Soluciones a ecuaciones de primer, segundo, tercer y cuarto grado

Soluciones a ecuaciones de primer, segundo, tercer y cuarto grado

la dificultad en la resolución de ecuaciones aumenta con su grado, aparte de otras razones , porque cuanto mayor es esta mas raíces hay que hallar.Por resolución entendemos determinar todas las raíces de una ecuaciones algebraica,tanto reales como imaginarias,ya sea en forma exacta o con una aproximación previamente especificada.

Ecuaciones de primer grado

una ecuación de primer grado es de la forma

$ax+b=0$

la solución esta dada por la formula

$x=-\frac{b}{a}$

esto indica que operaciones deben realizarse con los coeficientes

para hallar la raíz exacta, o aproximada.

Ecuaciones de segundo grado

una ecuación de segundo grado es de la forma

$ax^{2}+bx+c=0$

de aquí, que:

$ax^{2}+bx=-c$

multiplicando por $\frac{1}{a}$en ambos lados de la expresión para

no alterar el resultado

$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

completando cuadrados del lado izquierdo de la ecuación

$x^{2}+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}$

$x^{2}+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^{2}=(\frac{b}{2a})^{2}-\frac{c}{a}$

$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}$

despejando para $x$ y desarrollando

$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{ab^{2}-4a^{2}c}{4a^{3}}$

$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b-4ac}{4a^{2}}$

$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b-4ac}{4a^{2}}}=\pm\frac{\sqrt{b-4ac}}{2a}$

$x=\pm\frac{\sqrt{b-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b-4ac}}{2a}$

Caso especial:

$X^{2}=A$ , donde $A=a+ib$ y $X=x+iy$ son números complejos

entonces

$(x+iy)^{2}=a+ib$

pero

$(x+iy)^{2}=x^{2}+i^{2}y^{2}+i2xy=x^{2}-y^{2}+i2xy$

esto debe de satisfacer

$x^{2}-y^{2}=a....(1)$

$i2xy=ib\Longleftrightarrow2xy=b....(2)$

ademas como

$(x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}+4x^{2}y^{2}$

entonces de $1y2$

$(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}+b^{2}\Longleftrightarrow x^{2}+y^{2}=\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

$x^{2}=\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}-y^{2}$

$y^{2}=\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}-x^{2}$

tomando la raíz positiva y despejando $x^{2}$ y $y^{2}$ de 1 tenemos

$x^{2}=+y^{2}$

$y^{2}=x^{2}-a$

$x^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-y^{2}=a+y^{2}\Longleftrightarrow2y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a\Longleftrightarrow $

$y^{2}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}$

$y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-x^{2}=x^{2}-a\Longleftrightarrow2x^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a\Longleftrightarrow $

$x^{2}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}$

ahora analizando la ecuación 2 en caso de que $b\neq0$la ecuación

determina el signo de $y$ correspondiente a un dado signo de $x$

esto es si $xy>0,b>0$ si $xy<0,b<0$

entonces de acuerdo con esto las soluciones de la ecuación $X^{2}=(x+iy)^{2}=a+ib$

$X=\pm(\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}}),si,xy>0,b>0$

y $X=\pm(\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}}),si,xy<0,b<0$

en caso de que $b=0$ entonces $\sqrt{a^{2}}=a\;o\;\sqrt{a^{2}}=-a$

de aquí se deduce que $x=\pm\sqrt{a};y=0$

si $a>0$ entonces la ecuación $X^{2}=a\Longleftrightarrow X=\pm\sqrt{a}$

si $a<0$ entonces $x=0;y=\pm\sqrt{-a}$ en este caso la misma ecuación

tiene dos raíces imaginarias puras $X=\pm i\sqrt{-a}$

cuando $a=b=0$ solo $X=0$.

Ecuaciones de tercer grado(formula de Cardano)

$f(x)=dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0$

puesto que la división por $d$ no modifica las raíces de la ecuación podemos escribirla como

$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ introduciendo una nueva incógnita esta

ecuación puede modificarse, con este fin hacemos $x=y+k,k(arbitrario)$

Por la formula de Taylor:

$f(y+k)=f(k)+{\frac {f'(k)y}{1!}}+{\frac {f''(k)}{2!}}y^{2}+{\frac {f'''(k)}{3!}}y^{3}+...$

$f(k)=k^{3}+ak^{2}+bk+c;$

$f'(k)=3k^{2}+2ak+b$

$f''(k)=6k+2a\Longleftrightarrow {\frac {1}{2}}f''(k)=3k+a$

$f'''(k)=6\Longleftrightarrow {\frac {1}{6}}f'''(k)=1$

para eliminar el termino en $y^{2}$basta elegir $k$ de modo que:

$3k+a=0$ o $k=-\frac{1}{3}a$

por ser

$f'(\frac{1}{3}a)=3\frac{a^{2}}{9}-\frac{2}{3}a^{2}+b=-\frac{1}{3}a^{2}+b$

$f(k)=(-\frac{1}{3}a)^{3}+a(-\frac{1}{3}a)^{2}+b(-\frac{1}{3}a)+c=-\frac{1}{27}a^{3}+\frac{1}{9}a^{3}-\frac{1}{3}ab+c=\frac{2}{27}a^{3}-\frac{1}{3}ab+c$

si elegimos $x=y-\frac{1}{3}a$

la ecuación $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ se convierte en:

$f(y-\frac{1}{3}a)=(y-\frac{1}{3}a)^{3}+a(y-\frac{1}{3}a)^{2}+b(y-\frac{1}{3}a)+c=y^{3}+y(b-\frac{a^{2}}{3})+(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})=0$

si hacemos:

$p=(b-\frac{a^{2}}{3})$

$q=(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})$

tenemos

$f(y)=y^{3}+py+q=0...(F)$

esta ecuación se puede resolver si $y=u+v$

$f(u+v)=(u+v)^{3}+p(u+v)+q=u^{3}+v^{3}+3u^{2}v+3uv^{2}+pu+pv+q=u^{3}+v^{3}+(p+3uv)(u+v)+q=0$

esta ecuación se vuelve indeterminada a menos que tomemos

$3uv+p=0\Longleftrightarrow uv=-\frac{p}{3}...(1)$

entonces

$f(u+v)=u^{3}+v^{3}+q=0\Longleftrightarrow u^{3}+v^{3}=-q...(2)$

así resolviendo el sistema de ecuaciones 1 y 2 tenemos

$uv=-\frac{p}{3}\Longleftrightarrow u^{3}v^{3}=(-\frac{p}{3})^{3}\Longleftrightarrow u^{3}v^{3}=-\frac{p^{3}}{27}$

$u^{3}+v^{3}=-q$

estas son soluciones de la ecuación cuadrática

$t^{2}+qt-\frac{p^{3}}{27}=0\Longleftrightarrow t=\frac{-q\pm\sqrt{q^{2}-4(-\frac{p^{3}}{27})}}{2}=\frac{-(u^{3}+v^{3})\pm\sqrt{(u^{3}+v^{3})^{2}-4(u^{3}v^{3})}}{2}=\frac{-(u^{3}+v^{3})\pm\sqrt{u^{6}+v^{6}+2u^{3}v^{3}-4u^{3}v^{3}}}{2}=\frac{-(u^{3}+v^{3})\pm\sqrt{u^{6}+v^{6}-2u^{3}v^{3}}}{2}=\frac{-(u^{3}+v^{3})\pm\sqrt{(u^{3}-v^{3})^{2}}}{2}=\frac{-(u^{3}+v^{3})\pm(u^{3}-v^{3})^{2}}{2}$

si

$u^{3}=A$ y $v^{3}=B$ entonces

$A=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$

$B=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$

así los tres valores posibles de $u$serian

$u=\sqrt[3]{A};u=w\sqrt[3]{A};u=w^{2}\sqrt[3]{A}$

donde

$w=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$

con respecto a $v$ también existen tres valores

$v=\sqrt[3]{B};v=w\sqrt[3]{B};v=w^{2}\sqrt[3]{B}$

pero no podemos combinar uno cualquiera de ellos con los 3 valores posibles de $u$,desde que$u$ y $v$ deben satisfacer la relación

$uv=-\frac{p}{3}\Longleftrightarrow\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}=-\frac{p}{3}$

entonces los valores de $v$que pueden combinarse con

$u=\sqrt[3]{A};u=w\sqrt[3]{A};u=w^{2}\sqrt[3]{A}$

$v=\sqrt[3]{B};v=w\sqrt[3]{B};v=w^{2}\sqrt[3]{B}$

por lo tanto la ecuación F tendría las siguientes raíces

$y_{1}=\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

$y_{2}=w\sqrt[3]{A}+w^{2}\sqrt[3]{B}=w\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+w^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}=(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

