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<math>Sea z\in\mathbb{C}</math> y <math>n\geq2</math> Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si
<math>Sea z\in\mathbb{C}</math> y <math>n\geq2</math> Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si
<math>z^n=1</math>
:<math>z^n=1</math>
Si escribimos en la forma polar  
 
<math> z^n=re^{in\theta} </math>
i escribimos en la forma polar  
Entonces,
:<math> z^n=r^ne^{in\theta}</math>
<math> z^n=r^ne^{in\theta}</math>
 
Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse  
Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse  
<math>r^n=1</math> y <math>(\exists k\in Z)n\theta=2k\pi</math>
:<math>r^n=1</math> y <math>(\exists k\in Z)n\theta=2k\pi</math>
''Como <math>r\geq 0</math>'' es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre <math>\theta</math> es:
''Como <math>r\geq 0</math>'' es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre <math>\theta</math> es:
<math>(\exists k\in Z)\theta=\frac{2k\pi}{n}</math>
:<math>(\exists k\in Z)\theta=\frac{2k\pi}{n}</math>


Obtenemos que todos los complejos de la forma <math>z=e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math> son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos <math>r\in</math> {0,1,...,n-1),<math>k=r+nl</math> con <math>l\in Z</math>. Entonces
Obtenemos que todos los complejos de la forma <math>z=e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math> son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos <math>r\in</math> {0,1,...,n-1),<math>k=r+nl</math> con <math>l\in Z</math>. Entonces
   
   
<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math>=<math>e^{{i\frac{2k\pi}{n}+{2l<math>\pi</math>}</math>=<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}*1</math>=<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math>
: <math> e^{i\frac{2k\pi}{n}} = e^{i\frac{2k\pi}{n}+{2l\pi}} = e^{i\frac{2k\pi}{n}}*1 = e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math>  
Así, todos los posibles valores de <math>\theta</math> dados anteriormente definen sólo '''n''' números complejos distintos: éstos son
Así, todos los posibles valores de <math>\theta</math> dados anteriormente definen sólo '''n''' números complejos distintos: éstos son


<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}\qquad</math> (<math>r=0,1,...,{}\nonumber\\</math>)
:<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}\qquad</math> (<math>r=0,1,...,{}\nonumber\\</math>)


Estos valores son las exactamente '''n''' raíces n-ésimas de la unidad.
Estos valores son las exactamente '''n''' raíces n-ésimas de la unidad.
Línea 89: Línea 89:
Como multiplicar por '''w''' es un giro de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math>, deducimos que las '''n''' raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, <math>z_{0}</math> (con <math>z_{0}</math>=1), con giros sucesivos de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math>
Como multiplicar por '''w''' es un giro de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math>, deducimos que las '''n''' raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, <math>z_{0}</math> (con <math>z_{0}</math>=1), con giros sucesivos de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math>
<math>\therefore</math> cuando <math>n\geq 3</math>, corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de '''n''' lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el '''origen''' y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz '''z=1 (k=0)'''. Si escribimos <math>w_{n}=e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math> vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente
<math>\therefore</math> cuando <math>n\geq 3</math>, corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de '''n''' lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el '''origen''' y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz '''z=1 (k=0)'''. Si escribimos <math>w_{n}=e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math> vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente
1,<math>w_{n}</math>,<math>w_{n}^2</math>,...,<math>w_{n}^{n-1}</math>
 
:1,<math>w_{n}</math>,<math>w_{n}^2</math>,...,<math>w_{n}^{n-1}</math>


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Línea 111: Línea 112:
Esto es una contradicción
Esto es una contradicción


<math>\therefore\qquad</math> <math>y\geq 0</math> y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado
:<math>\therefore\qquad</math> <math>y\geq 0</math> y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado


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1.29) '''Si <math>{z_n}</math> es una sucesión convergente en <math>\mathbb{C}</math>, demuestre que su límite es único. Si <math>z_{n}</math> y<math>w_{n}</math> son dos sucesiones convergentes, con límites <math>L_{1} y L_{2}</math>, respectivamente, demuestre que:
:1)La suma de las sucesiones <math>{a_n}+b_{n}</math> converge a <math>L_{1}+L_{2}</math>
:2)El producto de las sucesiones <math>{a_n}b_{n}</math>converge a <math>L_{1}L_{2}</math>
:3)El cociente (cuando está definido) de las sucesiones <math> \frac{a_{n}}{b_{n}}</math> converge a <math> \frac{L_{1}}{L_{2}} si L_{2}\ne0</math>
'''Demostración'''
:'''Primero demostraremos que el límite es único'''.
::Supongamos que la sucesión <math>(a_{n})_{n}</math> tuviera dos límites distintos, digamos <math>a\neq b</math>
:::Sea <math>\epsilon ={\frac{|a-b|}{4}}</math>>0. Entonces, por definición, existen números naturales <math>n_{1} y n_{2}</math> tales que <math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{2}</math>.
:::Llamando <math>n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\}</math> se debe cumplir que:
<math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{0}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon
</math> si <math>n>n_{0}</math>. De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser
:::<math>|a-b|=|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}| = \epsilon +\epsilon =2{\frac{|a-b|}{4}}={\frac{|a-b|}{2}}</math>
:::<math>\therefore 1<{\frac{1}{2}}</math> es una contradicción, entonces '''el límite es único.'''
'''1)'''Sea <math>\epsilon>0</math>, existen enteros positivos <math>n_{1} </math> y <math>n_{2}</math> tales que
<math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math> n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math>n>n_{2}</math>.
:Tomando <math>n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\}</math> se tiene:
::<math>|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}| \leq {\frac{\epsilon}{2}}+{\frac{\epsilon}{2}} = \epsilon</math> para cada <math>n>n_{0}</math>
::<math>\therefore a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})</math>




'''2)''' Sea <math>a_{n}</math> una sucesión convergente, entonces existe un <math>\alpha>0</math> t.q. <math>|a_{n}|<\alpha </math> <math>\forall n \in\mathbb{N}</math>
::Entonces
::<math>|ab-a_{n}b_{n}|= |ab-a_{n}b+a_{n}b-a_{n}b_{n})|
= |(a-a_{n})b+(b-b_{n})(a_{n})|
\leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})||a_{n}|
\leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})|\alpha</math>
::Sin embargo <math> a = lim_{n}a_{n} \textrm{  y  } b=lim_{n}b_{n} , \epsilon>0 \textrm{  existen  } n_{1},n_{2}\in \mathbb{N} \qquad</math> tal que
::<math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2(|b|+1)}} \textrm{ si  } n>n_{1} \qquad y \qquad |b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2\alpha}} \textrm{ si  }n>n_{2}</math>


::Entonces
::<math>|ab-a_{n}b_{n}|< \frac{\epsilon}{2(|b|)} + \frac{\epsilon \alpha}{2\alpha} = \epsilon</math>


1.11'''Muestre que las ''n'' raíces ''n''-ésimas de 1 son los vértices de un ''n''-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1'''
::tomando <math>n_{0}= máx\{n_{1},n_{2}\}</math> se tiene que <math> ab = lím_{n}(a_{n}b_{n}) </math>


'''3)'''Consideremos una cota inferior para la sucesión <math>(b_{n})_{n}</math> en lugar de una acotación superior.
::Puesto que <math>b\neq</math> 0 y |<math>b|=lím_{n}|b_{n}|</math>, sea <math>\epsilon ={\frac{|b|}{2}}</math> existe <math>n_{1}\in \mathbb{N}</math> tal que <math>\\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}|</math>, para <math>n>n_{1}</math>.
::Si <math>n>n_{1}</math>, obtenemos:
:<math> \bigg|\frac{a}{b}- \frac{a_{n}}{b_{n}}\bigg| =  \frac{|ab_{n}-ba_{n}|}{|b||b_{n}|} = \frac{|ab_{n}-ab+ab-a_{n}b|}{|b||b_{n}|} \le \frac{|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b||b_{n}|} \le \frac{|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b|\alpha} </math>
:: Sea <math>\epsilon>0 \textrm{  existen  } n_{2},n_{3}\in \mathbb{N} \qquad</math>tal que:
:<math>|b-b_{n}|< \frac{\epsilon}{2(|\alpha|+1)}|b|\alpha \textrm{ si } n>n_{2} \textrm{  y  }|a-a_{n}|<\frac{\epsilon}{2|b|}|a|\alpha \textrm{ si } n>n_{3} </math>
::Si tomamos <math> n_{0}:=max\{n,n_{2},n_{3}\} </math> debe cumplirse que
: <math>\bigg|\frac{a}{b}- \frac{a_{n}}{b_{n}}\bigg| \le \frac{|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b|\alpha} < \frac{\epsilon}{2(|\alpha|+1)}|\alpha|+\frac{\epsilon}{2|b|}|b| < \epsilon</math>
::Para <math>n>n_{0}</math>
:<math> \lim_{n \rightarrow 00}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b} \qquad b_{n}\ne0 \textrm{ y } b\ne0</math>
----
'''1.69)Sea <math>d_{c}:\mathbb{C}_{\infty}\times\mathbb{C}_{\infty}\to\mathbb{C}_{\infty}</math> la distancia cordal. Demuestre que, en efecto, es una ''distancia'', es decir, satisface las condiciones:'''
:a)<math> d_{c}(z,w)\ge0 \textrm{ y } d_{c}(z,w)=0 \textrm{ si y solo si } z=w </math>
:b)<math> d_{c}(z,w)=d_c(w,z) </math>
:c)<math> d_c(z,w)\le d_{c}(z,u)+d_{c}(u,w) \textrm{, para cualquier }u\in\mathbb{C}_{\infty} </math>
:Solución:
:Solución:
::Para a)
::Observemos que a),b),c) no toma valores negativos, entonces:
::<math> 0=d(x,x) \le d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y) </math>
::<math> \therefore d(x,y)\ge 0</math>
::Para b)
::<math> |d(x,y)-d(y,z)|\le d(x,z) ,\qquad\forall x,y,z\in\mathbb{C} </math>usando b) y c) tenemos que:
::<math> d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)=d(x,z)+d(y,z) \Rightarrow d(y,z)-d(x,z)\le d(x,z) \Rightarrow |d(x,y)-d(y,z)|\le d(x,z) \forall x,y,z\in\mathbb{C}</math>
::<math> \therefore d(x,z)=d(y,x)</math>


