Usuario:Carlos A.Z.

Hola esta es mi pagina soy alumno de optica

Alumno: Carlos Acosta Zepeda

Materia: Optica

Correo: aberk07@hotmail.com

--CAZ 20:50 3 jul 2008 (CDT)

Esta es la ultima hoja de soluciones Gaussianas corregida y con los calculos intermedios desarrollados.

Para la representación polar de $\frac{1}{z-\tilde{z}}=\frac{1}{R}+\frac{2ı}{k{w}^2}$ tenemos

$|z|=\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{4}{k^2{w}^4}}$ y el argumento $\theta =\arctan (\frac{2R}{k{w}^2})$ entonces.

$\frac{1}{z-\tilde{z}}=\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{4}{k^2{w}^4}}\exp [ı\arctan (\frac{2R}{k{w}^2})]$

Tomando definiciones vemos que

$\frac{R}{w^2}=\frac{z-z_0+\frac{z^2}{z-z_0}}{w_0^2[\frac{(z-z_0{)}^2}{z_R^2}+1]}=\frac{z_R^2}{w_0^2(z-z_0)}=\frac{k}{2}\frac{z_R}{z-z_0}$

y

$\frac{1}{R^2}+\frac{4}{k^2{w}^4}=\frac{(z-z_0{)}^2}{(z-z_0{)}^2+z_R^2}+\frac{4z_R^4}{k^2{w}_0^4[(z-z_0{)}^2+z_R^2{]}^2}$

Definiendo $B^2=(z-z_0{)}^2+z_R^2$ y mediante $k^2=(\frac{2z_R}{w_0^2}{)}^2$

tenemos

$\frac{1}{R^2}+\frac{4}{k^2{w}^4}=\frac{1}{B^2}(z-z_0{)}^2+z_R=\frac{1}{B^2}$

o

$\frac{1}{R^2}+\frac{4}{k^2{w}^4}=(\frac{w_0}{z_{R}w}{)}^2$

de manera que

$\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{4}{k^2{w}^4}}\exp [ı\arctan (\frac{2R}{k{w}^2})]=\frac{w_0}{z_{R}w}\exp [ı\arctan (\frac{2R}{k{w}^2})]=\frac{w_0}{z_{R}w}\exp [ı\arctan (\frac{z_R}{z-z_0})]$

mientras que la fase es.

$ık\frac{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}{2(z-z_1)}=\frac{ık}{2}((x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2)(\frac{1}{R}+\frac{2ı}{k{w}^2})=ık\frac{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}{2R}-\frac{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}{w^2}$

La amplitud compleja es entonces

$\tilde{u}=A_0\frac{w_0}{z_{R}w}\exp [ı\arctan (\frac{2R}{k{w}^2})]\exp [ık\frac{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}{2R}]\exp [-\frac{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}{w^2}]$

Tomando $\psi =\tilde{u}\exp [ıkz]$

La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por

$\psi =A_0\frac{w_0}{z_{R}w}\exp [ı\arctan (\frac{2R}{k{w}^2})]\exp [ık\frac{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}{2R}]\exp [-\frac{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}{w^2}]\exp [ıkz]$

--CAZ 00:48 4 jul 2008 (CDT)

La máxima curvatura en la onda Gaussiana

El radio de curvatura es

$R(z)=(z-z_0)+\frac{z_R^2}{(z-z_0)}$

Derivando e igualando a cero tenemos:

$\frac{dR}{dz}=1-\frac{z_R^2}{(z-z_0{)}^2}=0$

despejando z obtenemos

$z=z_0\pm z_R$

--CAZ 01:17 4 jul 2008 (CDT)