Diferencia entre revisiones de «Usuario discusión:Cecilia Carrizosa Muñoz»

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::<math> \therefore \overline{zw}=\overline{z}*\overline{w}</math>  
 
::<math> \therefore \overline{zw}=\overline{z}*\overline{w}</math>  
  
:'''(6)'''<math> z\in{R} \Longleftrightarrow \overline{z}=z </math> (es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es
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:'''(6)'''<math> z\in{R} \Longleftrightarrow \overline{z}=z </math> (es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es igual a su conjugado).
::::igual a su conjugado).
 
 
::Solución:
 
::Solución:
 
::::Sea <math> z=a+0i=a </math>, entonces:
 
::::Sea <math> z=a+0i=a </math>, entonces:
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:: <math> \therefore \overline{z}=z </math>
 
:: <math> \therefore \overline{z}=z </math>
  
 
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''' 1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi '''
 
''' 1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi '''
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:'''(e)'''<math> (2+3i)(4-2i) </math>
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:'''(e)'''<math>\qquad (2+3i)(4-2i) </math>
::<math> \qquad (2+3i)(4-2i) =  </math>
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::<math> \qquad (2+3i)(4-2i) = 14+8i  </math>
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:'''(f)'''<math> \qquad \frac{3+4i}{5+2i} </math>
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::<math> \frac{3+4i}{5+2i} = \bigg(\frac{3+4i}{5+2i}\bigg)\bigg(\frac{5-2i}{5-2i}\bigg) = \frac{23+14i}{29}
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  =\frac{23}{29} + \frac{14}{29}i </math>
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:'''(g)'''<math> \frac{4}{2-3i} </math>
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::<math> \frac{4}{2-3i}=\frac{4}{2-3i}\bigg(\frac{2+3i}{2+3i}\bigg) = \frac{8+12i}{13} =
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  \frac{8}{13}+\frac{12}{13}i </math>
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:'''(h)'''<math> \frac{(2+i)(3+2i)}{1-i} </math>
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::<math> \frac{(2+i)(3+2i)}{1-i} = \frac{4+7i}{1-i} = \frac{4+7i}{1-i}\bigg(\frac{1+i}{1+i}\bigg)
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  = \frac{11+3i}{2} = \frac{11}{2}+\frac{3}{2}i </math>
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1.11 '''Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1'''
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<math>Sea z\in\mathbb{C}</math> y <math>n\geq2</math> Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si
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:<math>z^n=1</math>
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i escribimos en la forma polar
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:<math> z^n=r^ne^{in\theta}</math>
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Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse
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:<math>r^n=1</math> y <math>(\exists k\in Z)n\theta=2k\pi</math>
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''Como <math>r\geq 0</math>'' es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre <math>\theta</math> es:
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:<math>(\exists k\in Z)\theta=\frac{2k\pi}{n}</math>
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Obtenemos que todos los complejos de la forma <math>z=e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math> son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos <math>r\in</math> {0,1,...,n-1),<math>k=r+nl</math> con <math>l\in Z</math>. Entonces
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: <math> e^{i\frac{2k\pi}{n}} = e^{i\frac{2k\pi}{n}+{2l\pi}} = e^{i\frac{2k\pi}{n}}*1 = e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math>
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Así, todos los posibles valores de <math>\theta</math> dados anteriormente definen sólo '''n''' números complejos distintos: éstos son
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:<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}\qquad</math> (<math>r=0,1,...,{}\nonumber\\</math>)
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Estos valores son las exactamente '''n''' raíces n-ésimas de la unidad.
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Podemos escribir las raíces n-ésimas de '''la unidad''' en la forma  <math>z=z_{0}e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math>=<math>cos{\frac{2k\pi}{n}}+isen{\frac{2k\pi}{n}}</math>
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Como multiplicar por '''w''' es un giro de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math>, deducimos que las '''n''' raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, <math>z_{0}</math> (con <math>z_{0}</math>=1), con giros sucesivos de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math>
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<math>\therefore</math> cuando <math>n\geq 3</math>, corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de '''n''' lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el '''origen''' y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz '''z=1 (k=0)'''. Si escribimos <math>w_{n}=e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math> vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente
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:1,<math>w_{n}</math>,<math>w_{n}^2</math>,...,<math>w_{n}^{n-1}</math>
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1.17.- '''Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado'''
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Demostración
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Sea <math>\overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in v\qquad</math><math>\therefore\qquad y_{0}>0</math>
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Debemos mostrar que hay una bola abierta <math>B_{1}(\overline{v_{0}},v)</math> contenida en el plano superior.
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Sea <math>\overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in V</math> se tiene entonces que <math>y_{0}>0</math>. Elegimos <math>r=y_{0}</math> consideremos la bola abierta B<math>_{1}({v_{0}},y_{0})</math>, sea <math>\overline{v}=(x,y)\in B_{1}({v_{0}},y_{0})</math>se tiene entonces que <math>||\overline{v}-\overline{v_{0}}||<y_{0}</math>. Es decir <math>|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<y_{0}</math> y queremos ver que '''y>0''', procederemos por contradicción.
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Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que
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<math>|x-x_{0}|+|y-y_{0}|</math>=<math>|x-x_{0}|+|y_{0}|<y_{0}</math>
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Esto es una contradicción.
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Supongamos que y<0, entonces
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<math>|x-x_{0}|+|y-y_{0}|</math>=<math>|x-x_{0}|+(-y)+y_{0}<y_{0}</math>
 +
 
