Diferencia entre revisiones de «Teorema de Cauchy-Gorusat»
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Línea 18: | Línea 18: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Recordando Green | Recordando Green | ||
Línea 28: | Línea 28: | ||
Ahora sustituimos (\ref{1} | Ahora sustituimos (\ref{1}) en (\ref{2}). | ||
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Línea 37: | Línea 36: | ||
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También recordemos que por Cauchy Riemann: | También recordemos que por Cauchy Riemann: | ||
Línea 48: | Línea 45: | ||
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Sustituimos los valores de (\ref{4}) | |||
Sustituimos los valores de (\ref{4}) en (\ref{3}). | |||
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\iint_{R}\left(u_{y}-u_{y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(v_{y}-v_{y}\right)dxdy=\iint_{R}0dxdy+i\iint_{R}0dxdy=0$ | $\int_{c}f\left(z\right)dz=\iint_{R}\left(u_{y}-u_{y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(v_{y}-v_{y}\right)dxdy=\iint_{R}0dxdy+i\iint_{R}0dxdy=0$ |
Revisión del 13:49 25 sep 2023
Demostración del Teorema de Cauchy-Goursat
Sea c un contorno cerrado simple $z=z\left(t\right)$ $\left(a\leq t\leq b\right)$ en sentido positivo y supongamos que f es analítica en todo punto interior a c y sobre los puntos de c tenemos
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left[z\left(t\right)z^{,}\left(t\right)\right]dt$
y si $f\left(z\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)$ y $z\left(t\right)=x\left(t\right)+iy\left(t\right)$ tenemos que si hacemos el producto de la integral del lado derecho nos da que:
\begin{equation}
\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{c}udx-vdy+i\int_{c}vdx+udy
\label{1}
\end{equation}
Recordando Green
\begin{equation} \int_{c}Pdx+Qdy=\iint_{R}\left(Q_{x}-P_{y}\right)dxdy \label{2} \end{equation}
Ahora sustituimos (\ref{1}) en (\ref{2}).
\begin{equation} \int_{c}f\left(z\right)dz=\iint_{R}\left(-v_{x}-u_{y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(u_{x}-v_{y}\right)dxdy \label{3} \end{equation}
También recordemos que por Cauchy Riemann:
\begin{equation}
u_{x}=-v_{y}; u_{y}=-v_{x}
\label{4}
\end{equation}
Sustituimos los valores de (\ref{4}) en (\ref{3}).
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\iint_{R}\left(u_{y}-u_{y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(v_{y}-v_{y}\right)dxdy=\iint_{R}0dxdy+i\iint_{R}0dxdy=0$
Por lo tanto cuando f es analítica en R y f prima es continua allí
$\int_{c}f\left(z\right)dz=o=-\int_{-c}f\left(z\right)dz$
Bibliografía:
Ruel V. Churchill/James Ward Brown Variable compleja y aplicaciones
Aportación por usuario: Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 17:41 5 jul 2015 (CDT)