Radiacion: reflexion y refraccion en conductores

Concepto de medio conductor

La característica sobresaliente de los medios conductores es la presencia de un numero de cargas eléctricas libres, es decir que no están ligadas por lo tanto son capaces de circular por todas partes dentro del material. Para los metales estas cargas son por supuesto los electrones y su movimiento constituye una corriente. Los metales son medios isótropos que tienen como característica que su conductividad, sigma, es distinta de cero.

Para un dieléctrico no hay electrones libres o de conducción y $\sigma =0$, mientras que para los metales reales $\sigma$ es diferente de cero y finita. En contraste un conductor ideal tendría una conductividad infinita. Esto equivale a decir que los electrones impulsados a oscilar por una onda armónica, simplemente seguiría las alteraciones del campo. No habría fuerza de restarauracion, ni frecuencias naturales, ni absorción, solamente remisión. En metales reales los electrones de conducción sufren colisiones con la red agitada térmicamente o con imperfecciones y al hacerlo así convierten energía electromagnética de forma irreversible como calor de joule. La absorción de energia radiante de un material es una función de su conductividad.

Aproximaciones

$\mathbf {E=E_{0}} cos(\mathbf {k\cdot r} -\omega t)$

Medios conductores

En esta imagen el lado izquierdo representa un medio dielectrico y el derecho el medio conductor, por lo que n1 es real y n2 es complejo .

Utilizando la información recolectada al estudiar la incidencia en un medio dieléctrico sobre otro dieléctrico propondremos el uso de la misma estructura en las ecuaciones mostradas a continuación, primero para el caso de incidencia normal, que como vemos son muy sencillas y luego ya en función del ángulo de incidencia que es el caso más general. Donde obtenemos la amplitud de la onda reflejada y refractada en funcion de la amplitud de la onda incidente.

Incidencia normal $E_{b}=E_{a}{\frac {n-n^{\prime }}{n+n^{\prime }}}$

$E_{b^{\prime }}=E_{a}{\frac {2n}{n+n^{\prime }}}$

Las amplitudes biprimas son las reflejadas y la primas las transmitidas.

Incidencia oblicua: perpendicular al plano $E_{0}^{\prime \prime }=E_{0}{\frac {ncos\theta -n^{\prime }cos\theta ^{\prime }}{ncos\theta +n^{\prime }cos\theta ^{\prime }}}$

$E_{0}^{\prime }=E_{0}{\frac {2ncos\theta }{ncos\theta +n^{\prime }cos\theta ^{\prime }}}$

paralelo al plano deincidencia $E_{0}^{\prime \prime }=E_{0}{\frac {ncos\theta ^{\prime }-n^{\prime }cos\theta }{ncos\theta ^{\prime }+n^{\prime }cos\theta }}$

$E_{0}^{\prime }=E_{0}{\frac {2ncos\theta ^{\prime }}{ncos\theta ^{\prime }+n^{\prime }cos\theta }}$

En el medio conductor Para el caso dieléctrico/conductor haremos que el medio dos, que es donde la onda incide, vectores complejos, la razón de esto como ya explicamos en secciones anteriores es que nuestra onda al entrar en el conductor sea amortiguada, cuya amplitud decae en dirección K.

perpendicular al plano $E_{0}^{\prime \prime }=E_{0}{\frac {ncos\theta -{\tilde {n}}^{\prime }cos{\tilde {\theta }}^{\prime }}{ncos\theta +{\tilde {n}}^{\prime }cos{\tilde {\theta }}^{\prime }}}$

$E_{0}^{\prime }=E_{0}{\frac {2ncos\theta }{ncos\theta +{\tilde {n}}^{\prime }cos{\tilde {\theta }}^{\prime }}}$

paralelo al plano deincidencia $E_{0}^{\prime \prime }=E_{0}{\frac {ncos{\tilde {\theta }}^{\prime }-{\tilde {n}}^{\prime }cos\theta }{ncos{\tilde {\theta }}^{\prime }+{\tilde {n}}^{\prime }cos\theta }}$

$E_{0}^{\prime }=E_{0}{\frac {2ncos{\tilde {\theta }}^{\prime }}{ncos{\tilde {\theta }}^{\prime }+{\tilde {n}}^{\prime }cos\theta }}$

$\nabla ^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t^{2}}}-\sigma \mu {\frac {\partial \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=0$

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {r} )\mathbf {e} ^{-i\omega t}=E_{0}\mathbf {e} ^{i(\mathbf {\tilde {k}} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$