 +
Esto es una contradicción
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:<math>\therefore\qquad</math> <math>y\geq 0</math> y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado
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1.29) '''Si <math>{z_n}</math> es una sucesión convergente en <math>\mathbb{C}</math>, demuestre que su límite es único. Si <math>z_{n}</math> y<math>w_{n}</math> son dos sucesiones convergentes, con límites <math>L_{1} y L_{2}</math>, respectivamente, demuestre que:
 +
:1)La suma de las sucesiones <math>{a_n}+b_{n}</math> converge a <math>L_{1}+L_{2}</math>
 +
:2)El producto de las sucesiones <math>{a_n}b_{n}</math>converge a <math>L_{1}L_{2}</math>
 +
:3)El cociente (cuando está definido) de las sucesiones <math> \frac{a_{n}}{b_{n}}</math> converge a <math> \frac{L_{1}}{L_{2}} si L_{2}\ne0</math>
 +
 
 +
'''Demostración'''
 +
 
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:'''Primero demostraremos que el límite es único'''.
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::Supongamos que la sucesión <math>(a_{n})_{n}</math> tuviera dos límites distintos, digamos <math>a\neq b</math>
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:::Sea <math>\epsilon ={\frac{|a-b|}{4}}</math>>0. Entonces, por definición, existen números naturales <math>n_{1} y n_{2}</math> tales que <math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{2}</math>.
 +
:::Llamando <math>n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\}</math> se debe cumplir que:
 +
<math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{0}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon
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</math> si <math>n>n_{0}</math>. De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser
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:::<math>|a-b|=|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}| = \epsilon +\epsilon =2{\frac{|a-b|}{4}}={\frac{|a-b|}{2}}</math>
 +
:::<math>\therefore 1<{\frac{1}{2}}</math> es una contradicción, entonces '''el límite es único.'''
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 +
 
 +
'''1)'''Sea <math>\epsilon>0</math>, existen enteros positivos <math>n_{1} </math> y <math>n_{2}</math> tales que
 +
<math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math> n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math>n>n_{2}</math>.
 +
:Tomando <math>n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\}</math> se tiene:
 +
 
 +
::<math>|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}| \leq {\frac{\epsilon}{2}}+{\frac{\epsilon}{2}} = \epsilon</math> para cada <math>n>n_{0}</math>
 +
 
 +
::<math>\therefore a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})</math>
 +
 
 +
 
 +
'''2)''' Sea <math>a_{n}</math> una sucesión convergente, entonces existe un <math>\alpha>0</math> t.q. <math>|a_{n}|<\alpha </math> <math>\forall n \in\mathbb{N}</math>
 +
::Entonces
 +
::<math>|ab-a_{n}b_{n}|= |ab-a_{n}b+a_{n}b-a_{n}b_{n})|
 +
= |(a-a_{n})b+(b-b_{n})(a_{n})|
 +
\leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})||a_{n}|
 +
\leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})|\alpha</math>
 +
::Sin embargo <math> a = lim_{n}a_{n} \textrm{  y  } b=lim_{n}b_{n} , \epsilon>0 \textrm{  existen  } n_{1},n_{2}\in \mathbb{N} \qquad</math> tal que
 +
::<math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2(|b|+1)}} \textrm{ si  } n>n_{1} \qquad y \qquad |b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2\alpha}} \textrm{ si  }n>n_{2}</math>
 +
 
 +
::Entonces
 +
::<math>|ab-a_{n}b_{n}|< \frac{\epsilon}{2(|b|)} + \frac{\epsilon \alpha}{2\alpha} = \epsilon</math>
 +
 
 +
::tomando <math>n_{0}= máx\{n_{1},n_{2}\}</math> se tiene que <math> ab = lím_{n}(a_{n}b_{n}) </math>
 +
 
 +
 
 +
'''3)'''Consideremos una cota inferior para la sucesión <math>(b_{n})_{n}</math> en lugar de una acotación superior.
 +
::Puesto que <math>b\neq</math> 0 y |<math>b|=lím_{n}|b_{n}|</math>, sea <math>\epsilon ={\frac{|b|}{2}}</math> existe <math>n_{1}\in \mathbb{N}</math> tal que <math>\\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}|</math>, para <math>n>n_{1}</math>.
 +
::Si <math>n>n_{1}</math>, obtenemos:
 +
:<math> \bigg|\frac{a}{b}- \frac{a_{n}}{b_{n}}\bigg| \frac{|ab_{n}-ba_{n}|}{|b||b_{n}|} = \frac{|ab_{n}-ab+ab-a_{n}b|}{|b||b_{n}|} \le \frac{|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b||b_{n}|} \le \frac{|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b|\alpha} </math>
 +
:: Sea <math>\epsilon>0 \textrm{  existen  } n_{2},n_{3}\in \mathbb{N} \qquad</math>tal que:
 +
:<math>|b-b_{n}|< \frac{\epsilon}{2(|\alpha|+1)}|b|\alpha \textrm{ si } n>n_{2} \textrm{  y  }|a-a_{n}|<\frac{\epsilon}{2|b|}|a|\alpha \textrm{ si } n>n_{3} </math>
 +
::Si tomamos <math> n_{0}:=max\{n,n_{2},n_{3}\} </math> debe cumplirse que
 +
: <math>\bigg|\frac{a}{b}- \frac{a_{n}}{b_{n}}\bigg| \le \frac{|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b|\alpha} < \frac{\epsilon}{2(|\alpha|+1)}|\alpha|+\frac{\epsilon}{2|b|}|b| < \epsilon</math>
 +
::Para <math>n>n_{0}</math>
 +
:<math> \lim_{n \rightarrow 00}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b} \qquad b_{n}\ne0 \textrm{ y } b\ne0</math>
 +
 
 +
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 +
 
 +
'''1.69)Sea <math>d_{c}:\mathbb{C}_{\infty}\times\mathbb{C}_{\infty}\to\mathbb{C}_{\infty}</math> la distancia cordal. Demuestre que, en efecto, es una ''distancia'', es decir, satisface las condiciones:'''
 +
:a)<math> d_{c}(z,w)\ge0 \textrm{ y } d_{c}(z,w)=0 \textrm{ si y solo si } z=w </math>
 +
:b)<math> d_{c}(z,w)=d_c(w,z) </math>
 +
:c)<math> d_c(z,w)\le d_{c}(z,u)+d_{c}(u,w) \textrm{, para cualquier }u\in\mathbb{C}_{\infty} </math>
 +
:Solución:
 +
::Para a)
 +
::Observemos que a),b),c) no toma valores negativos, entonces:
 +
::<math> 0=d(x,x) \le d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y) </math>
 +
::<math> \therefore d(x,y)\ge 0</math>
 +
::Para b)
 +
::<math> |d(x,y)-d(y,z)|\le d(x,z) ,\qquad\forall x,y,z\in\mathbb{C} </math>usando b) y c) tenemos que:
 +
::<math> d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)=d(x,z)+d(y,z) \Rightarrow d(y,z)-d(x,z)\le d(x,z) \Rightarrow |d(x,y)-d(y,z)|\le d(x,z) \forall x,y,z\in\mathbb{C}</math>
 +
::<math> \therefore d(x,z)=d(y,x)</math>
 +
 
