Diferencia entre revisiones de «Teorema de Cauchy-Gorusat»
(Página creada con « Demostración del Teorema de Cauchy-Goursat Sea c un contorno cerrado simple $z=z\left(t\right)$ $\left(a\leq t\leq b\right)$ en sentido positivo y supongamos que f es an...») |
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Sea c un contorno cerrado simple $z=z\left(t\right)$ $\left(a\leq t\leq b\right)$ | Sea c un contorno cerrado simple $z=z\left(t\right)$ $\left(a\leq t\leq b\right)$ | ||
en sentido positivo y supongamos que f es | en sentido positivo y supongamos que f es analítica en todo punto | ||
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$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left[z\left(t\right)z^{,}\left(t\right)\right]dt$ | $\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left[z\left(t\right)z^{,}\left(t\right)\right]dt$ | ||
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....(3) | ....(3) | ||
También recordemos que por Cachy Riemann: | |||
$u_{x}=-v_{y}$ , $u_{y}=-v_{x}$ .... (4) | $u_{x}=-v_{y}$ , $u_{y}=-v_{x}$ .... (4) | ||
Sustituimos los | Sustituimos los valores de (4) en (3) | ||
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\iint_{R}\left(u_{y}-u_{y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(v_{y}-v_{y}\right)dxdy=\iint_{R}0dxdy+i\iint_{R}0dxdy=0$ | $\int_{c}f\left(z\right)dz=\iint_{R}\left(u_{y}-u_{y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(v_{y}-v_{y}\right)dxdy=\iint_{R}0dxdy+i\iint_{R}0dxdy=0$ | ||
Por lo tanto cuando f es | Por lo tanto cuando f es analítica en R y f prima es continua allí | ||
$\int_{c}f\left(z\right)dz=o=-\int_{-c}f\left(z\right)dz$ | $\int_{c}f\left(z\right)dz=o=-\int_{-c}f\left(z\right)dz$ | ||
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Ruel V. Churchill/James Ward Brown | Ruel V. Churchill/James Ward Brown | ||
Variable compleja y aplicaciones | Variable compleja y aplicaciones | ||
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Revisión del 21:12 24 sep 2023
Demostración del Teorema de Cauchy-Goursat
Sea c un contorno cerrado simple $z=z\left(t\right)$ $\left(a\leq t\leq b\right)$ en sentido positivo y supongamos que f es analítica en todo punto interior a c y sobre los puntos de c tenemos
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left[z\left(t\right)z^{,}\left(t\right)\right]dt$
y si $f\left(z\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)$ y $z\left(t\right)=x\left(t\right)+iy\left(t\right)$ tenemos que si hacemos el producto de la integral del lado derecho nos da que:
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{c}udx-vdy+i\int_{c}vdx+udy$ ...(1)
Recordando Green
$\int_{c}Pdx+Qdy=\iint_{R}\left(Q_{x}-P_{y}\right)dxdy$ ...(2)
Ahora sustituimos (1) en (2)
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\iint_{R}\left(-v_{x}-u_{y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(u_{x}-v_{y}\right)dxdy$ ....(3)
También recordemos que por Cachy Riemann:
$u_{x}=-v_{y}$ , $u_{y}=-v_{x}$ .... (4)
Sustituimos los valores de (4) en (3)
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\iint_{R}\left(u_{y}-u_{y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(v_{y}-v_{y}\right)dxdy=\iint_{R}0dxdy+i\iint_{R}0dxdy=0$
Por lo tanto cuando f es analítica en R y f prima es continua allí
$\int_{c}f\left(z\right)dz=o=-\int_{-c}f\left(z\right)dz$
Bibliografía: Ruel V. Churchill/James Ward Brown Variable compleja y aplicaciones
Aportación por usuario: Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 17:41 5 jul 2015 (CDT)