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Línea 1: |
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| =Rendijas= | | =Rendijas= |
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| | La difracción en rendijas es un fenómeno amplia mente estudiado, este fenómeno se lleva a cabo mediante una luz incidente en una |
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| | apertura con dimensiones variables o en su caso varias aperturas. La difracción ocurre cuando la longitud de onda de la luz |
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| | incidente en la apertura tiene dimensiones de longitud muy parecidas. |
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| | En los párrafos siguientes se muestra el calculo de la difracción en en cuatro diferentes aberturas (tres de ellos en 1D Y uno mas en dos dimensiones) y como se llega a la irradianza. |
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| ==Para una sola rendija== | | ==Para una sola rendija== |
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| Se considera una fuente puntual (circulo azul), la radiación pasara por la rendija de ancho | | Se considera una fuente puntual (circulo azul), la radiación pasara por la rendija de ancho |
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| [[Image:rec.jpg|frame|c|0.05px|Figura 2: En la figura se muestran las dimensiones del rectángulo]] | | [[Image:rec.jpg|frame|c|0.05px|Figura 2: En la figura se muestran las dimensiones del rectángulo]] |
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| Para una apertura retangular se considera un rectangulo de lados 2a y 2b, utilizando la integral de difracción de Fraunhofer | | Para una apertura rectangular se considera un rectángulo de lados 2a y 2b, utilizando la integral de difracción de Fraunhofer |
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| observando solo la primera integral con los limites entre a y -a se procede a resolver y evaluar de la siguiente forma.
| | Observando solo la primera integral con los limites entre a y -a se procede a resolver y evaluar de la siguiente forma. |
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| <math> \Psi(P)= \int\limits_{-a}^{a} e^{-i\kappa p\xi} d\xi= - \frac{1}{i \kappa p} \{ e^{-i \kappa pa}-e^{-i \kappa qb} \} | | <math> \Psi(P)= \int\limits_{-a}^{a} e^{-i\kappa p\xi} d\xi= - \frac{1}{i \kappa p} \{ e^{-i \kappa pa}-e^{-i \kappa qb} \} |
| =2 \frac{Sen (\kappa pa)}{\kappa pa}</math> | | =2 \frac{Sen (\kappa pa)}{\kappa pa}</math> |
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| De igual forma se realiza la integral faltante. La intensidad esta dada por. | | De igual forma se realiza la otra integral. La intensidad esta dada por. |
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| <math> I(P)=|\Psi(P)|^{2}=(\frac{Sen \kappa pa}{\kappa pa})^{2}(\frac{Sen \kappa qb}{\kappa qb})^{2} </math> | | <math> I(P)=|\Psi(P)|^{2}=(\frac{Sen \kappa pa}{\kappa pa})^{2}(\frac{Sen \kappa qb}{\kappa qb})^{2} </math> |
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Línea 98: |
| <math> \Psi(P)=c \frac{1}{-i \kappa \alpha} \{e^{-i \kappa \alpha (-d+a)}-e^{-i \kappa \alpha (-d-a)}+e^{-i \kappa \alpha (d+a)}-e^{-i \kappa \alpha (d-a)} \} </math> | | <math> \Psi(P)=c \frac{1}{-i \kappa \alpha} \{e^{-i \kappa \alpha (-d+a)}-e^{-i \kappa \alpha (-d-a)}+e^{-i \kappa \alpha (d+a)}-e^{-i \kappa \alpha (d-a)} \} </math> |
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| Mulptiplicando por un factor 2\2.
| | Multiplicando por un factor 2\2. |
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| <math> \Psi(P)= \frac{2c}{2} \frac{1}{-i \kappa \alpha} \{e^{i \kappa \alpha (d-a)} | | <math> \Psi(P)= \frac{2c}{2} \frac{1}{-i \kappa \alpha} \{e^{i \kappa \alpha (d-a)} |
Línea 95: |
Línea 105: |
| -e^{-i \kappa \alpha (d-a)} \} </math> | | -e^{-i \kappa \alpha (d-a)} \} </math> |
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| Reacomodando los terminos de la suma de exponenciasles.