 +
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 +
 
 +
'''2.4) (Teorema de Rolle) Si <math>a,b \in\mathbb{R}</math> con  a<b  y <math> f:[a,b]\to\mathbb{R}</math> es continua, y además es derivable en (a,b), demuestre que si <math>f(a)=f(b)</math>, existe un <math>\xi\in(a,b)</math> donde <math>f</math> alcanza su máximo o mínimo.'''
 +
:Demostración:
 +
:Como f es continua en [a,b], entonces:
 +
:<math> \exists x_{1},x_{2}\in[a,b] \textrm{ tal que } \forall x\in[a,b]\Rightarrow f(x_{1})\le f(x) \le f(x_{2}) </math>
 +
:Si <math>f(x_{1})=f(x)</math> entonces <math>f</math> es constante y en este caso cualquier <math>x_{0}\in(a,b)</math> satisface <math> f´(x_{0})=0 </math>
 +
:Si <math>x_{1}\in \{a,b\} \Rightarrow f(x_{1})=f(a)=f(b)</math>
 +
::pero si: <math>f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \Rightarrow f(x_{2})\ne f(a) \land  f(x_{2})\ne f(b) \Rightarrow  x_{2}\notin \{a,b\} \Rightarrow x_{2}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{2})=0</math>
 +
:Si <math>x_{2}\in \{a,b\} \Rightarrow x_{1}\notin \{a,b\} x_{1}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{1})=0</math>
 +
 
  
 +
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:'''(f)'''
+
'''2.23) Muestre que la función <math> f(z)=f(x,y)= \sqrt{|xy|} </math> no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en 0.'''
 +
:Solución:
 +
:Tenemos que <math>u(x,y)= \sqrt{|xy|}, v(x,y)=0</math> utilizando la definición de derivada parcial:
 +
:<math> u_{x}(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{u(h+0,0)-u(0,0)}{h}=0 \textrm{ con } h\in\mathbb{R}  </math>
 +
:Se puede observar que:
 +
:<math> u_{y}(0,0)=0, v_{x}(0,0) = v_{y}(0,0)=0 </math>
 +
:<math> \therefore \textrm{satisfacen las ecuaciones de Riemann}</math>
 +
:Pero si <math> h= h_{1}+ih_{2}</math>, entonces:
 +
:<math> \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h_{1}h_{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{2}}</math>
 +
:Si <math>h_{2} = h_{1} = 0</math>
 +
:<math> \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} =0</math>
 +
:Si <math> h_{1}=h_{2}</math>
 +
:<math> \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}h_{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{2}} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}^{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{1}} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}|}{h_{1}+ih_{1}} = \frac{1}{1+i} \lim_{h_{1}\to 0} \frac{||h_{1}|}{h_{1}}</math>
 +
:entonces:
 +
:<math> \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}|}{h_{1}}</math>
 +
:faltaaa
 +
:<math> \therefore \textrm{f(z) no es diferenciable en} z =0 </math>

Revisión actual - 02:35 25 nov 2012

1.5 Sean w,z ∈ C. Demuestre los siguientes incisos:

Sean \(z=a+ib \qquad y \qquad w=c+id\) entonces:
(1) \(\overline{\overline{z}}=z\)
Solución:
\[\overline{\overline{z}}=\overline{\overline{(a+ib)}}=\overline{(a-ib)}=a+ib=z\]
\[ \therefore \overline{\overline{z}}=z\]
(2)\( \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w} \)
Solución:
\[ \overline{z+w}=\overline{(a+ib)+(c+id)}=\overline{(a+c)+(b+d)i} = (a+c)-(b+d)i = \]
\[= (a-bi)+(c-di) = \overline{z}+\overline{w}\]
\[ \therefore \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w} \]
(3)\(\overline{zw}=\overline{z}*\overline{w}\)
Solución:
\[\overline{zw}=\overline{(a+ib)(c+id)}= \overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}= (ac-bd)-(ad+bc)i = ac-iad+bd-icd =\]
\[= ac-iad+i^2bd-icb = a(c-id)-ib(c-id) = (a-ib)(c-id) = \overline{z}*\overline{w}\]
\[ \therefore \overline{zw}=\overline{z}*\overline{w}\]
(6)\( z\in{R} \Longleftrightarrow \overline{z}=z \) (es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es igual a su conjugado).
Solución:
Sea \( z=a+0i=a \), entonces:
\[ \overline{z} = \overline{a+0i} = a-0i = a \]
\[ \therefore \overline{z}=z \]

1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi

(a)\( \qquad(3+2i)(5-3i) \)
\[ \qquad(3+2i)(5-3i) = (3*5)+(2*-3)i = 15-6i \]


