Relación de Euler

\documentclass[english]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[latin9]{inputenc} \usepackage{babel} \begin{document} Primero que nada hay que recordar de donde viene el número imgiario \textit{i}, sabemos que su igualdad es \textit{i=$\sqrt{-1}$ , }por lo que obviamente \textit{$i{}^{2}$= -1.} También tenemos que recordar el teorema de Taylor para el caso de una variable: $f(x)=\sum\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^{n}$ Así podemos realizar los desarrollos en serie de las funciones seno y coseno: $sen\theta=\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}...$ $cos\theta=1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}...$ Ahora multiplicamos $sen\theta$por $i$: $isen\theta=i\theta-i\frac{\theta{}^{3}}{3!}+i\frac{\theta^{5}}{5!}...$ Al sumar $isen\theta+cos\theta$vemos que obtenemos: $isen\theta+cos\theta=1+i\theta-\frac{\theta^{2}}{2!}-i\frac{\theta{}^{3}}{3!}+\frac{\theta^{4}}{4!}+i\frac{\theta^{5}}{5!}+...$ Con la relación \textit{$i{}^{2}$= -1, }sustituimos los signos negativos que aparecen en la fórmula anterior y realizamos unos cambios como el de $i^{4}=1$ y encontramos entonces: $isen\theta+cos\theta=1+i\theta+\frac{(i\theta)^{2}}{2!}+\frac{(i\theta){}^{3}}{3!}+\frac{(i\theta)^{4}}{4!}+\frac{(i\theta)^{5}}{5!}+...$ Que es justamente el desarrollo en serie de la función $\exp^{i\theta}$, por lo tanto: $\exp^{i\theta}=isen\theta+cos\theta$ o visto de otro modo: $e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta$ \end{document}