Singularidades evitables

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Definamos primero

Definición

Sea $f$ una función de variable compleja. Se dice que $f$ tiene una singularidad aislada en el punto $z_0$ si existe un dominio $D(z_0)$ tal que la función $f$ es analítica en $D^*(z_0)$ ($D^*(z_0)$ es el dominio que excluye a $z_0$) y no lo es en $D(z_0)$.


Definición: Singularidades evitables de una función

Sea $Q\subseteq \mathbb{C}$, $z_0 \epsilon Q$ y $f$ analítica en $Q-${$z_0$}$=D^*(z_0)$. Se dice que $f$ tiene una singularidad evitable en $z_0$ si existe una función $g$ analítica en $Q$ tal que $g(z)=f(z)$ para todo $z\neq z_0$.


Proposición 1

Si $f$ tiene una singularidad evitable en $z_0$, entonces del Teorema de Laurent $f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ en algún $D^*(z_0)$.


Demostración

Dado que $z_0$ tiene una singularidad evitable en $z_0$, existe $g$ analítica en $z_0$ tal que $g(z)=f(z)$ para $z\neq z_0$ y, por ser $g$ analítica en $z_0$, $g(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ en algún $D(z_0)$ y por consiguiente, $f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ en $D^*(z_0)$.


Proposición 2

Sea $Q\subseteq \mathbb{C}$ un conjunto abierto, $z_0 \epsilon Q$ y $f$ una función analítica en $Q-${$z_0$}. Entonces $f$ tiene una singularidad evitable en $z_0$ si, y solo si, $lím_{z\longrightarrow z_0}f(z)\epsilon \mathbb{C}$.


Demostración

Si $f$ tiene una singularidad evitable en $z_0$, se sigue de la proposición 1 que $f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ en algún $D^*(z_0)$, donde $g(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ en $D(z_0)$. Dado que $g$ es analítica en $z_0$, es también continua en $z_0$ y por tanto


$lím_{z\longrightarrow z_0}f(z)=lím_{z\longrightarrow z_0}g(z)=g(z)=k$

donde $k \epsilon \mathbb{C}$.


Por otro lado. Sea el $lím_{z\longrightarrow z_0}f(z)\epsilon \mathbb{C}$. Sea $h: Q\longrightarrow \mathbb{C}$ la función definida por


$h(z)=\begin{Bmatrix}(z-z_0)^2f(z) & \mbox{si}& z\neq z_0 \\0 & \mbox{si}& z=z_0\end{Bmatrix}$


Dado que $(z-z_0)^2$ es entera y $f$ analítica en $Q-${$z_0$}, la función $h$ es analítica para todo $z\neq z_0$. En $z_0$ se cumple que


$lím_{z\longrightarrow z_0}\dfrac{h(z)-h(z_0)}{z-z_0}=lím_{z\longrightarrow z_0}\dfrac{(z-z_0)^2f(z)-0}{z-z_0}=lím_{z\longrightarrow z_0}(z-z_0)f(z)=0* lím_{z\longrightarrow z_0}f(z)=0$


luego $h$ es derivable en $z_0$, con $h'(z_0)=0$, y $h$ es analítica en $Q$.

En consecuencia, admite un desarrollo en serie de potencias en algún dominio $D(z_0)$ que, como $k=h(z_0)=0$ y $a_1=\dfrac{h'(z_0)}{1!}=0$, será de la forma


$h(z)=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_n(z-z_0)^n=(z-z_0)^2\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_n(z-z_0)^{n-2}=(z-z_0)^2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}(z-z_0)^{n-2}=(z-z_0)^2g(z)$


Donde $g(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}(z-z_0)^{n-2}$ es analítica en $D(z_0)$, con $g(z)=a_2$. Dado que $h(z)=(z-z_0)^2f(z)$ en $D^*(z_0)$ luego también se tiene que $f(z)=g(z)$ en $D^*(z_0)$ y, por consiguiente, $f$ tiene una singularidad evitable.