(b)\( \qquad(5+7i)-(4-2i) \)
\[ \qquad(5+7i)-(4-2i) = -20+14i \]


(c)\(\qquad 3i-(-7+2i) \)
\[ \qquad 3i-(-7+2i) = 7+(3-2)i = 7+i\]


(d)\( 5 + \bigg(\frac{1}{2}-3i\bigg) \)
\[ 5 + \bigg(\frac{1}{2}-3i\bigg) = \frac{11}{2}-3i \]


(e)\(\qquad (2+3i)(4-2i) \)
\[ \qquad (2+3i)(4-2i) = 14+8i \]


(f)\( \qquad \frac{3+4i}{5+2i} \)
\[ \frac{3+4i}{5+2i} = \bigg(\frac{3+4i}{5+2i}\bigg)\bigg(\frac{5-2i}{5-2i}\bigg) = \frac{23+14i}{29} =\frac{23}{29} + \frac{14}{29}i \]


(g)\( \frac{4}{2-3i} \)
\[ \frac{4}{2-3i}=\frac{4}{2-3i}\bigg(\frac{2+3i}{2+3i}\bigg) = \frac{8+12i}{13} = \frac{8}{13}+\frac{12}{13}i \]


(h)\( \frac{(2+i)(3+2i)}{1-i} \)
\[ \frac{(2+i)(3+2i)}{1-i} = \frac{4+7i}{1-i} = \frac{4+7i}{1-i}\bigg(\frac{1+i}{1+i}\bigg) = \frac{11+3i}{2} = \frac{11}{2}+\frac{3}{2}i \]

1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1


\(Sea z\in\mathbb{C}\) y \(n\geq2\) Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si \[z^n=1\]

i escribimos en la forma polar \[ z^n=r^ne^{in\theta}\]

Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse \[r^n=1\] y \((\exists k\in Z)n\theta=2k\pi\) Como \(r\geq 0\) es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre \(\theta\) es: \[(\exists k\in Z)\theta=\frac{2k\pi}{n}\]

Obtenemos que todos los complejos de la forma \(z=e^{i\frac{2k\pi}{n}}\) son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos \(r\in\) {0,1,...,n-1),\(k=r+nl\) con \(l\in Z\). Entonces

\[ e^{i\frac{2k\pi}{n}} = e^{i\frac{2k\pi}{n}+{2l\pi}} = e^{i\frac{2k\pi}{n}}*1 = e^{i\frac{2k\pi}{n}}\] Así, todos los posibles valores de \(\theta\) dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son

\[e^{i\frac{2k\pi}{n}}\qquad\] (\(r=0,1,...,{}\nonumber\\\))

Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma \(z=z_{0}e^{i\frac{2k\pi}{n}}\)=\(cos{\frac{2k\pi}{n}}+isen{\frac{2k\pi}{n}}\) Como multiplicar por w es un giro de amplitud \(\frac{2\pi}{n}\), deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, \(z_{0}\) (con \(z_{0}\)=1), con giros sucesivos de amplitud \(\frac{2\pi}{n}\) \(\therefore\) cuando \(n\geq 3\), corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos \(w_{n}=e^{i\frac{2k\pi}{n}}\) vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente

1,\(w_{n}\),\(w_{n}^2\),...,\(w_{n}^{n-1}\)

1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado

Demostración

Sea \(\overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in v\qquad\)\(\therefore\qquad y_{0}>0\) Debemos mostrar que hay una bola abierta \(B_{1}(\overline{v_{0}},v)\) contenida en el plano superior.

Sea \(\overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in V\) se tiene entonces que \(y_{0}>0\). Elegimos \(r=y_{0}\) consideremos la bola abierta B\(_{1}({v_{0}},y_{0})\), sea \(\overline{v}=(x,y)\in B_{1}({v_{0}},y_{0})\)se tiene entonces que \(||\overline{v}-\overline{v_{0}}||<y_{0}\). Es decir \(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<y_{0}\) y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.

Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que \(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\)=\(|x-x_{0}|+|y_{0}|<y_{0}\)

Esto es una contradicción.

