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| 1.29) '''Si <math>{z_n}</math> es una sucesión convergente en <math>\mathbb{C}</math>, demuestre que su límite es único. Si <math>z_{n}</math> y<math>w_{n}</math> son dos sucesiones convergentes, con límites <math>L_{1} y L_{2}</math>, respectivamente, demuestre que: | | 1.29) '''Si <math>{z_n}</math> es una sucesión convergente en <math>\mathbb{C}</math>, demuestre que su límite es único. Si <math>z_{n}</math> y<math>w_{n}</math> son dos sucesiones convergentes, con límites <math>L_{1} y L_{2}</math>, respectivamente, demuestre que: |
| 1) '''La suma de las sucesiones <math>{a_n}+b_{n}</math> converge a <math>L_{1}+L_{2}</math>''' | | :1)La suma de las sucesiones <math>{a_n}+b_{n}</math> converge a <math>L_{1}+L_{2}</math> |
| 2)''' El producto de las sucesiones <math>{a_n}b_{n}</math>converge a <math>L_{1}L_{2}</math>''' | | :2)El producto de las sucesiones <math>{a_n}b_{n}</math>converge a <math>L_{1}L_{2}</math> |
| 3)'''El cociente de las sucesiones <math>{{\frac{a_{n}}{b_{n}}}</math> converge a <math>{\frac{L_{1}}{L_{2}}</math> ''' | | :3)El cociente de las sucesiones <math>{{\frac{a_{n}}{b_{n}}}</math> converge a <math>{\frac{L_{1}}{L_{2}}</math> |
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| '''Demostración''' | | '''Demostración''' |
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| '''Primero demostraremos que el límite es único'''. | | :'''Primero demostraremos que el límite es único'''. |
| '''Supongamos que la sucesión <math>(a_{n})_{n}</math> tuviera dos límites distintos, digamos <math>a\neq b</math>'''.
| | ::Supongamos que la sucesión <math>(a_{n})_{n}</math> tuviera dos límites distintos, digamos <math>a\neq b</math> |
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| Sea <math>\epsilon ={\frac{|a-b|}{4}}</math>>0. Entonces, por definición, existen números naturales <math>n_{1} y n_{2}</math> tales que | | :::Sea <math>\epsilon ={\frac{|a-b|}{4}}</math>>0. Entonces, por definición, existen números naturales <math>n_{1} y n_{2}</math> tales que <math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{2}</math>. |
| <math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon | | :::Llamando <math>n_{0}=máx{n_{1},n_{2}}</math> se debe cumplir que: |
| </math> si <math>n>n_{2}</math>. | |
| Llamando <math>n_{0}=máx{n_{1},n_{2}}</math> se debe cumplir que: | |
| <math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{0}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon | | <math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{0}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon |
| </math> si <math>n>n_{0}</math>. De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser | | </math> si <math>n>n_{0}</math>. De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser |
| <math>|a-b|=|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}|</math> < <math>\epsilon +\epsilon =2{\frac{|a-b|}{4}}={\frac{|a-b|}{2}}</math> | | :::<math>|a-b|=|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}| = \epsilon +\epsilon =2{\frac{|a-b|}{4}}={\frac{|a-b|}{2}}</math> |
| <math>\therefore\qquad</math> <math>1<{\frac{1}{2}}</math> es una contradicción, entonces '''el límite es único.''' | | :::<math>\therefore 1<{\frac{1}{2}}</math> es una contradicción, entonces '''el límite es único.''' |
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| 1) '''Sea <math>\epsilon>0</math>, existen enteros''' positivos <math>n_{1} </math> y <math>n_{2}</math>tales que.
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| <math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math>n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}}
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| </math> si <math>n>n_{2}</math>.
