Radiacion: reflexion y refraccion en conductores

Concepto de medio conductor

La característica sobresaliente de los medios conductores es la presencia de un numero de cargas eléctricas libres, es decir que no están ligadas por lo tanto son capaces de circular por todas partes dentro del material. Para los metales estas cargas son por supuesto los electrones y su movimiento constituye una corriente. Los metales son medios isótropos que tienen como característica que su conductividad, sigma, es distinta de cero.

Para un dieléctrico no hay electrones libres o de conducción y $\sigma =0$, mientras que para los metales reales $\sigma$ es diferente de cero y finita. En contraste un conductor ideal tendría una conductividad infinita. Esto equivale a decir que los electrones impulsados a oscilar por una onda armónica, simplemente seguiría las alteraciones del campo. No habría fuerza de restarauracion, ni frecuencias naturales, ni absorción, solamente remisión. En metales reales los electrones de conducción sufren colisiones con la red agitada térmicamente o con imperfecciones y al hacerlo así convierten energía electromagnética de forma irreversible como calor de joule. La absorción de energia radiante de un material es una función de su conductividad.

Aproximaciones

La justificación para trabajar con vectores complejos nos viene dada al definir nuestra función como $\phi =\mathbf {A} cos(kx-\omega t)$ que representa a nuestra onda plana que como hemos explicado antes, debe ser amortiguada al entrar al medio 2 por lo cual buscamos una funcion que evaluada en $z=0$ (interfaz) sea cero y que su derivada sea negativa. La funcion que cumple perfectamente esto es $\mathbf {e} ^{-px}$ donde al reescribir $\phi$ en termino de exponenciales encontramos que$\phi =\mathbf {Ae} ^{-px}\mathbf {e} ^{i(kx-\omega t)}=\mathbf {Ae} ^{i(kx+ipx-\omega t)}$ que como podemos ver a continuacion se puede escribir como un numero complejo, lo cual justifica su uso en la descripcion de una onda amortiguada $\phi =\mathbf {Ae} ^{i[(k+ip)x-\omega t]}=\mathbf {Ae} ^{i({\tilde {k}}x-\omega t)}$. Con la tilde direfenciaremos a los numeros complejos en este trabajo.

Medios conductores

En esta imagen el lado izquierdo representa un medio dielectrico y el derecho el medio conductor, por lo que n1 es real y n2 es complejo .

Utilizando la información recolectada al estudiar la incidencia en un medio dieléctrico sobre otro dieléctrico propondremos el uso de la misma estructura en las ecuaciones mostradas a continuación, primero para el caso de incidencia normal, que como vemos son muy sencillas y luego ya en función del ángulo de incidencia que es el caso más general. Donde obtenemos la amplitud de la onda reflejada y refractada en funcion de la amplitud de la onda incidente.

Incidencia normal $E_{b}^{\prime \prime }=E_{a}{\frac {n-n^{\prime }}{n+n^{\prime }}}$ ; $E_{b}^{\prime }=E_{a}{\frac {2n}{n+n^{\prime }}}$

Las amplitudes biprimas son las reflejadas y la primas las transmitidas.

Incidencia oblicua: perpendicular al plano $E_{0}^{\prime \prime }=E_{0}{\frac {ncos\theta -n^{\prime }cos\theta ^{\prime }}{ncos\theta +n^{\prime }cos\theta ^{\prime }}}$ ;

$E_{0}^{\prime }=E_{0}{\frac {2ncos\theta }{ncos\theta +n^{\prime }cos\theta ^{\prime }}}$

paralelo al plano deincidencia $E_{0}^{\prime \prime }=E_{0}{\frac {ncos\theta ^{\prime }-n^{\prime }cos\theta }{ncos\theta ^{\prime }+n^{\prime }cos\theta }}$ ; $E_{0}^{\prime }=E_{0}{\frac {2ncos\theta ^{\prime }}{ncos\theta ^{\prime }+n^{\prime }cos\theta }}$

Medio conductor.

Para el caso dieléctrico/conductor haremos que en el medio dos, que es donde la onda incide, los vectores sean complejos, ya que la reflexión cuando la luz incide sobre un medio isótropo de conductividad no nula tiene el índice de refracción del segundo medio complejo, donde n' y k (coeficiente de extinción) son constantes reales y positivas relacionadas con la constante dieléctrica y la conductividad del medio. La amplitud decae en dirección K.

perpendicular al plano $E_{0}^{\prime \prime }=E_{0}{\frac {ncos\theta -{\tilde {n}}^{\prime }cos{\tilde {\theta }}^{\prime }}{ncos\theta +{\tilde {n}}^{\prime }cos{\tilde {\theta }}^{\prime }}}$ ; $E_{0}^{\prime }=E_{0}{\frac {2ncos\theta }{ncos\theta +{\tilde {n}}^{\prime }cos{\tilde {\theta }}^{\prime }}}$

paralelo al plano deincidencia $E_{0}^{\prime \prime }=E_{0}{\frac {ncos{\tilde {\theta }}^{\prime }-{\tilde {n}}^{\prime }cos\theta }{ncos{\tilde {\theta }}^{\prime }+{\tilde {n}}^{\prime }cos\theta }}$ ; $E_{0}^{\prime }=E_{0}{\frac {2ncos{\tilde {\theta }}^{\prime }}{ncos{\tilde {\theta }}^{\prime }+{\tilde {n}}^{\prime }cos\theta }}$

Para saber cuanto vale ${\tilde {n}}^{\prime }$ utilicemos la ecuacion extraida de el tratamiento de las ecuaciones de maxwel y las condiciones de frontera del campo electrico y magnetico.

$\nabla ^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t^{2}}}-\sigma \mu {\frac {\partial \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=0$...(1)

Reprecentando el vector de campo electrico como

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {r} )\mathbf {e} ^{-i\omega t}=E_{0}\mathbf {e} ^{i(\mathbf {\tilde {k}} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$

Sustituimos en la ecuacion 1 para obtener

$\nabla ^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} )\mathbf {e} ^{-i\omega t}+\omega ^{2}\epsilon \mu \mathbf {E} (\mathbf {r} )\mathbf {e} ^{-i\omega t}-i\omega \sigma \mu \mathbf {E} (\mathbf {r} )\mathbf {e} ^{-i\omega t}=0$...(2)

Utilizando $\nabla e^{i(\mathbf {k\cdot r} )}=i\mathbf {k}$ podemos proponer el operador laplaciano de una onda plana en este caso como

$\nabla ^{2}=i\mathbf {\tilde {k}} \cdot i\mathbf {\tilde {k}} =-{\tilde {k}}^{2}$

y sustituimos en la ecuacion 2 nuestros resultados

$-{\tilde {k}}^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} )\mathbf {e} ^{-i\omega t}+\omega ^{2}\epsilon \mu \mathbf {E} (\mathbf {r} )\mathbf {e} ^{-i\omega t}+i\omega \sigma \mu \mathbf {E} (\mathbf {r} )\mathbf {e} ^{-i\omega t}=0$

Factorizamos $\mathbf {E} (\mathbf {r} )\mathbf {e} ^{-i\omega t}$ de la ecuacion anterior y sustituimos ${\tilde {k}}^{2}={\tilde {k}}^{\prime 2}$ para que sea mas consistente con nuestra notacion ya que los valores primados son los que viven en el medio dos, nuestro conductor. Por ser un medio que consideramos magnetico haremos $\mu =\mu _{0}$

$-{\tilde {k}}^{\prime 2}+\omega ^{2}\epsilon \mu +i\omega \sigma \mu =0$

${\tilde {k}}^{\prime 2}=\omega ^{2}\epsilon \mu _{0}+i\omega \sigma \mu _{0}$

Multiplicando por 1 escrito como ${\frac {c^{2}}{\omega ^{2}}}*{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$ para poder llevar la ecuacion a su forma ${\tilde {k}}^{\prime }={\frac {\omega }{c}}{\tilde {n}}^{\prime }$ y de esta manera identificar el valor de ${\tilde {n}}^{\prime }$, donde $c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}$.

${\tilde {k}}^{\prime 2}=(\omega ^{2}\epsilon \mu _{0}{\frac {c^{2}}{\omega ^{2}}}+i\omega \sigma \mu _{0}{\frac {c^{2}}{\omega ^{2}}}){\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=({\frac {\epsilon }{\epsilon _{0}}}+{\frac {i\sigma }{\omega \epsilon _{0}}}){\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$

${\tilde {k}}^{\prime }={\frac {\omega }{c}}{\sqrt {{\frac {\epsilon }{\epsilon _{0}}}+{\frac {i\sigma }{\omega \epsilon _{0}}}}}$

${\tilde {n}}^{\prime }={\sqrt {{\frac {\epsilon }{\epsilon _{0}}}+{\frac {i\sigma }{\omega \epsilon _{0}}}}}$

Renombremos ${\frac {\epsilon }{\epsilon _{0}}}=k$ y recordando que definimos ${\tilde {n}}^{\prime }=n^{\prime }+i\eta ^{\prime }$ despejemos $n^{\prime }$ Y $\eta ^{\prime }$

$n^{\prime }={\sqrt {{\frac {1}{2}}(k+{\sqrt {k^{2}+{({\frac {\sigma }{\omega \epsilon _{0}}})}^{2}}}}}$

$\eta ^{\prime }={\sqrt {{\frac {1}{2}}(-k+{\sqrt {k^{2}+{({\frac {\sigma }{\omega \epsilon _{0}}})}^{2}}}}}$

Tomando en cuenta que la ley de Snell tambien se cumple.

$n\sin \theta ={\tilde {n}}^{\prime }\sin {\tilde {\theta }}^{\prime }$

Ecuaciones para el medio conductor

${\tilde {n}}^{\prime }cos{\tilde {\theta }}^{\prime }=p+iq$

Elevamos al cuadrado ambas partes de la ecuación y descomponemos el coseno para encontrar un término donde podamos aplicar la ley de Snell, con esto lograremos poner todo en función de el ángulo de incidencia y el medio 1, datos que siempre tenemos.

${\tilde {n}}^{\prime 2}cos^{2}{\tilde {\theta }}^{\prime }=p^{2}-q^{2}+i2pq$

${\tilde {n}}^{\prime 2}(1-sin{\tilde {\theta }}^{\prime })^{2}=p^{2}-q^{2}+i2pq$

${\tilde {n}}^{\prime 2}-({\tilde {n}}sin{\tilde {\theta }}^{\prime })^{2}=p^{2}-q^{2}+i2pq$

Aplicamos ley de Snell $n^{\prime 2}-\eta ^{\prime 2}+i2n^{\prime }\eta ^{\prime }-(nsin\theta )^{2}=p^{2}-q^{2}+i2pq$

Tomemos la parte reale de la ecuacion anterior $n^{\prime 2}-\eta ^{\prime 2}-(nsin\theta )^{2}=p^{2}-q^{2}$

Podemos ahora despejar $p$ y $q$.

Observe que si el angulo incidente es cero $p=n^{\prime }$ y $q=\eta ^{\prime }$

$p={\sqrt {{\frac {1}{2}}({k-{\frac {\sigma \sin ^{2}\theta }{\omega \epsilon _{0}}}})+{\sqrt {(k-{{\frac {\sigma \sin \theta }{\omega \epsilon _{0}}})^{2}}+({\frac {\sigma }{\omega \epsilon _{0}}})^{2}}}}}$

$q={\sqrt {{\frac {1}{2}}({-k-{\frac {\sigma \sin ^{2}\theta }{\omega \epsilon _{0}}}})+{\sqrt {(k-{{\frac {\sigma \sin \theta }{\omega \epsilon _{0}}})^{2}}+({\frac {\sigma }{\omega \epsilon _{0}}})^{2}}}}}$