1},n_{2}\}</math> se tiene que <math> ab = lím_{n}(a_{n}b_{n}) </math>
 


Entonces
'''3)'''Consideremos una cota inferior para la sucesión <math>(b_{n})_{n}</math> en lugar de una acotación superior.
<math>|ab-a_{n}b_{n}|< {\frac{\epsilon}{2(|b|)}}+{\frac{\epsilon \alpha}{2\alpha}}=\epsilon</math>
::Puesto que <math>b\neq</math> 0 y |<math>b|=lím_{n}|b_{n}|</math>, sea <math>\epsilon ={\frac{|b|}{2}}</math> existe <math>n_{1}\in \mathbb{N}</math> tal que <math>\\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}|</math>, para <math>n>n_{1}</math>.
::Si <math>n>n_{1}</math>, obtenemos:
:<math> \bigg|\frac{a}{b}- \frac{a_{n}}{b_{n}}\bigg| =  \frac{|ab_{n}-ba_{n}|}{|b||b_{n}|} = \frac{|ab_{n}-ab+ab-a_{n}b|}{|b||b_{n}|} \le \frac{|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b||b_{n}|} \le \frac{|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b|\alpha} </math>
:: Sea <math>\epsilon>0 \textrm{  existen  } n_{2},n_{3}\in \mathbb{N} \qquad</math>tal que:
:<math>|b-b_{n}|< \frac{\epsilon}{2(|\alpha|+1)}|b|\alpha \textrm{ si } n>n_{2} \textrm{  y  }|a-a_{n}|<\frac{\epsilon}{2|b|}|a|\alpha \textrm{ si } n>n_{3} </math>
::Si tomamos <math> n_{0}:=max\{n,n_{2},n_{3}\} </math> debe cumplirse que
: <math>\bigg|\frac{a}{b}- \frac{a_{n}}{b_{n}}\bigg| \le \frac{|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b|\alpha} < \frac{\epsilon}{2(|\alpha|+1)}|\alpha|+\frac{\epsilon}{2|b|}|b| < \epsilon</math>
::Para <math>n>n_{0}</math>
:<math> \lim_{n \rightarrow 00}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b} \qquad b_{n}\ne0 \textrm{ y } b\ne0</math>


tomando <math>n_{0}=máxn_{1},n_{2}</math> se tiene que
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<math>ab=lím_{n}(a_{n}b_{n})</math>
 
'''1.69)Sea <math>d_{c}:\mathbb{C}_{\infty}\times\mathbb{C}_{\infty}\to\mathbb{C}_{\infty}</math> la distancia cordal. Demuestre que, en efecto, es una ''distancia'', es decir, satisface las condiciones:'''
:a)<math> d_{c}(z,w)\ge0 \textrm{ y } d_{c}(z,w)=0 \textrm{ si y solo si } z=w </math>
:b)<math> d_{c}(z,w)=d_c(w,z) </math>
:c)<math> d_c(z,w)\le d_{c}(z,u)+d_{c}(u,w) \textrm{, para cualquier }u\in\mathbb{C}_{\infty} </math>
:Solución:
::Para a)
::Observemos que a),b),c) no toma valores negativos, entonces:
::<math> 0=d(x,x) \le d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y) </math>
::<math> \therefore d(x,y)\ge 0</math>
::Para b)
::<math> |d(x,y)-d(y,z)|\le d(x,z) ,\qquad\forall x,y,z\in\mathbb{C} </math>usando b) y c) tenemos que:
::<math> d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)=d(x,z)+d(y,z) \Rightarrow d(y,z)-d(x,z)\le d(x,z) \Rightarrow |d(x,y)-d(y,z)|\le d(x,z) \forall x,y,z\in\mathbb{C}</math>
::<math> \therefore d(x,z)=d(y,x)</math>
 
