Transformada de Laplace

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función F(t) ( donde t es un número real) es otra función denotada (LF)(S), definida en $\mathbb{C}$

el conjunto de los complejos ( S= A+iB ; donde A,B son reales (A,B$\epsilon\mathbb{R}$),

$i=\sqrt{-1}$ ).

La transformada de Laplace es una herramienta que permite convertir un operador diferencial (introduciendo derivadas) por un operador no diferencial. Así, aún cuando F(t) sea solución de una ecuación diferencial (LF)(s) será una solución sin derivadas.

la transformada de Laplace es una generalización de las series de Fourier ( sólo definidas para funciones periodicas) y de la transfromada de Fourier ( sólo definidas para funciones cuya integral de 0 a$+\infty$ó de $-\infty$a$\infty$es convergente )

{*} definimos la transformada de Laplace de la función F(t) como:

$(LF)(S)=\intop_{0}^{\infty}F(t)e^{-st}dt$

definida para $t>0$

TEOREMA

Sea N$\epsilon\mathbb{Z}$

$L(t^{N})=\frac{N!}{s^{n+1}}$

Ejercicio : demostrar este teorema

$L(1)=\intop_{0}^{\infty}1e^{-st}dt=\frac{e^{-st}}{-S}|_{0}^{\infty}=\frac{e^{-S\infty}}{-S}+\frac{e^{o}}{S}=\frac{1}{S}+lim_{t\rightarrow\infty}\frac{e^{-St}}{-S}$

Sean A,B partes imaginarias de S. entonces :

$lim_{t\rightarrow\infty}e^{-St}=lim_{t\rightarrow\infty}e^{-At}e^{-iBt}$

vamos a mostrar que para A>0 éste límite es 0

$e^{-iBt}=cos(-Bt)+isen(-Bt)$

por lo tanto, en el punto $e^{-iBt}$recorre una circunferencia ( de centro 0 y radio 1 que no es acotado)

Así , $e^{-At}e^{-iBt}$ es el producto de un factor que tiende a cero en +$\infty$por un factor acotado

Esto implica que

$lim_{t\rightarrow+\infty}e^{-At}e^{-iBt}=0$

por lo tanto

$L(1)=\frac{1}{S}=L(t^{N})$, donde N=0

--Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 20:55 5 jul 2015 (CDT)