$\nabla ^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} )\mathbf {e} ^{-i\omega t}+\omega ^{2}\epsilon \mu \mathbf {E} (\mathbf {r} )\mathbf {e} ^{-i\omega t}-i\omega \sigma \mu \mathbf {E} (\mathbf {r} )\mathbf {e} ^{-i\omega t}=0$

$\nabla ^{2}=i\mathbf {\tilde {k}} \cdot i\mathbf {\tilde {k}} =-{\tilde {k}}^{2}$

$-{\tilde {k}}^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} )\mathbf {e} ^{-i\omega t}+\omega ^{2}\epsilon \mu \mathbf {E} (\mathbf {r} )\mathbf {e} ^{-i\omega t}+i\omega \sigma \mu \mathbf {E} (\mathbf {r} )\mathbf {e} ^{-i\omega t}=0$

$-{\tilde {k}}^{2}+\omega ^{2}\epsilon \mu +i\omega \sigma \mu =0$

${\tilde {k}}^{2}={\tilde {k}}^{\prime 2}$

${\tilde {k}}^{\prime 2}=\omega ^{2}\epsilon \mu _{0}+i\omega \sigma \mu _{0}$

${\tilde {k}}^{\prime 2}=(\omega ^{2}\epsilon \mu _{0}{\frac {c^{2}}{\omega ^{2}}}+i\omega \sigma \mu _{0}{\frac {c^{2}}{\omega ^{2}}}){\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$

${\tilde {k}}^{\prime 2}=({\frac {\epsilon }{\epsilon _{0}}}+{\frac {i\sigma }{\omega \epsilon _{0}}}){\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$

${\tilde {k}}^{\prime }={\frac {\omega }{c}}{\sqrt {{\frac {\epsilon }{\epsilon _{0}}}+{\frac {i\sigma }{\omega \epsilon _{0}}}}}$

${\tilde {k}}^{\prime }={\frac {\omega }{c}}{\tilde {n}}^{\prime }$

${\tilde {n}}^{\prime }={\sqrt {{\frac {\epsilon }{\epsilon _{0}}}+{\frac {i\sigma }{\omega \epsilon _{0}}}}}$ ${\frac {\epsilon }{\epsilon _{0}}}=k$ ${\tilde {n}}^{\prime }=n^{\prime }+i\eta ^{\prime }$

$n^{\prime }={\sqrt {{\frac {1}{2}}(k+{\sqrt {k^{2}+{({\frac {\sigma }{\omega \epsilon _{0}}})}^{2}}}}}$

$\eta ^{\prime }={\sqrt {{\frac {1}{2}}(-k+{\sqrt {k^{2}+{({\frac {\sigma }{\omega \epsilon _{0}}})}^{2}}}}}$

Ecuaciones para el medio conductor

${\tilde {n}}^{\prime }cos{\tilde {\theta }}^{\prime }=p+iq$

${\tilde {n}}^{\prime 2}cos^{2}{\tilde {\theta }}^{\prime }=p^{2}-q^{2}+i2pq$

${\tilde {n}}^{\prime 2}(1-sin{\tilde {\theta }}^{\prime })^{2}=p^{2}-q^{2}+i2pq$

${\tilde {n}}^{\prime 2}-({\tilde {n}}sin{\tilde {\theta }}^{\prime })^{2}=p^{2}-q^{2}+i2pq$

$n^{\prime 2}-\eta ^{\prime 2}+i2n^{\prime }\eta ^{\prime }-(nsin\theta )^{2}=p^{2}-q^{2}+i2pq$

$n^{\prime 2}-\eta ^{\prime 2}-(nsin\theta )^{2}=p^{2}-q^{2}$

$p={\sqrt {{\frac {1}{2}}({k-{\frac {\sigma \sin ^{2}\theta }{\omega \epsilon _{0}}}})+{\sqrt {(k-{{\frac {\sigma \sin \theta }{\omega \epsilon _{0}}})^{2}}+({\frac {\sigma }{\omega \epsilon _{0}}})^{2}}}}}$

$q={\sqrt {{\frac {1}{2}}({-k-{\frac {\sigma \sin ^{2}\theta }{\omega \epsilon _{0}}}})+{\sqrt {(k-{{\frac {\sigma \sin \theta }{\omega \epsilon _{0}}})^{2}}+({\frac {\sigma }{\omega \epsilon _{0}}})^{2}}}}}$