Riccati

Reduction to a second order linear equation

de http://en.wikipedia.org/wiki/Riccati_equation :

As explained on pages 23-25 of Ince's book, the non-linear Riccati equation can always be reduced to a second order linear ordinary differential equation (ODE). Indeed if

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y'=q_0(x) + q_1(x)y + q_2(x)y^2

then, wherever Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): q_2 is non-zero, $v=yq_{2}$ satisfies a Riccati equation of the form

$v'=v^{2}+P(x)v+Q(x),$

where $Q=q_{2}q_{0}$ and $P=q_{1}+(q_{2}'/q_{2})$. In fact

$v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+vq_{2}'/q_{2}=q_{0}q_{2}+(q_{1}+q_{2}'/q_{2})v+v^{2}.$

Substituting $v=-u'/u$, it follows that Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): u satisfies the linear 2nd order ODE

$u''-P(x)u'+Q(x)u=0$

since

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): v'=-(u'/u)'=-(u''/u) +(u'/u)^2=-(u''/u)+v^2

so that

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): u''/u= v^2 -v'=-Q -Pv=-Q +Pu'/u

and hence

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): u'' -Pu' +Qu=0.

A solution of this equation will lead to a solution $y=-u'/(q_{2}u)$ of the original Riccati equation.

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But then, the TDHO ODE is equivalent to the Riccati equation.

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Este punto también lo menciona Jacobsson en relación a medios estratificados en sentido inverso, es decir que la ecuación lineal de segundo grado puede reescribirse como una ecuación no lineal de primer grado tipo Riccati.

--Mfg 10:50 28 nov 2007 (CST)