$y_{3}=w^{2}\sqrt[3]{A}+w\sqrt[3]{B}=w^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+w\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}=(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

ademas como

$p=(b-\frac{a^{2}}{3})$

$q=(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})$

$y_{1}=\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}+\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}-\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}$

$y_{2}=(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}+\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}+(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})^{2}\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}-\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}$

$y_{3}=(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})^{2}\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}+\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}+(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}-\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}$

Ecuaciones de cuarto grado resuelta por Ferrari discípulo de Cardano

ya que podemos suponer lo mismo de la ecuación de tercer grado tenemos que es de la forma

$x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

podemos escribirla como

$x^{4}+ax^{3}=-bx^{2}-cx-d$

y sumando $\frac{a^{2}}{4}x^{2}$a ambos miembros, la ecuación

$(x^{2}+\frac{a}{2}x)^{2}=(\frac{a^{2}}{4}-b)x^{2}-x-d...(1)$

es equivalente a la ecuación original. Si el segundo miembro de esta expresión fuera un cuadrado perfecto, la solución de esta ecuación seria inmediata

$(x^{2}+\frac{a}{2}x)^{2}-(\frac{a^{2}}{4}-b)x^{2}+x+d=x^{4}+\frac{a^{2}}{4}x^{2}+ax^{3}-\frac{a^{2}}{4}x^{2}+bx^{2}+x+d=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+x+d$

ahora sumando a ambos miembros de 1

$y(x^{2}+\frac{a}{2}x)+\frac{y^{2}}{4}$

$((x^{2}+\frac{a}{2}x)^{2})+y(x^{2}+\frac{a}{2}x)+\frac{y^{2}}{4}=(\frac{a^{2}}{4}-b)x^{2}-x-d+y(x^{2}+\frac{a}{2}x)+\frac{y^{2}}{4}$

a modo de obtener un cuadrado perfecto en el primer miembro para un $y$ indeterminado

$(x^{2}+\frac{a}{2}x+\frac{y}{2})^{2}=(\frac{a^{2}}{4}-b+y)x^{2}+(-c+\frac{1}{2}ay)x+(-d+\frac{1}{4}y^{2})$

ahora podemos tratar de determinar a $y$ de modo que

$(\frac{a^{2}}{4}-b+y)x^{2}+(-c+\frac{1}{2}ay)x+(-d+\frac{1}{4}y^{2})$

se convierta en el cuadrado de una expresión lineal $nx+f$ , en general, si:

$Ax+Bx+C=(nx+f)^{2},$ sera $B^{2}-4AC=0,$

de aquí, que

$A=n^{2},B=2nf;C=f^{2}$

si $A=B=C=0$entonces $n=f=0$

pero si $A,B,C\neq0$

entonces

$n=\sqrt{A};f=\frac{B}{2n};C=f^{2}$

de modo que

$(\frac{1}{2}ay-c)^{2}=4(y+\frac{a^{2}}{4}-b(\frac{1}{4}y^{2}-d))\Longleftrightarrow y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y+4bd-a^{2}d-c^{2}=0$

basta tomar para $y$ una raíz cualquiera de esta ecuación cubica, llamada resolvente de la ecuación cuartica, para tener

$(\frac{a^{2}}{4}-b+y)x^{2}+(\frac{1}{2}ay-c)x+\frac{1}{4}y^{2}-d=(nx+f)^{2}$con n y f convenientemente elegidos

la ecuación cuartica queda entonces como:

$(x^{2}+\frac{a}{2}x+\frac{1}{2}y)^{2}=(nx+f)^{2}$ así podemos dividirla en dos ecuaciones cuadráticas

$x^{2}+\frac{a}{2}x+\frac{1}{2}y=nx+f;x^{2}+\frac{a}{2}x+\frac{1}{2}y=-nx-f$

estas ecuaciones resueltas separadamente nos dan las soluciones a la ecuación de cuarto grado.

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Aportación por usuario: Francisco Medina Albino (discusión) 21:17 5 jul 2015 (CDT)

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