::Siendo las raíces ''n''-ésimas de 1 tienen la siguiente forma:
----
::::::::::<math> \sqrt[n]{1} = u_k = |\sqrt[n]{1}|exp\left(\frac{2ik\pi\! + \theta\!_0}{n} \right)</math>  con  <math>0\le k\le n-1</math>


::Siendo : <math>\theta\!_0=0 rad</math> entonces:
'''2.4) (Teorema de Rolle) Si <math>a,b \in\mathbb{R}</math> con  a<b  y <math> f:[a,b]\to\mathbb{R}</math> es continua, y además es derivable en (a,b), demuestre que si <math>f(a)=f(b)</math>, existe un <math>\xi\in(a,b)</math> donde <math>f</math> alcanza su máximo o mínimo.'''
::::::::::<math> \sqrt[n]{1} = exp\left(\frac{2ik\pi\!}{n}\right) = cos\left(\frac{2k\pi\!}{n}\right) + isen\left(\frac{2k\pi\!}{n}\right) </math>
:Demostración:
:Como f es continua en [a,b], entonces:
::Si un poligono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vertices son puntos de la circunferencia y todos sus lados están incluidos dentro del círculo que esta define, entonces todas las raíces deberían cumplir que:
:<math> \exists x_{1},x_{2}\in[a,b] \textrm{ tal que } \forall x\in[a,b]\Rightarrow f(x_{1})\le f(x) \le f(x_{2}) </math>
:Si <math>f(x_{1})=f(x)</math> entonces <math>f</math> es constante y en este caso cualquier <math>x_{0}\in(a,b)</math> satisface <math> f´(x_{0})=0 </math>
:Si <math>x_{1}\in \{a,b\} \Rightarrow f(x_{1})=f(a)=f(b)</math>
::pero si: <math>f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \Rightarrow f(x_{2})\ne f(a) \land  f(x_{2})\ne f(b) \Rightarrow  x_{2}\notin \{a,b\} \Rightarrow x_{2}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{2})=0</math>
:Si <math>x_{2}\in \{a,b\} \Rightarrow x_{1}\notin \{a,b\} x_{1}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{1})=0</math>


::::::::<math> |\sqrt[n]{1}| = 1 = r_0</math> donde <math>r_0</math> es el radio de la cirunferencia unitaria
::Por lo que:
:::<math> |\sqrt[n]{1}| = \sqrt{cos^2\left(\frac{2k\pi\!}{n}\right) + sen^2\left(\frac{2k\pi\!}{n}\right)} = \sqrt{1} =1= r_o</math>


::Si todos los lados de un poligono regular son iguales, la distancia entre cada uno de los vértices debería ser la misma, siendo una magnitud que sólo dependiera del número de lados del poligono ''(veáse angulo interior central)''. Entonces:
----


