Rendijas

Rendijas

Para una sola rendija

Se considera una fuente puntual (circulo azul), la radiación

pasara por la rendija de ancho 2a y una vez que interactue

con la abertura sera detectada en una pantalla(Figura 1).

Figura 1: En la figura se muestra el intervalo [a,-a]

La solución se muestra de la siguiente manera, donde $l_{1}$ y $l_{2}$ son los limites de la rendija por donde pasara la luz.

$\Psi (P)=c\int \limits _{l_{1}}^{l_{2}}e^{i\kappa \alpha \xi }\,d\xi$

con base a la figura 1. se observa que los limites de integracion seran $a$ en el limite superior y $-a$ en el limite inferior.

$\Psi (P)=c{\frac {e^{-i\kappa \alpha \xi }}{-i\kappa \alpha }}|_{-a}^{\;a}$

Evaluando.

$\Psi (P)={\frac {c}{-i\kappa \alpha }}(e^{-i\kappa \alpha a}-e^{i\kappa \alpha a})$

multiplicando por 2/2.

$\Psi (P)={\frac {2c}{\kappa \alpha }}({\frac {e^{i\kappa \alpha a}-e^{-i\kappa \alpha a}}{2i}})$

Recordando que $Sen(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

$\Psi (P)={\frac {2c}{\kappa \alpha }}Sen(\kappa \alpha a)$

$\Psi (P)=2ca{\frac {Sen(\kappa \alpha a)}{\kappa \alpha a}}$

Se nombra.

$\gamma =\kappa \alpha a$

Haciendo el cambio de variable se llega a.

$\Psi (P)=2ca{\frac {Sen(\gamma )}{\gamma }}$

Elevando al cuadrado. $|\Psi (P)|=4c^{2}a^{2}({\frac {Sen\gamma }{\gamma }})^{2}=I(p)$

Apertura rectangular

Para una apertura retangular se considera un rectangulo de lados 2a y 2b, utilizando la integral de difracción de Fraunhofer

$\Psi (P)=c\int \limits _{-a}^{a}\int \limits _{-b}^{b}e^{-i\kappa (p\xi +q\eta )}d\xi d\eta =c\{\int \limits _{-a}^{a}e^{-i\kappa p\xi }d\xi \int \limits _{-b}^{b}e^{-i\kappa q\eta }d\eta \}$

En la figura 2 se muestran las dimensiones de la apertura.

observando solo la primera integral con los limites entre a y -a se procede a resolver y evaluar de la siguiente forma.

$\Psi (P)=\int \limits _{-a}^{a}e^{-i\kappa p\xi }d\xi =-{\frac {1}{i\kappa p}}\{e^{-i\kappa pa}-e^{-i\kappa qb}\}=2{\frac {Sen(\kappa pa)}{\kappa pa}}$

De igual forma se realiza la integral faltante. La intensidad esta dada por.

$I(P)=|\Psi (P)|^{2}=({\frac {Sen\kappa pa}{\kappa pa}})^{2}({\frac {Sen\kappa qb}{\kappa qb}})^{2}$

Doble rendija

Utilizando la misma idea de una sola rendija vista anteriormente, se escribe la solución de la siguiente manera.

se puede observar en la figura 2. la simetría que se encuentra al tomar las distancias de la manera en que se muestra

para posteriormente hacer la integral y reducir factores.

Figura 2: En la figura se muestra los intervalos de integración (superior e inferior)

$\Psi (P)=c\{\int \limits _{-d-a}^{-d+a}e^{-i\kappa \alpha \xi }\,d\xi +\int \limits _{d-a}^{d+a}e^{-i\kappa \alpha \xi }\,d\xi \}$

$\Psi (P)=c\{{\frac {e^{-i\kappa \alpha \xi }}{-i\kappa \alpha \xi }}|_{-d-a}^{-d+a}+{\frac {e^{-i\kappa \alpha \xi }}{-i\kappa \alpha \xi }}|_{d-a}^{d+a}\}$

$\Psi (P)=c{\frac {1}{-i\kappa \alpha }}\{e^{-i\kappa \alpha (-d+a)}-e^{-i\kappa \alpha (-d-a)}+e^{-i\kappa \alpha (d+a)}-e^{-i\kappa \alpha (d-a)}\}$

Mulptiplicando por un factor 2\2.

$\Psi (P)={\frac {2c}{2}}{\frac {1}{-i\kappa \alpha }}\{e^{i\kappa \alpha (d-a)}-e^{-i\kappa \alpha (-d-a)}+e^{i\kappa \alpha (-d-a)}-e^{-i\kappa \alpha (d-a)}\}$

Reacomodando los terminos de la suma de exponenciasles.

$\Psi (P)={\frac {2c}{2}}{\frac {1}{-i\kappa \alpha }}\{(e^{i\kappa \alpha (d-a)}-e^{-i\kappa \alpha (d-a)})-(e^{i\kappa \alpha (d+a)}-e^{-i\kappa \alpha (d+a)})\}$

$\Psi (P)=-2c{\frac {1}{\kappa \alpha }}\{{\frac {(e^{i\kappa \alpha (d-a)}-e^{-i\kappa \alpha (d-a)})}{2i}}-{\frac {(e^{i\kappa \alpha (d+a)}-e^{-i\kappa \alpha (d+a)})}{2i}}\}$

$\Psi (P)=-2c{\frac {1}{\kappa \alpha }}\{Sen(\kappa \alpha (d-a))-Sen(\kappa \alpha (d+a))\}$

Usando la indentidad.

$Sen(a)-Sen(b)=2Cos({\frac {1}{2}}(a+b)Sen{\frac {1}{2}}(a-b))$

Entonces.

$Sen(\kappa \alpha (d-a))-Sen(\kappa \alpha (d+a))=\{2Cos({\frac {1}{2}}(\kappa \alpha d-\kappa \alpha a+\kappa \alpha d+\kappa \alpha a))Sen({\frac {1}{2}}(\kappa \alpha d-\kappa \alpha a-\kappa \alpha d-\kappa \alpha a))\}$

haciendo las sumas y eliminando terminos se obtiene.

$\Psi (P)={\frac {4c}{\kappa \alpha }}\{Sen(\kappa \alpha a)Cos(\kappa \alpha d)\}$

Con un cambio de variable se obtiene.

$\Psi (P)=4ca\{{\frac {Sen(\gamma )}{\gamma }}Cos(\delta )\}$

N Rendijas

Para n dendijas se tiene se tiene la solución construida de la

siguiente manera, se puede observar el arreglo de las n rendigas

en la figura 1.

Archivo:Nrendija.jpg

Figura 3: En la figura se muestra los intervalos de integración (superior e inferior), buscando una simetria entre todos ellos.

$\Psi (p)=c\{\int \limits _{0}^{b}e^{i\kappa \alpha \xi }\,d\xi +\int \limits _{h}^{h+b}e^{i\kappa \alpha \xi }\,d\xi +\int \limits _{2h}^{2h+b}......+\int \limits _{(n-1)h}^{(n-1)h+b}e^{i\kappa \alpha \xi }\,d\xi \}$

Donde cada uno de los sumandos representan la solución a la rejilla individual, para cada una de las integrales se observa .

$\int \limits _{l_{1}}^{l_{2}}e^{i\kappa \alpha \xi }\,d\xi ={\frac {e^{i\kappa \alpha \xi }}{\kappa \alpha \xi }}|_{l_{1}}^{l_{2}}={\frac {1}{\kappa \alpha }}{\frac {e^{i\kappa \alpha l_{2}}-e^{i\kappa \alpha l_{1}}}{i}}$

Resolviendo la primera integral y evaluando en los limites.

$1={\frac {1}{\kappa \alpha }}{\frac {e^{i\kappa \alpha b}-1}{i}}$

$2={\frac {1}{\kappa \alpha }}{\frac {e^{i\kappa \alpha (h+b)}-e^{i\kappa \alpha h}}{i}}$

.

.

.

$n={\frac {1}{\kappa \alpha }}{\frac {e^{i\kappa \alpha (n-1)h+b}-e^{i\kappa \alpha (n-1)h}}{i}}$

La segunda ecuación se puede reescribir de la siguiente manera.

${\frac {1}{\kappa \alpha }}e^{i\kappa \alpha h}{\frac {(e^{i\kappa \alpha b}-1)}{i}}$

Para la eneada ecuación.

${\frac {1}{\kappa \alpha }}e^{i\kappa \alpha (n-1)h}{\frac {(e^{i\kappa \alpha b}-1)}{i}}$

Donde se puede observar un termino comun en todas los terminos, se puede reescribir la ecuacion como sigue.

$\Psi (p)=c\{{\frac {1}{\kappa \alpha }}{\frac {e^{i\kappa \alpha b}-1}{i}}\}\{1+e^{i\kappa \alpha h}+e^{i\kappa \alpha 2h}+...e^{i\kappa \alpha (n-1)h}\}$

Recordando.

$\sigma =1+x+x^{2}+...+x^{n-1}$

$\sigma x=x+x^{2}+x^{3}+...+x^{n}$

Restando las dos ecuaciones anteriores.

$x\sigma -\sigma =x^{n}-1$

$\sigma (x-1)=x^{n}-1$

$\sigma ={\frac {x^{n}-1}{x-1}}$

Si se observa la ecuación se reescribe.

$\sigma ={\frac {x^{n}-1}{x-1}}={\frac {e^{i\kappa \alpha nh}-1}{e^{i\kappa \alpha h}-1}}$

en la ecuacion.

$\Psi (P)=c{\frac {e^{i\kappa \alpha b}-1}{\kappa \alpha }}\{{\frac {e^{i\kappa \alpha nh}-1}{e^{i\kappa \alpha h}-1}}\}$

$\Psi (P)={\frac {2c}{\kappa \alpha }}e^{i\kappa \alpha {\frac {b}{2}}}({\frac {e^{i\kappa \alpha {\frac {b}{2}}}-e^{-i\kappa \alpha {\frac {b}{2}}}}{2i}}){\frac {e^{i\kappa \alpha n{\frac {h}{2}}}({\frac {e^{i\kappa \alpha n{\frac {h}{2}}}-e^{-i\kappa \alpha n{\frac {h}{2}}}}{2i}})}{e^{i\kappa \alpha {\frac {h}{2}}}({\frac {e^{i\kappa \alpha {\frac {h}{2}}}-e^{-i\kappa \alpha {\frac {h}{2}}}}{2i}})}}$

$\Psi (P)={\frac {2c}{\kappa \alpha }}e^{i\kappa \alpha {\frac {b}{2}}}(Sen({\frac {\kappa \alpha b}{2}})){\frac {e^{i\kappa \alpha n{\frac {h}{2}}}(Sen({\frac {\kappa \alpha nh}{2}}))}{e^{i\kappa \alpha {\frac {h}{2}}}(Sen({\frac {\kappa \alpha nh}{2}}))}}$

$\Psi (P)=cbe^{i\kappa \alpha {\frac {b}{2}}}e^{i\kappa \alpha (n-1){\frac {h}{2}}}{\frac {(Sen({\frac {\kappa \alpha b}{2}}))}{\frac {\kappa \alpha b}{2}}}{\frac {Sen(n\kappa \alpha {\frac {h}{2}})}{Sen(\kappa \alpha {\frac {h}{2}})}}$

$\Psi (P)=c\{n\}{\frac {Sen(\beta )}{\beta }}{\frac {Sen(n\beta )}{n\beta }}$

$|\Psi (P)|=I_{0}({\frac {Sen(\beta )}{\beta }})^{2}({\frac {Sen(n\beta )}{n\beta }})^{2}$