Diferencia entre revisiones de «Usuario discusión:Cecilia Carrizosa Muñoz»
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::pero si: <math>f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \Rightarrow f(x_{2})\ne f(a) \land f(x_{2})\ne f(b) \Rightarrow x_{2}\notin \{a,b\} \Rightarrow x_{2}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{2})=0</math> | ::pero si: <math>f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \Rightarrow f(x_{2})\ne f(a) \land f(x_{2})\ne f(b) \Rightarrow x_{2}\notin \{a,b\} \Rightarrow x_{2}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{2})=0</math> | ||
:Si <math>x_{2}\in \{a,b\} \Rightarrow x_{1}\notin \{a,b\} x_{1}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{1})=0</math> | :Si <math>x_{2}\in \{a,b\} \Rightarrow x_{1}\notin \{a,b\} x_{1}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{1})=0</math> | ||
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'''2.23) Muestre que la función <math> f(z)=f(x,y)= \sqrt{|xy|} </math> no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en 0.''' | |||
:Solución: | |||
:Tenemos que <math>u(x,y)= \sqrt{|xy|}, v(x,y)=0</math> utilizando la definición de derivada parcial: | |||
:<math> u_{x}(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{u(h+0,0)-u(0,0)}{h}=0 \textrm{ con } h\in\mathbb{R} </math> | |||
:Se puede observar que: | |||
:<math> u_{y}(0,0)=0, v_{x}(0,0) = v_{y}(0,0)=0 </math> | |||
:<math> \therefore \textrm{satisfacen las ecuaciones de Riemann}</math> | |||
:Pero si <math> h= h_{1}+ih_{2}</math>, entonces: | |||
:<math> \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h_{1}h_{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{2}}</math> | |||
:Si <math>h_{2} = h_{1} = 0</math> | |||
:<math> \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} =0</math> | |||
:Si <math> h_{1}=h_{2}</math> | |||
:<math> \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}h_{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{2}} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}^{2}|^{1/2}}{h_{1}+ih_{1}} = \lim_{h_{1}\to 0} \frac{|h_{1}|}{h_{1}+ih_{1}} = \frac{1}{1+i} \lim_{h_{1}\to 0} \frac{||h_{1}}{h_{1}}</math> | |||
:entonces: |
Revisión del 03:12 25 nov 2012
1.5 Sean w,z ∈ C. Demuestre los siguientes incisos:
- Sean entonces:
- (1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\overline{z}}=z
- Solución:
- Solución:
- (2)
- Solución:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{z+w}=\overline{(a+ib)+(c+id)}=\overline{(a+c)+(b+d)i} = (a+c)-(b+d)i =
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): = (a-bi)+(c-di) = \overline{z}+\overline{w}
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{z+w}=\overline{(a+ib)+(c+id)}=\overline{(a+c)+(b+d)i} = (a+c)-(b+d)i =
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}
- Solución:
- (3)
- Solución:
-
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): = ac-iad+i^2bd-icb = a(c-id)-ib(c-id) = (a-ib)(c-id) = \overline{z}*\overline{w}
-
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore \overline{zw}=\overline{z}*\overline{w}
- Solución:
- (6)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z\in{R} \Longleftrightarrow \overline{z}=z
(es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es igual a su conjugado).
- Solución:
- Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z=a+0i=a
, entonces:
- Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z=a+0i=a
, entonces:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore \overline{z}=z
- Solución:
1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi
- (a)
- (b)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad(5+7i)-(4-2i)
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad(5+7i)-(4-2i) = -20+14i
- (c)
- (d)
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 5 + \bigg(\frac{1}{2}-3i\bigg) = \frac{11}{2}-3i
- (e)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad (2+3i)(4-2i)
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad (2+3i)(4-2i) = 14+8i
- (f)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad \frac{3+4i}{5+2i}
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{3+4i}{5+2i} = \bigg(\frac{3+4i}{5+2i}\bigg)\bigg(\frac{5-2i}{5-2i}\bigg) = \frac{23+14i}{29} =\frac{23}{29} + \frac{14}{29}i
- (g)
- (h)
1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n\geq2
Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z^n=1
i escribimos en la forma polar
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z^n=r^ne^{in\theta}
Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse
- y
Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r\geq 0 es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre es:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (\exists k\in Z)\theta=\frac{2k\pi}{n}
Obtenemos que todos los complejos de la forma son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos {0,1,...,n-1),Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k=r+nl con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): l\in Z . Entonces
Así, todos los posibles valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \theta dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{i\frac{2k\pi}{n}}\qquad (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r=0,1,...,{}\nonumber\\ )
Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma = Como multiplicar por w es un giro de amplitud , deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, (con =1), con giros sucesivos de amplitud cuando , corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente
- 1,,,...,
1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado
Demostración
Sea Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.
Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.
Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que =
Esto es una contradicción.
Supongamos que y<0, entonces =
Esto es una contradicción
- y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado
1.29) Si es una sucesión convergente en , demuestre que su límite es único. Si y son dos sucesiones convergentes, con límites , respectivamente, demuestre que:
- 1)La suma de las sucesiones converge a
- 2)El producto de las sucesiones converge a
- 3)El cociente (cuando está definido) de las sucesiones converge a
Demostración
- Primero demostraremos que el límite es único.
- Supongamos que la sucesión tuviera dos límites distintos, digamos
- Sea >0. Entonces, por definición, existen números naturales tales que si y si .
- Llamando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\} se debe cumplir que:
si y si . De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser
- es una contradicción, entonces el límite es único.
1)Sea , existen enteros positivos y tales que
si y si .
- Tomando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\} se tiene:
- para cada
- Error al representar (error de sintaxis): \therefore a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})
2) Sea una sucesión convergente, entonces existe un t.q.
- Entonces
- Sin embargo tal que
- Entonces
- tomando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}= máx\{n_{1},n_{2}\} se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ab = lím_{n}(a_{n}b_{n})
3)Consideremos una cota inferior para la sucesión en lugar de una acotación superior.
- Puesto que 0 y |Error al representar (error de sintaxis): b|=lím_{n}|b_{n}| , sea existe tal que Error al representar (error de sintaxis): \\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}| , para .
- Si , obtenemos:
-
- Sea tal que:
-
- Si tomamos debe cumplirse que
-
- Para
1.69)Sea la distancia cordal. Demuestre que, en efecto, es una distancia, es decir, satisface las condiciones:
- a)
- b)
- c)
- Solución:
- Para a)
- Observemos que a),b),c) no toma valores negativos, entonces:
- Para b)
- usando b) y c) tenemos que:
2.4) (Teorema de Rolle) Si con y es continua, y además es derivable en (a,b), demuestre que si , existe un donde alcanza su máximo o mínimo.
- Demostración:
- Como f es continua en [a,b], entonces:
- Si entonces es constante y en este caso cualquier satisface Error al representar (error de sintaxis): f´(x_{0})=0
- Si
- pero si: Error al representar (error de sintaxis): f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \Rightarrow f(x_{2})\ne f(a) \land f(x_{2})\ne f(b) \Rightarrow x_{2}\notin \{a,b\} \Rightarrow x_{2}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{2})=0
- Si Error al representar (error de sintaxis): x_{2}\in \{a,b\} \Rightarrow x_{1}\notin \{a,b\} x_{1}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{1})=0
2.23) Muestre que la función no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en 0.
- Solución:
- Tenemos que utilizando la definición de derivada parcial:
- Se puede observar que:
- Pero si , entonces:
- Si
- Si
- entonces: