Teorema de Cauchy-Gorusat
Demostración del Teorema de Cauchy-Goursat
Sea c un contorno cerrado simple $z=z\left(t\right)$ $\left(a\leq t\leq b\right)$ en sentido positivo y supongamos que f es analitica en todo punto interiora a c y sobre los puntod de c tenemos
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left[z\left(t\right)z^{,}\left(t\right)\right]dt$
y si $f\left(z\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)$ y $z\left(t\right)=x\left(t\right)+iy\left(t\right)$ tenemos que si hacemos el producto de la integral del lado derecho nos da que:
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{c}udx-vdy+i\int_{c}vdx+udy$ ...(1)
Recordando Green
$\int_{c}Pdx+Qdy=\iint_{R}\left(Q_{x}-P_{y}\right)dxdy$ ...(2)
Ahora sustituimos (1) en (2)
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\iint_{R}\left(-v_{x}-u_{y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(u_{x}-v_{y}\right)dxdy$ ....(3)
Tambien recordemos que por Cachy Riemann:
$u_{x}=-v_{y}$ , $u_{y}=-v_{x}$ .... (4)
Sustituimos los valoresde (4) en (3)
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\iint_{R}\left(u_{y}-u_{y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(v_{y}-v_{y}\right)dxdy=\iint_{R}0dxdy+i\iint_{R}0dxdy=0$
Por lo tanto cuando f es analitica en R y f prima es continua allí
$\int_{c}f\left(z\right)dz=o=-\int_{-c}f\left(z\right)dz$
Bibliografía: Ruel V. Churchill/James Ward Brown Variable compleja y aplicaciones Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 17:41 5 jul 2015 (CDT)