Transformada de Laplace

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función $F(t)$ ( donde $t$ es un número real) es otra función denotada $(LF)(S)$, definida en $\mathbb{C}$: el conjunto de los complejos ( $S=A+iB$ ; donde $A,B$ son reales (A,B$\epsilon\mathbb{R}$),$i=\sqrt{-1}$ ).

La transformada de Laplace es una herramienta que permite convertir un operador diferencial (introduciendo derivadas) por un operador no diferencial. Así, aún cuando $F(t)$ sea solución de una ecuación diferencial $(LF)(s)$ será una solución sin derivadas.

la transformada de Laplace es una generalización de las series de Fourier ( sólo definidas para funciones periodicas) y de la transfromada de Fourier ( sólo definidas para funciones cuya integral de $0$ a$+\infty$ó de $-\infty$a$\infty$es convergente )

{*} definimos la transformada de Laplace de la función $F(t)$ como:

$(LF)(S)=\intop_{0}^{\infty}F(t)e^{-st}dt$

definida para $t>0$

TEOREMA

Sea N$\epsilon\mathbb{Z}$

$L(t^{N})=\frac{N!}{s^{n+1}}$

Ejercicio : demostrar este teorema

$L(1)=\intop_{0}^{\infty}1e^{-st}dt=\frac{e^{-st}}{-S}|_{0}^{\infty}=\frac{e^{-S\infty}}{-S}+\frac{e^{o}}{S}=\frac{1}{S}+lim_{t\rightarrow\infty}\frac{e^{-St}}{-S}$

Sean $A,B$ partes imaginarias de $S$ entonces :

$lim_{t\rightarrow\infty}e^{-St}=lim_{t\rightarrow\infty}e^{-At}e^{-iBt}$

vamos a mostrar que para $A>0$ éste límite es $0$.

$e^{-iBt}=cos(-Bt)+isen(-Bt)$

por lo tanto, en el punto $e^{-iBt}$recorre una circunferencia ( de centro $0$ y radio $1$ que no es acotado).

Así , $e^{-At}e^{-iBt}$ es el producto de un factor que tiende a cero en +$\infty$por un factor acotado.

Esto implica que:

$lim_{t\rightarrow+\infty}e^{-At}e^{-iBt}=0$

por lo tanto:

$L(1)=\frac{1}{S}=L(t^{N})$, donde $N=0$

--Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 20:55 5 jul 2015 (CDT)

Carlosmiranda (discusión) 00:12 21 nov 2020 (CST)