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'''2.4) (Teorema de Rolle) Si <math>a,b \in\mathbb{R}</math> con  a<b  y <math> f:[a,b]\to\mathbb{R}</math> es continua, y además es derivable en (a,b), demuestre que si <math>f(a)=f(b)</math>, existe un <math>\xi\in(a,b)</math> donde <math>f</math> alcanza su máximo o mínimo.'''
:Demostración:
:Como f es continua en [a,b], entonces:
:<math> \exists x_{1},x_{2}\in[a,b] \textrm{ tal que } \forall x\in[a,b]\Rightarrow f(x_{1})\le f(x) \le f(x_{2}) </math>
:Si <math>f(x_{1})=f(x)</math> entonces <math>f</math> es constante y en este caso cualquier <math>x_{0}\in(a,b)</math> satisface <math> f´(x_{0})=0 </math>
:Si <math>x_{1}\in \{a,b\} \Rightarrow f(x_{1})=f(a)=f(b)</math>
::pero si: <math>f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \Rightarrow f(x_{2})\ne f(a) \land  f(x_{2})\ne f(b) \Rightarrow  x_{2}\notin \{a,b\} \Rightarrow x_{2}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{2})=0</math>
:Si <math>x_{2}\in \{a,b\} \Rightarrow x_{1}\notin \{a,b\} x_{1}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{1})=0</math>
 
 
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3)Consideremos una cota inferior para la sucesión (b_{n})_{n} en lugar de una acotación superior. Puesto que <math>b\neq</math> 0 y |<math>b|=lím_{n}|b_{n}|</math>, sea <math>\epsilon ={\frac{|b|}{2}}</math> existe <math>n_{1}\in \mathbb{N}</math> t.q.
'''2.23) Muestre que la función <math> f(z)=f(x,y)= \sqrt{|xy|} </math> no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en 0.'''
<math>\\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}|</math>, para <math>n>n_{1}</math>.
:Solución:
Si <math>n>n_{1}</math>, obtenemos
:Tenemos que <math>u(x,y)= \sqrt{|xy|}, v(x,y)=0</math> utilizando la definición de derivada parcial:
<math>|{\frac{a}{b}}-{\frac{a_{n}}{b_{n}}}|</math>=<math>|{\frac{ab_{n}-ba_{n}}{bb_{n}}}|</math>
:<math> u_{x}(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{u(h+0,0)-u(0,0)}{h}=0 \textrm{ con } h\in\mathbb{R} </math>
={\frac{|ab_{n}-ab+ab-a_{n}b|}{|b||b_{n}}
:Se puede observar que:
:<math> u_{y}(0,0)=0, v_{x}(0,0) = v_{y}(0,0)=0 </math>
:<math> \therefore \textrm{satisfacen las ecuaciones de Riemann}</math>
:Pero si <math> h= h_{1}+ih_{2}</math>, entonces:
:<math> \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h_{1}h_{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{2}}</math>
:Si <math>h_{2} = h_{1} = 0</math>
:<math> \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} =0</math>
:Si <math> h_{1}=h_{2}</math>
:<math> \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}h_{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{2}} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}^{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{1}} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}|}{h_{1}+ih_{1}} = \frac{1}{1+i} \lim_{h_{1}\to 0} \frac{||h_{1}|}{h_{1}}</math>
:entonces:
:<math> \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}|}{h_{1}}</math>
:faltaaa
:<math> \therefore \textrm{f(z) no es diferenciable en} z =0 </math>

Revisión actual - 03:35 25 nov 2012

1.5 Sean w,z ∈ C. Demuestre los siguientes incisos:

Sean entonces:
(1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\overline{z}}=z
Solución:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\overline{z}}=\overline{\overline{(a+ib)}}=\overline{(a-ib)}=a+ib=z
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore \overline{\overline{z}}=z
(2)
Solución:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{z+w}=\overline{(a+ib)+(c+id)}=\overline{(a+c)+(b+d)i} = (a+c)-(b+d)i =
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): = (a-bi)+(c-di) = \overline{z}+\overline{w}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}
(3)
Solución:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): = ac-iad+i^2bd-icb = a(c-id)-ib(c-id) = (a-ib)(c-id) = \overline{z}*\overline{w}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore \overline{zw}=\overline{z}*\overline{w}
(6) (es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es igual a su conjugado).
Solución:
Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z=a+0i=a , entonces:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{z} = \overline{a+0i} = a-0i = a

1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi

(a)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad(3+2i)(5-3i)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad(3+2i)(5-3i) = (3*5)+(2*-3)i = 15-6i


(b)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad(5+7i)-(4-2i)