::Sean las raíces n-ésimas donde <math> k = j </math> y <math> k= j+1 </math> tenemos que:
'''2.23) Muestre que la función <math> f(z)=f(x,y)= \sqrt{|xy|} </math> no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en 0.'''
:::<math> d= \frac{2(j+1)\pi\!+ \theta\!}{n}-\frac{2j\pi\!+ \theta\!}{n} = \frac{2\pi\!}{n}</math>
:Solución:
::por lo que si se recorre la circunferencia unitaria cada <math> \frac{2\pi\!}{n} </math> unidades, podemos asegurar que existe una raíz la cual es un vértice del polígono regular de ''n'' lados de norma 1.
:Tenemos que <math>u(x,y)= \sqrt{|xy|}, v(x,y)=0</math> utilizando la definición de derivada parcial:
:<math> u_{x}(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{u(h+0,0)-u(0,0)}{h}=0 \textrm{ con } h\in\mathbb{R}  </math>
:Se puede observar que:
:<math> u_{y}(0,0)=0, v_{x}(0,0) = v_{y}(0,0)=0 </math>
:<math> \therefore \textrm{satisfacen las ecuaciones de Riemann}</math>
:Pero si <math> h= h_{1}+ih_{2}</math>, entonces:
:<math> \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h_{1}h_{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{2}}</math>
:Si <math>h_{2} = h_{1} = 0</math>
:<math> \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} =0</math>
:Si <math> h_{1}=h_{2}</math>
:<math> \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}h_{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{2}} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}^{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{1}} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}|}{h_{1}+ih_{1}} = \frac{1}{1+i} \lim_{h_{1}\to 0} \frac{||h_{1}|}{h_{1}}</math>
:entonces:
:<math> \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}|}{h_{1}}</math>
:faltaaa
:<math> \therefore \textrm{f(z) no es diferenciable en} z =0 </math>

Revisión actual - 02:35 25 nov 2012

1.5 Sean w,z ∈ C. Demuestre los siguientes incisos:

Sean entonces:
(1)
Solución:
(2)
Solución:
(3)
Solución:
(6) (es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es igual a su conjugado).
Solución:
Sea , entonces:

1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi

(a)


(b)


(c)


(d)


(e)


(f)


(g)


(h)

1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1


y Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si

i escribimos en la forma polar

Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse

y

Como es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre es:

Obtenemos que todos los complejos de la forma son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos {0,1,...,n-1), con . Entonces

Así, todos los posibles valores de dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son

(Error al representar (función desconocida «\nonumber»): r=0,1,...,{}\nonumber\\ )

Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma = Como multiplicar por w es un giro de amplitud , deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, (con =1), con giros sucesivos de amplitud cuando , corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente

1,,,...,

1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado

Demostración

Sea Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.

Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.

Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que =

Esto es una contradicción.

Supongamos que y<0, entonces =

Esto es una contradicción

y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado

1.29) Si es una sucesión convergente en , demuestre que su límite es único. Si y son dos sucesiones convergentes, con límites , respectivamente, demuestre que:

1)La suma de las sucesiones converge a
2)El producto de las sucesiones converge a
3)El cociente (cuando está definido) de las sucesiones converge a

Demostración

Primero demostraremos que el límite es único.
Supongamos que la sucesión tuviera dos límites distintos, digamos
Sea >0. Entonces, por definición, existen números naturales tales que si y si .
Llamando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\} se debe cumplir que:

si y si . De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser

es una contradicción, entonces el límite es único.


1)Sea , existen enteros positivos y tales que si y si .

Tomando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\} se tiene:
para cada
Error al representar (error de sintaxis): \therefore a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})


2) Sea una sucesión convergente, entonces existe un t.q.

Entonces
Sin embargo tal que
Entonces
tomando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}= máx\{n_{1},n_{2}\} se tiene que Error al representar (error de sintaxis): ab = lím_{n}(a_{n}b_{n})


3)Consideremos una cota inferior para la sucesión en lugar de una acotación superior.

Puesto que 0 y |Error al representar (error de sintaxis): b|=lím_{n}|b_{n}| , sea existe tal que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}| , para .
Si , obtenemos:
Sea tal que:
Si tomamos debe cumplirse que
Para

1.69)Sea la distancia cordal. Demuestre que, en efecto, es una distancia, es decir, satisface las condiciones:

a)
b)
c)
Solución:
Para a)
Observemos que a),b),c) no toma valores negativos, entonces:
Para b)
usando b) y c) tenemos que:

2.4) (Teorema de Rolle) Si con a<b y es continua, y además es derivable en (a,b), demuestre que si , existe un donde alcanza su máximo o mínimo.

Demostración:
Como f es continua en [a,b], entonces:
Si entonces es constante y en este caso cualquier satisface Error al representar (error de sintaxis): f´(x_{0})=0
Si
pero si: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \Rightarrow f(x_{2})\ne f(a) \land f(x_{2})\ne f(b) \Rightarrow x_{2}\notin \{a,b\} \Rightarrow x_{2}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{2})=0
Si Error al representar (error de sintaxis): x_{2}\in \{a,b\} \Rightarrow x_{1}\notin \{a,b\} x_{1}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{1})=0



2.23) Muestre que la función no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en 0.

Solución:
Tenemos que utilizando la definición de derivada parcial:
Se puede observar que:
Pero si , entonces:
Si
Si
entonces:
faltaaa