| | Haciendo un Re acomodando los términos de la suma de exponenciales. |
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| Usando la indentidad. | | Usando la identidad. |
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| <math> Sen(a)-Sen(b)=2Cos(\frac{1}{2}(a+b)Sen\frac{1}{2}(a-b))</math> | | <math> Sen(a)-Sen(b)=2Cos(\frac{1}{2}(a+b)Sen\frac{1}{2}(a-b))</math> |
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Línea 145: |
| \} </math> | | \} </math> |
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| haciendo las sumas y eliminando terminos se obtiene. | | haciendo las sumas y eliminando términos se obtiene. |
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| <math> \Psi(P)= \frac{4c}{ \kappa \alpha} \{ | | <math> \Psi(P)= \frac{4c}{ \kappa \alpha} \{ |
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| ==N Rendijas== | | ==N Rendijas== |
| Para n dendijas se tiene se tiene la solución construida de la | | Para n rendijas se tiene se tiene la solución construida de la |
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| siguiente manera, se puede observar el arreglo de las n rendigas | | siguiente manera, se puede observar el arreglo de las n rendijas |
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| en la figura 4. | | en la figura 4. |
Línea 175: |
Línea 185: |
| =\frac{e^{i\kappa\alpha\xi}}{\kappa\alpha\xi}|^{l_{2}}_{l_{1}}=\frac {1}{\kappa\alpha}\frac{e^{i\kappa\alpha l_{2}}-e^{i\kappa\alpha l_{1}}}{i}</math> | | =\frac{e^{i\kappa\alpha\xi}}{\kappa\alpha\xi}|^{l_{2}}_{l_{1}}=\frac {1}{\kappa\alpha}\frac{e^{i\kappa\alpha l_{2}}-e^{i\kappa\alpha l_{1}}}{i}</math> |
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| Resolviendo la primera integral y evaluando en los limites. | | Resolviendo la primera integral, segunda y n-ada integral. |
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| <math>1=\frac{1}{\kappa \alpha} \frac{e^{i \kappa \alpha b}-1}{i} </math> | | <math>1=\frac{1}{\kappa \alpha} \frac{e^{i \kappa \alpha b}-1}{i} </math> |
Línea 195: |
Línea 205: |
| Para la eneada ecuación. | | Para la eneada ecuación. |
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| <math> \frac{1}{\kappa \alpha} e^{i \kappa \alpha (n-1)h}\frac{(e^{i \kappa \alpha b}-1)}{i} </math> | | <math> \frac{1}{\kappa \alpha} (e^{i \kappa \alpha (n-1)h}) (\frac{e^{i \kappa \alpha b}-1}{i}) </math> |
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| Donde se puede observar un termino comun en todas los terminos, se puede reescribir la ecuacion como sigue. | | Donde se puede observar un termino común en todas los términos, se puede reescribir la ecuación como sigue. |
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Línea 220: |
Línea 230: |
| <math> \sigma=\frac{x^{n}-1}{x-1}= \frac{e^{i \kappa \alpha nh}-1}{e^{i \kappa \alpha h}-1}</math> | | <math> \sigma=\frac{x^{n}-1}{x-1}= \frac{e^{i \kappa \alpha nh}-1}{e^{i \kappa \alpha h}-1}</math> |
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| en la ecuacion. | | en la ecuación. |
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| <math> \Psi(P)=c \frac{e^{i \kappa \alpha b}-1}{\kappa \alpha} \{ \frac{e^{i \kappa \alpha nh}-1}{e^{i \kappa \alpha h}-1} \} </math> | | <math> \Psi(P)=c \frac{e^{i \kappa \alpha b}-1}{\kappa \alpha} \{ \frac{e^{i \kappa \alpha nh}-1}{e^{i \kappa \alpha h}-1} \} </math> |
Rendijas
La difracción en rendijas es un fenómeno amplia mente estudiado, este fenómeno se lleva a cabo mediante una luz incidente en una
apertura con dimensiones variables o en su caso varias aperturas. La difracción ocurre cuando la longitud de onda de la luz
incidente en la apertura tiene dimensiones de longitud muy parecidas.
En los párrafos siguientes se muestra el calculo de la difracción en en cuatro diferentes aberturas (tres de ellos en 1D Y uno mas en dos dimensiones) y como se llega a la irradianza.
Para una sola rendija
Se considera una fuente puntual (circulo azul), la radiación pasara por la rendija de ancho
2a y una vez que interactue con la abertura sera detectada en una pantalla (Figura 1).
Figura 1: En la figura se muestra el intervalo [a,-a]
La solución se muestra de la siguiente manera, donde y
son los limites de la rendija por donde pasara la luz.
con base a la figura 1. se observa que los limites de integracion seran en el limite superior y en el limite inferior.
Evaluando.
multiplicando por 2/2.
Recordando que
Se nombra.
Haciendo el cambio de variable se llega a.
Elevando al cuadrado.
Apertura rectangular
Figura 2: En la figura se muestran las dimensiones del rectángulo
Para una apertura rectangular se considera un rectángulo de lados 2a y 2b, utilizando la integral de difracción de Fraunhofer
En la figura 2 se muestran las dimensiones de la apertura donde los ejes ahora son llamados con otro nombre, en el eje x se tiene y en el eje "y" la letra
Observando solo la primera integral con los limites entre a y -a se procede a resolver y evaluar de la siguiente forma.
De igual forma se realiza la otra integral. La intensidad esta dada por.
Doble rendija
Utilizando la misma idea de una sola rendija vista anteriormente, se escribe la solución de la siguiente manera.
se puede observar en la figura 3. la simetría que se encuentra al tomar las distancias de la manera en que se muestra
para posteriormente hacer la integral y reducir factores.
Figura 3: En la figura se muestra los intervalos de integración (superior e inferior)
Multiplicando por un factor 2\2.
Haciendo un Re acomodando los términos de la suma de exponenciales.
Usando la identidad.
Entonces.
haciendo las sumas y eliminando términos se obtiene.
Con un cambio de variable se obtiene.
N Rendijas
Para n rendijas se tiene se tiene la solución construida de la
siguiente manera, se puede observar el arreglo de las n rendijas
en la figura 4.
Figura 4: En la figura se muestra los intervalos de integración (superior e inferior), buscando una simetria entre todos ellos.
Donde cada uno de los sumandos representan la solución a la rejilla individual, para cada una de las integrales se observa .
Resolviendo la primera integral, segunda y n-ada integral.
.
.
.
La segunda ecuación se puede reescribir de la siguiente manera.
Para la eneada ecuación.
Donde se puede observar un termino común en todas los términos, se puede reescribir la ecuación como sigue.
Recordando.
Restando las dos ecuaciones anteriores.
Si se observa la ecuación se reescribe.
en la ecuación.