Teorema de Cauchy-Gorusat

Demostración del Teorema de Cauchy-Goursat

Sea c un contorno cerrado simple $z=z\left(t\right)$ $\left(a\leq t\leq b\right)$ en sentido positivo y supongamos que f es analítica en todo punto interior a c y sobre los puntos de c tenemos

$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left[z\left(t\right)z^{,}\left(t\right)\right]dt$

y si $f\left(z\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)$ y $z\left(t\right)=x\left(t\right)+iy\left(t\right)$ tenemos que si hacemos el producto de la integral del lado derecho nos da que:

\begin{equation} \int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{c}udx-vdy+i\int_{c}vdx+udy \label{1} \end{equation}

$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{c}udx-vdy+i\int_{c}vdx+udy$ ...(1)

Recordando Green

\begin{equation} \int_{c}Pdx+Qdy=\iint_{R}\left(Q_{x}-P_{y}\right)dxdy \label{2} \end{equation}

$\int_{c}Pdx+Qdy=\iint_{R}\left(Q_{x}-P_{y}\right)dxdy$ ...(2)

Ahora sustituimos (\ref{1})(1) en (\ref{2})(2)

\begin{equation} \int_{c}f\left(z\right)dz=\iint_{R}\left(-v_{x}-u_{y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(u_{x}-v_{y}\right)dxdy \label{3} \end{equation}

$\int_{c}f\left(z\right)dz=\iint_{R}\left(-v_{x}-u_{y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(u_{x}-v_{y}\right)dxdy$ ....(3)

También recordemos que por Cauchy Riemann:

\begin{equation} u_{x}=-v_{y}; u_{y}=-v_{x} \label{4} \end{equation}

$u_{x}=-v_{y}$ , $u_{y}=-v_{x}$ .... (4)

Sustituimos los valores de (\ref{4}) (4) en (\ref{3}) (3)

$\int_{c}f\left(z\right)dz=\iint_{R}\left(u_{y}-u_{y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(v_{y}-v_{y}\right)dxdy=\iint_{R}0dxdy+i\iint_{R}0dxdy=0$

Por lo tanto cuando f es analítica en R y f prima es continua allí

$\int_{c}f\left(z\right)dz=o=-\int_{-c}f\left(z\right)dz$

Bibliografía:

Ruel V. Churchill/James Ward Brown Variable compleja y aplicaciones

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Aportación por usuario: Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 17:41 5 jul 2015 (CDT)

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