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| ::'''1)'''Sea <math>\epsilon>0</math>, existen enteros positivos <math>n_{1} </math> y <math>n_{2}</math> tales que
| | '''1)'''Sea <math>\epsilon>0</math>, existen enteros positivos <math>n_{1} </math> y <math>n_{2}</math> tales que |
| <math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math> n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math>n>n_{2}</math>. | | <math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math> n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math>n>n_{2}</math>. |
| :Tomando <math>n_{0}=máxn_{1},n_{2}</math> se tiene: | | :Tomando <math>n_{0}=máxn_{1},n_{2}</math> se tiene: |
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| ::'''2)''' Sea <math>a_{n}</math> una sucesión convergente, entonces existe un <math>\alpha>0</math> t.q. <math>|a_{n}|<\alpha </math> <math>\forall n \in\mathbb{n}</math>
| | '''2)''' Sea <math>a_{n}</math> una sucesión convergente, entonces existe un <math>\alpha>0</math> t.q. <math>|a_{n}|<\alpha </math> <math>\forall n \in\mathbb{N}</math> |
| Entonces | | ::Entonces |
| <math>|ab-a_{n}b_{n}|= |ab-a_{n}b+a_{n}b-a_{n}b_{n})| | | ::<math>|ab-a_{n}b_{n}|= |ab-a_{n}b+a_{n}b-a_{n}b_{n})| |
| = |(a-a_{n})b+(b-b_{n})(a_{n})| | | = |(a-a_{n})b+(b-b_{n})(a_{n})| |
| \leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})||a_{n}| | | \leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})||a_{n}| |
| \leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})|\alpha</math> | | \leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})|\alpha</math> |
| Sin embargo | | ::Sin embargo <math> a = lim_{n}a_{n} \textrm{ y } b=lim_{n}b_{n} , \epsilon>0 \textrm{ existen } n_{1},n_{2}\in \mathbb{N} \qquad</math> tal que |
| a=<math>lim_{n}a_{n}</math> y b=<math>lim_{n}b_{n}</math>, <math>\epsilon</math> >0, existen <math>n_{1},n_{2}\in \mathbb{N}</math> t.q.
| | ::<math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2(|b|+1)}} \textrm{ si } n>n_{1} \qquad y \qquad |b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2\alpha}} \textrm{ si }n>n_{2}</math> |
| <<math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2(|b|+1)}}</math> si <math>n>n_{1}</math>
| |
| y <math>|b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2\alpha}}</math> si <math>n>n_{2}</math> | |
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| Entonces | | ::Entonces |
| <math>|ab-a_{n}b_{n}|< {\frac{\epsilon}{2(|b|)}}+{\frac{\epsilon \alpha}{2\alpha}}=\epsilon</math> | | ::<math>|ab-a_{n}b_{n}|< \frac{\epsilon}{2(|b|)} + \frac{\epsilon \alpha}{2\alpha} = \epsilon</math> |
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| tomando <math>n_{0}=máxn_{1},n_{2}</math> se tiene que | | ::tomando <math>n_{0}=máxn_{1},n_{2}</math> se tiene que <math>ab=lím_{n}(a_{n}b_{n})</math> |
| <math>ab=lím_{n}(a_{n}b_{n})</math> | |
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| 3)Consideremos una cota inferior para la sucesión (b_{n})_{n} en lugar de una acotación superior. Puesto que <math>b\neq</math> 0 y |<math>b|=lím_{n}|b_{n}|</math>, sea <math>\epsilon ={\frac{|b|}{2}}</math> existe <math>n_{1}\in \mathbb{N}</math> t.q. | | |
| | '''3)'''Consideremos una cota inferior para la sucesión <math>(b_{n})_{n}</math> en lugar de una acotación superior. |
| | Puesto que <math>b\neq</math> 0 y |<math>b|=lím_{n}|b_{n}|</math>, sea <math>\epsilon ={\frac{|b|}{2}}</math> existe <math>n_{1}\in \mathbb{N}</math> t.q. |
| <math>\\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}|</math>, para <math>n>n_{1}</math>. | | <math>\\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}|</math>, para <math>n>n_{1}</math>. |
| Si <math>n>n_{1}</math>, obtenemos | | ::Si <math>n>n_{1}</math>, obtenemos |
| <math>|{\frac{a}{b}}-{\frac{a_{n}}{b_{n}}}|</math>=<math>|{\frac{ab_{n}-ba_{n}}{bb_{n}}}|</math> | | <math>|{\frac{a}{b}}-{\frac{a_{n}}{b_{n}}}|</math>=<math>|{\frac{ab_{n}-ba_{n}}{bb_{n}}}|</math> |
| ={\frac{|ab_{n}-ab+ab-a_{n}b|}{|b||b_{n}} | | ={\frac{|ab_{n}-ab+ab-a_{n}b|}{|b||b_{n}} |
1.5 Sean w,z ∈ C. Demuestre los siguientes incisos:
- Sean entonces:
- (1)
- Solución:
- (2)
- Solución:
-
- (3)
- Solución:
-
- (6) (es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es igual a su conjugado).
- Solución:
- Sea , entonces:
1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (e)
- (f)
- (g)
- (h)
1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1
y Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si
i escribimos en la forma polar
Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse
- y
Como es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre es:
Obtenemos que todos los complejos de la forma son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos {0,1,...,n-1), con . Entonces
Así, todos los posibles valores de dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son
- (Error al representar (función desconocida «\nonumber»): r=0,1,...,{}\nonumber\\
)
Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad.
Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma =
Como multiplicar por w es un giro de amplitud , deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, (con =1), con giros sucesivos de amplitud
cuando , corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente
- 1,,,...,
1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado
Demostración
Sea
Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.
Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.
Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que
=
Esto es una contradicción.
Supongamos que y<0, entonces
=
Esto es una contradicción
- y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado
1.29) Si es una sucesión convergente en , demuestre que su límite es único. Si y son dos sucesiones convergentes, con límites , respectivamente, demuestre que:
- 1)La suma de las sucesiones converge a
- 2)El producto de las sucesiones converge a
- 3)El cociente de las sucesiones Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{\frac{a_{n}}{b_{n}}}}
converge a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\frac{L_{1}}{L_{2}}}
Demostración
- Primero demostraremos que el límite es único.
- Supongamos que la sucesión tuviera dos límites distintos, digamos
- Sea >0. Entonces, por definición, existen números naturales tales que si y si .
- Llamando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}=máx{n_{1},n_{2}}
se debe cumplir que:
si y si . De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser
- es una contradicción, entonces el límite es único.
1)Sea , existen enteros positivos y tales que
si y si .
- Tomando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}=máxn_{1},n_{2}
se tiene:
- para cada
- Error al representar (error de sintaxis): \therefore a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})
2) Sea una sucesión convergente, entonces existe un t.q.
- Entonces
- Sin embargo tal que
- Entonces
- tomando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n_{0}=máxn_{1},n_{2}
se tiene que Error al representar (error de sintaxis): ab=lím_{n}(a_{n}b_{n})
3)Consideremos una cota inferior para la sucesión en lugar de una acotación superior.
Puesto que 0 y |Error al representar (error de sintaxis): b|=lím_{n}|b_{n}|
, sea existe t.q.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}|
, para .
- Si , obtenemos
=
={\frac{|ab_{n}-ab+ab-a_{n}b|}{|b||b_{n}}