Diferencia entre revisiones de «Transformada de Laplace»
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Transformada de Laplace | Transformada de Laplace | ||
La transformada de Laplace de una función F(t) ( donde t es un número | La transformada de Laplace de una función <math>F(t)</math> ( donde <math>t</math> es un número | ||
real) es otra función denotada (LF)(S), definida en $\mathbb{C}$ | real) es otra función denotada <math>(LF)(S)</math>, definida en $\mathbb{C}$: el conjunto de los complejos ( <math>S= A+iB</math> ; donde <math>A,B</math> son reales (A,B$\epsilon\mathbb{R}$),$i=\sqrt{-1}$ ). | ||
: el conjunto de los complejos ( S= A+iB ; donde A,B son reales (A,B$\epsilon\mathbb{R}$), | |||
$i=\sqrt{-1}$ ). | |||
La transformada de Laplace es una herramienta que permite convertir | La transformada de Laplace es una herramienta que permite convertir | ||
un operador diferencial (introduciendo derivadas) por un operador | un operador diferencial (introduciendo derivadas) por un operador | ||
no diferencial. Así, aún cuando F(t) sea solución de una ecuación | no diferencial. Así, aún cuando <math>F(t)</math> sea solución de una ecuación | ||
diferencial (LF)(s) será una solución sin derivadas. | diferencial <math>(LF)(s)</math> será una solución sin derivadas. | ||
la transformada de Laplace es una generalización de las series de | la transformada de Laplace es una generalización de las series de | ||
Fourier ( sólo definidas para funciones periodicas) y de la transfromada | Fourier ( sólo definidas para funciones periodicas) y de la transfromada | ||
de Fourier ( sólo definidas para funciones cuya integral de 0 a$+\infty$ó | de Fourier ( sólo definidas para funciones cuya integral de <math>0</math> a$+\infty$ó | ||
de $-\infty$a$\infty$es convergente ) | de $-\infty$a$\infty$es convergente ) | ||
{*} definimos la transformada de Laplace de la función F(t) como: | {*} definimos la transformada de Laplace de la función <math>F(t)</math> como: | ||
$(LF)(S)=\intop_{0}^{\infty}F(t)e^{-st}dt$ | <center>$(LF)(S)=\intop_{0}^{\infty}F(t)e^{-st}dt$</center> | ||
definida para $t>0$ | definida para $t>0$ | ||
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Sea N$\epsilon\mathbb{Z}$ | Sea N$\epsilon\mathbb{Z}$ | ||
$L(t^{N})=\frac{N!}{s^{n+1}}$ | <center>$L(t^{N})=\frac{N!}{s^{n+1}}$</center> | ||
Ejercicio : demostrar este teorema | Ejercicio : demostrar este teorema | ||
$L(1)=\intop_{0}^{\infty}1e^{-st}dt=\frac{e^{-st}}{-S}|_{0}^{\infty}=\frac{e^{-S\infty}}{-S}+\frac{e^{o}}{S}=\frac{1}{S}+lim_{t\rightarrow\infty}\frac{e^{-St}}{-S}$ | <center>$L(1)=\intop_{0}^{\infty}1e^{-st}dt=\frac{e^{-st}}{-S}|_{0}^{\infty}=\frac{e^{-S\infty}}{-S}+\frac{e^{o}}{S}=\frac{1}{S}+lim_{t\rightarrow\infty}\frac{e^{-St}}{-S}$</center> | ||
Sean A,B partes imaginarias de S | Sean <math>A,B</math> partes imaginarias de <math>S</math> entonces : | ||
$lim_{t\rightarrow\infty}e^{-St}=lim_{t\rightarrow\infty}e^{-At}e^{-iBt}$ | <center>$lim_{t\rightarrow\infty}e^{-St}=lim_{t\rightarrow\infty}e^{-At}e^{-iBt}$</center> | ||
vamos a mostrar que para A>0 éste límite es 0 | vamos a mostrar que para <math>A>0</math> éste límite es <math>0</math>. | ||
$e^{-iBt}=cos(-Bt)+isen(-Bt)$ | <center>$e^{-iBt}=cos(-Bt)+isen(-Bt)$</center> | ||
por lo tanto, en el punto $e^{-iBt}$recorre una circunferencia ( | por lo tanto, en el punto $e^{-iBt}$recorre una circunferencia ( | ||
de centro 0 y radio 1 que no es acotado) | de centro <math>0</math> y radio <math>1</math> que no es acotado). | ||
Así , $e^{-At}e^{-iBt}$ es el producto de un factor que tiende a | Así , $e^{-At}e^{-iBt}$ es el producto de un factor que tiende a | ||
cero en +$\infty$por un factor acotado | cero en +$\infty$por un factor acotado. | ||
Esto implica que | Esto implica que: | ||
$lim_{t\rightarrow+\infty}e^{-At}e^{-iBt}=0$ | <center>$lim_{t\rightarrow+\infty}e^{-At}e^{-iBt}=0$</center> | ||
por lo tanto | por lo tanto: | ||
$L(1)=\frac{1}{S}=L(t^{N})$, donde N=0 | $L(1)=\frac{1}{S}=L(t^{N})$, donde <math>N=0</math> | ||
--[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 20:55 5 jul 2015 (CDT) | --[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 20:55 5 jul 2015 (CDT) | ||
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Revisión del 01:12 21 nov 2020
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace de una función ( donde es un número real) es otra función denotada , definida en $\mathbb{C}$: el conjunto de los complejos ( ; donde son reales (A,B$\epsilon\mathbb{R}$),$i=\sqrt{-1}$ ).
La transformada de Laplace es una herramienta que permite convertir
un operador diferencial (introduciendo derivadas) por un operador
no diferencial. Así, aún cuando sea solución de una ecuación
diferencial será una solución sin derivadas.
la transformada de Laplace es una generalización de las series de Fourier ( sólo definidas para funciones periodicas) y de la transfromada de Fourier ( sólo definidas para funciones cuya integral de a$+\infty$ó de $-\infty$a$\infty$es convergente )
{*} definimos la transformada de Laplace de la función como:
definida para $t>0$
TEOREMA
Sea N$\epsilon\mathbb{Z}$
Ejercicio : demostrar este teorema
Sean partes imaginarias de entonces :
vamos a mostrar que para éste límite es .
por lo tanto, en el punto $e^{-iBt}$recorre una circunferencia ( de centro y radio que no es acotado).
Así , $e^{-At}e^{-iBt}$ es el producto de un factor que tiende a cero en +$\infty$por un factor acotado.
Esto implica que:
por lo tanto:
$L(1)=\frac{1}{S}=L(t^{N})$, donde
--Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 20:55 5 jul 2015 (CDT)
Carlosmiranda (discusión) 00:12 21 nov 2020 (CST)