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== Ecuación de onda para membranas ==


En la seccion [[Ondas: Cuerdas y Corrientes- Transversales]] se mencionan algunos casos de ondas en una dimension. Para el caso de dos dimenciones se considera una membrana estirada y flexible siendo esta la contraparte en dos dimensiones de la cuerda estirada y flexible.
Se concidera que la membrana se encuentra en un principio en reposo en el plano xy con una tensión superficial (<math>\tau</math>) a lo largo de cualquier linea recta que cruce la membrana, el analogo bi-demensional de la tension del a cuerda, y que la membrana posee una densidad por unidad de area (<math>\sigma</math>).
Supongamos que tenemos un elemento rectangular <math>\Delta x</math>,<math>\Delta y</math> de la membrana, cuando la membrana sufre un desplazamiento surge una fuerza neta en dirección del eje z por cada pareja de fuerzas de tensión <math>\tau\Delta x</math> y <math>\tau\Delta y</math> que actúan en las cuatro orillas del elemento rectangular. Cada par puede considerarse el equivalente a la tensión en una cuerda hipotetica que consiste de una tira de la membrana donde su ancho mide  <math>\Delta x</math> y se extiendo a lo largo del eje y, o de ancho <math>\Delta y</math> y se extiende a lo largo del eje x. Para la primera tira la fuerza neta en la dirección del eje z es:
<math>\tau\Delta x\left(\frac{\partial\Psi}{\partial y}_{y+\Delta y}-\frac{\partial\Psi}{\partial y}_y\right)=\tau\Delta x\frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}\Delta y</math>
Para la segunda tira, la fuerza neta es:
<math>\tau\Delta y\left(\frac{\partial\Psi}{\partial x}_{x+\Delta x}-\frac{\partial\Psi}{\partial x}_x\right)=\tau\Delta y\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\Delta x</math>
La suma de estas fuerzas debe de ser igual a la masa de la membrana <math>\sigma\Delta x\Delta y</math> por su aceleracion, eso es,
<math>\Delta x\Delta y\tau\left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}\right)=\Delta x\Delta y\sigma\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}</math>
Dividiendo la ecuacion entre <math>\Delta x\Delta y</math> se obtiene la ecucion de onda tal que,
<math>\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}=\frac{1}{C_m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}</math>
Donde,
<math>C_m=\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)^{1/2}</math>
Es la velocidad de propagación para una onda transversal en la membrana.
Dado que se encuentra en un plano la ecuación de onda puede convertirse de coordenadas cartesianas a coordenadas polares quedando de la siguiente manera
<math>\frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial\Psi}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial\alpha^2}=\frac{1}{C_m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}</math>

Revisión del 18:35 15 mar 2012

Ecuación de onda para membranas

En la seccion Ondas: Cuerdas y Corrientes- Transversales se mencionan algunos casos de ondas en una dimension. Para el caso de dos dimenciones se considera una membrana estirada y flexible siendo esta la contraparte en dos dimensiones de la cuerda estirada y flexible.

Se concidera que la membrana se encuentra en un principio en reposo en el plano xy con una tensión superficial () a lo largo de cualquier linea recta que cruce la membrana, el analogo bi-demensional de la tension del a cuerda, y que la membrana posee una densidad por unidad de area ().

Supongamos que tenemos un elemento rectangular , de la membrana, cuando la membrana sufre un desplazamiento surge una fuerza neta en dirección del eje z por cada pareja de fuerzas de tensión y que actúan en las cuatro orillas del elemento rectangular. Cada par puede considerarse el equivalente a la tensión en una cuerda hipotetica que consiste de una tira de la membrana donde su ancho mide y se extiendo a lo largo del eje y, o de ancho y se extiende a lo largo del eje x. Para la primera tira la fuerza neta en la dirección del eje z es:


Para la segunda tira, la fuerza neta es:



La suma de estas fuerzas debe de ser igual a la masa de la membrana por su aceleracion, eso es,



Dividiendo la ecuacion entre se obtiene la ecucion de onda tal que,



Donde,



Es la velocidad de propagación para una onda transversal en la membrana.

Dado que se encuentra en un plano la ecuación de onda puede convertirse de coordenadas cartesianas a coordenadas polares quedando de la siguiente manera