Supongamos que y<0, entonces \(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\)=\(|x-x_{0}|+(-y)+y_{0}<y_{0}\)

Esto es una contradicción

\[\therefore\qquad\] \(y\geq 0\) y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado


1.29) Si \({z_n}\) es una sucesión convergente en \(\mathbb{C}\), demuestre que su límite es único. Si \(z_{n}\) y\(w_{n}\) son dos sucesiones convergentes, con límites \(L_{1} y L_{2}\), respectivamente, demuestre que:

1)La suma de las sucesiones \({a_n}+b_{n}\) converge a \(L_{1}+L_{2}\)
2)El producto de las sucesiones \({a_n}b_{n}\)converge a \(L_{1}L_{2}\)
3)El cociente (cuando está definido) de las sucesiones \( \frac{a_{n}}{b_{n}}\) converge a \( \frac{L_{1}}{L_{2}} si L_{2}\ne0\)

Demostración

Primero demostraremos que el límite es único.
Supongamos que la sucesión \((a_{n})_{n}\) tuviera dos límites distintos, digamos \(a\neq b\)
Sea \(\epsilon ={\frac{|a-b|}{4}}\)>0. Entonces, por definición, existen números naturales \(n_{1} y n_{2}\) tales que \(|a-a_{n}|<\epsilon \) si \(n>n_{1}\) y \(|b-b_{n}|<\epsilon \) si \(n>n_{2}\).
Llamando \(n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\}\) se debe cumplir que\[|a-a_{n}|<\epsilon \] si \(n>n_{0}\) y \(|b-b_{n}|<\epsilon \) si \(n>n_{0}\). De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser
\[|a-b|=|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}| = \epsilon +\epsilon =2{\frac{|a-b|}{4}}={\frac{|a-b|}{2}}\]
\[\therefore 1<{\frac{1}{2}}\] es una contradicción, entonces el límite es único.


1)Sea \(\epsilon>0\), existen enteros positivos \(n_{1} \) y \(n_{2}\) tales que \(|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} \) si \( n>n_{1}\) y \(|b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} \) si \(n>n_{2}\).

Tomando \(n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\}\) se tiene:
\[|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}| \leq {\frac{\epsilon}{2}}+{\frac{\epsilon}{2}} = \epsilon\] para cada \(n>n_{0}\)
\[\therefore a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})\]


2) Sea \(a_{n}\) una sucesión convergente, entonces existe un \(\alpha>0\) t.q. \(|a_{n}|<\alpha \) \(\forall n \in\mathbb{N}\)

Entonces
\[|ab-a_{n}b_{n}|= |ab-a_{n}b+a_{n}b-a_{n}b_{n})| = |(a-a_{n})b+(b-b_{n})(a_{n})| \leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})||a_{n}| \leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})|\alpha\]
Sin embargo \( a = lim_{n}a_{n} \textrm{ y } b=lim_{n}b_{n} , \epsilon>0 \textrm{ existen } n_{1},n_{2}\in \mathbb{N} \qquad\) tal que
\[|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2(|b|+1)}} \textrm{ si } n>n_{1} \qquad y \qquad |b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2\alpha}} \textrm{ si }n>n_{2}\]
Entonces
\[|ab-a_{n}b_{n}|< \frac{\epsilon}{2(|b|)} + \frac{\epsilon \alpha}{2\alpha} = \epsilon\]
tomando \(n_{0}= máx\{n_{1},n_{2}\}\) se tiene que \( ab = lím_{n}(a_{n}b_{n}) \)


3)Consideremos una cota inferior para la sucesión \((b_{n})_{n}\) en lugar de una acotación superior.

Puesto que \(b\neq\) 0 y |\(b|=lím_{n}|b_{n}|\), sea \(\epsilon ={\frac{|b|}{2}}\) existe \(n_{1}\in \mathbb{N}\) tal que \(\\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}|\), para \(n>n_{1}\).
Si \(n>n_{1}\), obtenemos:

\[ \bigg|\frac{a}{b}- \frac{a_{n}}{b_{n}}\bigg| = \frac{|ab_{n}-ba_{n}|}{|b||b_{n}|} = \frac{|ab_{n}-ab+ab-a_{n}b|}{|b||b_{n}|} \le \frac{|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b||b_{n}|} \le \frac{|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b|\alpha} \]

Sea \(\epsilon>0 \textrm{ existen } n_{2},n_{3}\in \mathbb{N} \qquad\)tal que:

\[|b-b_{n}|< \frac{\epsilon}{2(|\alpha|+1)}|b|\alpha \textrm{ si } n>n_{2} \textrm{ y }|a-a_{n}|<\frac{\epsilon}{2|b|}|a|\alpha \textrm{ si } n>n_{3} \]

