Diferencia entre revisiones de «Transformación Bilineal»

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Puede verificarse que cuando las singularidades (polos) están del lado izquierdo (semiplano izquierdo), los sistemas son estables, las componentes imaginarias del valor del polo indican oscilaciones (cuando los polos son puramente imaginarios se denomina marginalmente estable).
 
Puede verificarse que cuando las singularidades (polos) están del lado izquierdo (semiplano izquierdo), los sistemas son estables, las componentes imaginarias del valor del polo indican oscilaciones (cuando los polos son puramente imaginarios se denomina marginalmente estable).
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Cuando pasamos del continúo al discreto, el comportamiento de los sistemas es el mismo, pero solo podemos ver como se encuentran en instantes de muestreo, por lo que el dominio de Laplace no es adecuado para el análisis de estos, se emplea la transformada z, para convertir un sistema en s a otro en z basta con evaluar $z=e^{sT}$, siendo $T$ el tiempo de muestreo y añadir un ROC (Retenedor de Orden Cero) que hace lo que efectúa un muestreador y retenedor (como están constituidos los dispositivos electrónicos de adquisición de datos).
 
Cuando pasamos del continúo al discreto, el comportamiento de los sistemas es el mismo, pero solo podemos ver como se encuentran en instantes de muestreo, por lo que el dominio de Laplace no es adecuado para el análisis de estos, se emplea la transformada z, para convertir un sistema en s a otro en z basta con evaluar $z=e^{sT}$, siendo $T$ el tiempo de muestreo y añadir un ROC (Retenedor de Orden Cero) que hace lo que efectúa un muestreador y retenedor (como están constituidos los dispositivos electrónicos de adquisición de datos).

Revisión del 18:46 3 jul 2015

Transformación Bilineal

En Teoría de Control para analizar las propiedades de sistemas, se recurre a la transformada de Laplace, que permite (entre otras cosas) transformar sistemas de ecuaciones diferencial a sistemas de ecuaciones algebraicos; lo más habitual es relacionar cada sistema con una función de transferencia, que comúnmente (cuando el sistema es lineal) es un cociente de polinomios, para ser representada mediante bloques. Esta representación es ampliamente usada para diseñar sistemas de control como P, Pi, PID,PI-PD, etc. y funciona bastante bien cuando se trata de sistemas continuos. Para el tratamiento de sistemas discretos, se emplea la transformada Z, para llevar de una representación a otra basta con mapear $z=e^{sT}$, donde $T$ es el tiempo de muestreo. Dado el amplio desarrollo en el dominio de Laplace de estrategias de control (principalmente de estabilidad) resultaría deseable recuperar algunas de estas propiedades. Y aquí es donde surge la necesidad de esta transformación.

Información en una función de Transferencia

Primeramente me gustaría enunciar algunas propiedades que se presentan en un sistema LTI (lineal e invariante en el tiempo); estos sistemas se representan del siguiente modo: \[ F(s)=\frac{\sum_{k=0}^{m} {a_k \, s^k}}{\sum_{k=0}^{n} {a_k \, s^k}}\;\;\;\;\;\; \] Donde $n$, $m$ $\in \mathbb{N}$ tal que $m\leq n$ Las raíces del numerador son ceros y las del denominador polos; los polos determinan la estabilidad del sistema, a continuación se muestra comportamiento habitual para una entrada de tipo escalón

Diagrama de polos.png

Mientras que sus respuestas en el tiempo son:

Polos.png

Puede verificarse que cuando las singularidades (polos) están del lado izquierdo (semiplano izquierdo), los sistemas son estables, las componentes imaginarias del valor del polo indican oscilaciones (cuando los polos son puramente imaginarios se denomina marginalmente estable).

En las siguiente animaciones se observan estos cambios:

Polos1.gif
Polos2.gif
Polos3.gif

Los sistemas se transforman

Cuando pasamos del continúo al discreto, el comportamiento de los sistemas es el mismo, pero solo podemos ver como se encuentran en instantes de muestreo, por lo que el dominio de Laplace no es adecuado para el análisis de estos, se emplea la transformada z, para convertir un sistema en s a otro en z basta con evaluar $z=e^{sT}$, siendo $T$ el tiempo de muestreo y añadir un ROC (Retenedor de Orden Cero) que hace lo que efectúa un muestreador y retenedor (como están constituidos los dispositivos electrónicos de adquisición de datos). A continuación verremos los efectos de este mapeo.


--Tlacaelel Cruz (discusión) 11:52 3 jul 2015 (CDT)