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| Tomando <math>n_{0}=máxn_{1},n_{2}</math> se tiene:
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| <math>|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}|</math> <math>\leq {\frac{\epsilon}{2}}+{\frac{\epsilon}{2}}</math>=<math>\epsilon</math> para cada <math>n>n_{0}</math>
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| <math>\therefore\qquad</math> <math>a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})</math> | | ::'''1)'''Sea <math>\epsilon>0</math>, existen enteros positivos <math>n_{1} </math> y <math>n_{2}</math> tales que |
| | <math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math> n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math>n>n_{2}</math>. |
| | :Tomando <math>n_{0}=máxn_{1},n_{2}</math> se tiene: |
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| 2) '''Sea <math>a_{n}</math> una sucesión convergente, entonces existe un <math>\alpha>0</math> t.q. <math>|a_{n}|<\alpha </math> ''' <math>\forall n \in\mathbb{n}</math> | | ::<math>|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}| \leq {\frac{\epsilon}{2}}+{\frac{\epsilon}{2}} = \epsilon</math> para cada <math>n>n_{0}</math> |
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| | ::<math>\therefore a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})</math> |
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| | ::'''2)''' Sea <math>a_{n}</math> una sucesión convergente, entonces existe un <math>\alpha>0</math> t.q. <math>|a_{n}|<\alpha </math> <math>\forall n \in\mathbb{n}</math> |
| Entonces | | Entonces |
| <math>|ab-a_{n}b_{n}|= |ab-a_{n}b+a_{n}b-a_{n}b_{n})| | | <math>|ab-a_{n}b_{n}|= |ab-a_{n}b+a_{n}b-a_{n}b_{n})| |
1.5 Sean w,z ∈ C. Demuestre los siguientes incisos:
- Sean entonces:
- (1)
- Solución:
- (2)
- Solución:
-
- (3)
- Solución:
-
- (6) (es decir, un número complejo es un número real si y sólo si es igual a su conjugado).
- Solución:
- Sea , entonces:
1.9 Haga las operaciones indicadas y al final exprese el resultado en la forma a+bi
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (e)
- (f)
- (g)
- (h)
1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1
y Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si
i escribimos en la forma polar
Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse
- y
Como es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre es:
Obtenemos que todos los complejos de la forma son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos {0,1,...,n-1), con . Entonces
Así, todos los posibles valores de dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son
- (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r=0,1,...,{}\nonumber\\
)
Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad.
Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma =
Como multiplicar por w es un giro de amplitud , deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, (con =1), con giros sucesivos de amplitud
cuando , corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente
- 1,,,...,
1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado
Demostración
Sea
Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.
Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.
Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que
=
Esto es una contradicción.
Supongamos que y<0, entonces
=
Esto es una contradicción
- y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado
1.29) Si es una sucesión convergente en , demuestre que su límite es único. Si y son dos sucesiones convergentes, con límites , respectivamente, demuestre que:
- 1)La suma de las sucesiones converge a
- 2)El producto de las sucesiones converge a
- 3)El cociente de las sucesiones Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle {{\frac{a_{n}}{b_{n}}}}
converge a Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle {\frac{L_{1}}{L_{2}}}
Demostración
- Primero demostraremos que el límite es único.
- Supongamos que la sucesión tuviera dos límites distintos, digamos
- Sea >0. Entonces, por definición, existen números naturales tales que si y si .
- Llamando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}=máx{n_{1},n_{2}}
se debe cumplir que:
si y si . De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser
- es una contradicción, entonces el límite es único.
- 1)Sea , existen enteros positivos y tales que
si y si .
- Tomando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n_{0}=máxn_{1},n_{2}
se tiene:
- para cada
- Error al representar (error de sintaxis): \therefore a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})
- 2) Sea una sucesión convergente, entonces existe un t.q.
Entonces
Sin embargo
a= y b=, >0, existen t.q.
< si
y si
Entonces
tomando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}=máxn_{1},n_{2}
se tiene que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ab=lím_{n}(a_{n}b_{n})
3)Consideremos una cota inferior para la sucesión (b_{n})_{n} en lugar de una acotación superior. Puesto que 0 y |Error al representar (error de sintaxis): b|=lím_{n}|b_{n}|
, sea existe t.q.
Error al representar (error de sintaxis): \\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}|
, para .
Si , obtenemos
=
={\frac{|ab_{n}-ab+ab-a_{n}b|}{|b||b_{n}}