(c)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad 3i-(-7+2i)


(d)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 5 + \bigg(\frac{1}{2}-3i\bigg) = \frac{11}{2}-3i


(e)


(f)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad \frac{3+4i}{5+2i}


(g)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{4}{2-3i}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{4}{2-3i}=\frac{4}{2-3i}\bigg(\frac{2+3i}{2+3i}\bigg) = \frac{8+12i}{13} = \frac{8}{13}+\frac{12}{13}i


(h)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{(2+i)(3+2i)}{1-i} = \frac{4+7i}{1-i} = \frac{4+7i}{1-i}\bigg(\frac{1+i}{1+i}\bigg) = \frac{11+3i}{2} = \frac{11}{2}+\frac{3}{2}i

1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1


Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Sea z\in\mathbb{C} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n\geq2 Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si

i escribimos en la forma polar

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z^n=r^ne^{in\theta}

Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse

y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (\exists k\in Z)n\theta=2k\pi

Como es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre es:

Obtenemos que todos los complejos de la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z=e^{i\frac{2k\pi}{n}} son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos {0,1,...,n-1), con . Entonces

Así, todos los posibles valores de dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{i\frac{2k\pi}{n}}\qquad (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r=0,1,...,{}\nonumber\\ )

Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z=z_{0}e^{i\frac{2k\pi}{n}} = Como multiplicar por w es un giro de amplitud , deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, (con =1), con giros sucesivos de amplitud cuando , corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente

1,,,...,

1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado

Demostración

Sea Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.

Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.

Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que =

Esto es una contradicción.

Supongamos que y<0, entonces =

Esto es una contradicción

y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado

1.29) Si es una sucesión convergente en , demuestre que su límite es único. Si y son dos sucesiones convergentes, con límites , respectivamente, demuestre que:

1)La suma de las sucesiones converge a
2)El producto de las sucesiones converge a
3)El cociente (cuando está definido) de las sucesiones converge a

Demostración

Primero demostraremos que el límite es único.
Supongamos que la sucesión tuviera dos límites distintos, digamos
Sea >0. Entonces, por definición, existen números naturales tales que si y si .
Llamando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\} se debe cumplir que:

si y si . De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser

es una contradicción, entonces el límite es único.


1)Sea , existen enteros positivos y tales que si y si .

Tomando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\} se tiene:
para cada
Error al representar (error de sintaxis): \therefore a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})


2) Sea una sucesión convergente, entonces existe un t.q.

Entonces
Sin embargo tal que
Entonces
tomando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}= máx\{n_{1},n_{2}\} se tiene que Error al representar (error de sintaxis): ab = lím_{n}(a_{n}b_{n})


3)Consideremos una cota inferior para la sucesión en lugar de una acotación superior.

Puesto que 0 y |Error al representar (error de sintaxis): b|=lím_{n}|b_{n}| , sea existe tal que Error al representar (error de sintaxis): \\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}| , para .
Si , obtenemos:
Sea tal que:
Si tomamos debe cumplirse que
Para

1.69)Sea la distancia cordal. Demuestre que, en efecto, es una distancia, es decir, satisface las condiciones:

a)
b)
c)
Solución:
Para a)
Observemos que a),b),c) no toma valores negativos, entonces:
Para b)
usando b) y c) tenemos que:

2.4) (Teorema de Rolle) Si con a<b y es continua, y además es derivable en (a,b), demuestre que si , existe un donde alcanza su máximo o mínimo.

Demostración:
Como f es continua en [a,b], entonces:
Si entonces es constante y en este caso cualquier satisface Error al representar (error de sintaxis): f´(x_{0})=0
Si
pero si: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \Rightarrow f(x_{2})\ne f(a) \land f(x_{2})\ne f(b) \Rightarrow x_{2}\notin \{a,b\} \Rightarrow x_{2}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{2})=0
Si Error al representar (error de sintaxis): x_{2}\in \{a,b\} \Rightarrow x_{1}\notin \{a,b\} x_{1}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{1})=0


2.23) Muestre que la función no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en 0.

Solución:
Tenemos que utilizando la definición de derivada parcial:
Se puede observar que:
Pero si , entonces:
Si
Si
entonces:
faltaaa
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