Si tomamos \( n_{0}:=max\{n,n_{2},n_{3}\} \) debe cumplirse que

\[\bigg|\frac{a}{b}- \frac{a_{n}}{b_{n}}\bigg| \le \frac{|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b|\alpha} < \frac{\epsilon}{2(|\alpha|+1)}|\alpha|+\frac{\epsilon}{2|b|}|b| < \epsilon\]

Para \(n>n_{0}\)

\[ \lim_{n \rightarrow 00}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b} \qquad b_{n}\ne0 \textrm{ y } b\ne0\]


1.69)Sea \(d_{c}:\mathbb{C}_{\infty}\times\mathbb{C}_{\infty}\to\mathbb{C}_{\infty}\) la distancia cordal. Demuestre que, en efecto, es una distancia, es decir, satisface las condiciones:

a)\( d_{c}(z,w)\ge0 \textrm{ y } d_{c}(z,w)=0 \textrm{ si y solo si } z=w \)
b)\( d_{c}(z,w)=d_c(w,z) \)
c)\( d_c(z,w)\le d_{c}(z,u)+d_{c}(u,w) \textrm{, para cualquier }u\in\mathbb{C}_{\infty} \)
Solución:
Para a)
Observemos que a),b),c) no toma valores negativos, entonces:
\[ 0=d(x,x) \le d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y) \]
\[ \therefore d(x,y)\ge 0\]
Para b)
\[ |d(x,y)-d(y,z)|\le d(x,z) ,\qquad\forall x,y,z\in\mathbb{C} \]usando b) y c) tenemos que:
\[ d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)=d(x,z)+d(y,z) \Rightarrow d(y,z)-d(x,z)\le d(x,z) \Rightarrow |d(x,y)-d(y,z)|\le d(x,z) \forall x,y,z\in\mathbb{C}\]
\[ \therefore d(x,z)=d(y,x)\]

2.4) (Teorema de Rolle) Si \(a,b \in\mathbb{R}\) con a<b y \( f:[a,b]\to\mathbb{R}\) es continua, y además es derivable en (a,b), demuestre que si \(f(a)=f(b)\), existe un \(\xi\in(a,b)\) donde \(f\) alcanza su máximo o mínimo.

Demostración:
Como f es continua en [a,b], entonces:

\[ \exists x_{1},x_{2}\in[a,b] \textrm{ tal que } \forall x\in[a,b]\Rightarrow f(x_{1})\le f(x) \le f(x_{2}) \]

Si \(f(x_{1})=f(x)\) entonces \(f\) es constante y en este caso cualquier \(x_{0}\in(a,b)\) satisface \( f´(x_{0})=0 \)
Si \(x_{1}\in \{a,b\} \Rightarrow f(x_{1})=f(a)=f(b)\)
pero si\[f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \Rightarrow f(x_{2})\ne f(a) \land f(x_{2})\ne f(b) \Rightarrow x_{2}\notin \{a,b\} \Rightarrow x_{2}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{2})=0\]
Si \(x_{2}\in \{a,b\} \Rightarrow x_{1}\notin \{a,b\} x_{1}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{1})=0\)



2.23) Muestre que la función \( f(z)=f(x,y)= \sqrt{|xy|} \) no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en 0.

Solución:
Tenemos que \(u(x,y)= \sqrt{|xy|}, v(x,y)=0\) utilizando la definición de derivada parcial:

\[ u_{x}(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{u(h+0,0)-u(0,0)}{h}=0 \textrm{ con } h\in\mathbb{R} \]

Se puede observar que:

\[ u_{y}(0,0)=0, v_{x}(0,0) = v_{y}(0,0)=0 \] \[ \therefore \textrm{satisfacen las ecuaciones de Riemann}\]

Pero si \( h= h_{1}+ih_{2}\), entonces:

\[ \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h_{1}h_{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{2}}\]

Si \(h_{2} = h_{1} = 0\)

\[ \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} =0\]

Si \( h_{1}=h_{2}\)

\[ \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}h_{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{2}} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}^{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{1}} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}|}{h_{1}+ih_{1}} = \frac{1}{1+i} \lim_{h_{1}\to 0} \frac{||h_{1}|}{h_{1}}\]

entonces:

\[ \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}|}{h_{1}}\]

faltaaa

\[ \therefore \textrm{f(z) no es diferenciable en} z =0 \]