Relación de Euler

Primero que nada hay que recordar de donde viene el número imaginario $i$, sabemos que su igualdad es $i=\sqrt{-1}$ , por lo que obviamente $i^{2}=-1$.

También tenemos que recordar el teorema de Taylor para el caso de una variable:

$f(x)=\sum\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^{n}$

Así podemos realizar los desarrollos en serie de las funciones seno y coseno:

$sen\theta=\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}...$

$cos\theta=1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}...$

Ahora multiplicamos $sen\theta$por $i$:

$isen\theta=i\theta-i\frac{\theta{}^{3}}{3!}+i\frac{\theta^{5}}{5!}...$

Al sumar $isen\theta+cos\theta$ vemos que obtenemos:

$isen\theta+cos\theta=1+i\theta-\frac{\theta^{2}}{2!}-i\frac{\theta{}^{3}}{3!}+\frac{\theta^{4}}{4!}+i\frac{\theta^{5}}{5!}+...$

Con la relación \textit{$i^{2}=-1$, }sustituimos los signos negativos que aparecen en la fórmula anterior y realizamos unos cambios como el de $i^{4}=1$ y encontramos entonces:

$isen\theta+cos\theta=1+i\theta+\frac{(i\theta)^{2}}{2!}+\frac{(i\theta){}^{3}}{3!}+\frac{(i\theta)^{4}}{4!}+\frac{(i\theta)^{5}}{5!}+...$

Que es justamente el desarrollo en serie de la función $\exp^{i\theta}$, por lo tanto:

$\exp^{i\theta}=isen\theta+cos\theta$

o visto de otro modo:

$e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta$